Theorem fcnre 45605

Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcnre.1	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
sfcnre.5	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcnre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcnre.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
2		sfcnre.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
3	1, 2	eleqtrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23300	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		fcnre.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7	6	toptopon 22977	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
8	5, 7	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9		fcnre.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10		retopon 24823	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
11	9, 10	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13		cnf2 23309	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
14	8, 12, 3, 13	syl3anc 1390	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∪ cuni 4865  ran crn 5648  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  (,)cioo 13349  topGenctg 17466  Topctop 22953  TopOnctopon 22970   Cn ccn 23284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-ioo 13353  df-topgen 17472  df-top 22954  df-topon 22971  df-bases 23006  df-cn 23287

This theorem is referenced by:  rfcnpre2  45611  cncmpmax  45612  rfcnpre3  45613  rfcnpre4  45614  rfcnnnub  45616  stoweidlem28  46602  stoweidlem29  46603  stoweidlem36  46610  stoweidlem43  46617  stoweidlem44  46618  stoweidlem47  46621  stoweidlem52  46626  stoweidlem57  46631  stoweidlem59  46633  stoweidlem60  46634  stoweidlem61  46635  stoweidlem62  46636  stoweid  46637