Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fcnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fcnre 40002
Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fcnre.1 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3 𝑇 = 𝐽
sfcnre.5 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6 (𝜑𝐹𝐶)
Assertion
Ref Expression
fcnre (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre
StepHypRef Expression
1 fcnre.6 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐶)
2 sfcnre.5 . . . . 5 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
31, 2syl6eleq 2916 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cntop1 21415 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
6 fcnre.3 . . . 4 𝑇 = 𝐽
76toptopon 21092 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
85, 7sylib 210 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9 fcnre.1 . . . 4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10 retopon 22937 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
119, 10eqeltri 2902 . . 3 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
1211a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13 cnf2 21424 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
148, 12, 3, 13syl3anc 1496 1 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166   cuni 4658  ran crn 5343  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  cr 10251  (,)cioo 12463  topGenctg 16451  Topctop 21068  TopOnctopon 21085   Cn ccn 21399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-ioo 12467  df-topgen 16457  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121  df-cn 21402
This theorem is referenced by:  rfcnpre2  40008  cncmpmax  40009  rfcnpre3  40010  rfcnpre4  40011  rfcnnnub  40013  stoweidlem28  41039  stoweidlem29  41040  stoweidlem36  41047  stoweidlem43  41054  stoweidlem44  41055  stoweidlem47  41058  stoweidlem52  41063  stoweidlem57  41068  stoweidlem59  41070  stoweidlem60  41071  stoweidlem61  41072  stoweidlem62  41073  stoweid  41074
  Copyright terms: Public domain W3C validator