Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcnre 43318
Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcnre.1 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
fcnre.3 𝑇 = βˆͺ 𝐽
sfcnre.5 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
fcnre (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)

Proof of Theorem fcnre
StepHypRef Expression
1 fcnre.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
2 sfcnre.5 . . . . 5 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
31, 2eleqtrdi 2844 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cntop1 22607 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
6 fcnre.3 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
76toptopon 22282 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
85, 7sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‡))
9 fcnre.1 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
10 retopon 24143 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
119, 10eqeltri 2830 . . 3 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„)
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„))
13 cnf2 22616 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‡) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
148, 12, 3, 13syl3anc 1372 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆͺ cuni 4866  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  (,)cioo 13270  topGenctg 17324  Topctop 22258  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ioo 13274  df-topgen 17330  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cn 22594
This theorem is referenced by:  rfcnpre2  43324  cncmpmax  43325  rfcnpre3  43326  rfcnpre4  43327  rfcnnnub  43329  stoweidlem28  44355  stoweidlem29  44356  stoweidlem36  44363  stoweidlem43  44370  stoweidlem44  44371  stoweidlem47  44374  stoweidlem52  44379  stoweidlem57  44384  stoweidlem59  44386  stoweidlem60  44387  stoweidlem61  44388  stoweidlem62  44389  stoweid  44390
  Copyright terms: Public domain W3C validator