Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcnre 44963
Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcnre.1 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3 𝑇 = 𝐽
sfcnre.5 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6 (𝜑𝐹𝐶)
Assertion
Ref Expression
fcnre (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre
StepHypRef Expression
1 fcnre.6 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
2 sfcnre.5 . . . . 5 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
31, 2eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cntop1 23264 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 fcnre.3 . . . 4 𝑇 = 𝐽
76toptopon 22939 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
85, 7sylib 218 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9 fcnre.1 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10 retopon 24800 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
119, 10eqeltri 2835 . . 3 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1211a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13 cnf2 23273 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
148, 12, 3, 13syl3anc 1370 1 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   cuni 4912  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  (,)cioo 13384  topGenctg 17484  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-ioo 13388  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  rfcnpre2  44969  cncmpmax  44970  rfcnpre3  44971  rfcnpre4  44972  rfcnnnub  44974  stoweidlem28  45984  stoweidlem29  45985  stoweidlem36  45992  stoweidlem43  45999  stoweidlem44  46000  stoweidlem47  46003  stoweidlem52  46008  stoweidlem57  46013  stoweidlem59  46015  stoweidlem60  46016  stoweidlem61  46017  stoweidlem62  46018  stoweid  46019
  Copyright terms: Public domain W3C validator