Theorem fcnre 45016

Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcnre.1	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
sfcnre.5	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcnre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcnre.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
2		sfcnre.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
3	1, 2	eleqtrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23183	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		fcnre.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7	6	toptopon 22860	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
8	5, 7	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9		fcnre.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10		retopon 24707	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
11	9, 10	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13		cnf2 23192	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
14	8, 12, 3, 13	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4888  ran crn 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  (,)cioo 13367  topGenctg 17456  Topctop 22836  TopOnctopon 22853   Cn ccn 23167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-ioo 13371  df-topgen 17462  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cn 23170

This theorem is referenced by:  rfcnpre2  45022  cncmpmax  45023  rfcnpre3  45024  rfcnpre4  45025  rfcnnnub  45027  stoweidlem28  46024  stoweidlem29  46025  stoweidlem36  46032  stoweidlem43  46039  stoweidlem44  46040  stoweidlem47  46043  stoweidlem52  46048  stoweidlem57  46053  stoweidlem59  46055  stoweidlem60  46056  stoweidlem61  46057  stoweidlem62  46058  stoweid  46059