Theorem fcnre 45671

Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcnre.1	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
sfcnre.5	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcnre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcnre.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
2		sfcnre.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
3	1, 2	eleqtrdi 2879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23366	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		fcnre.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7	6	toptopon 23043	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
8	5, 7	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9		fcnre.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10		retopon 24889	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
11	9, 10	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13		cnf2 23375	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
14	8, 12, 3, 13	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∪ cuni 4876  ran crn 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  (,)cioo 13372  topGenctg 17490  Topctop 23019  TopOnctopon 23036   Cn ccn 23350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-ioo 13376  df-topgen 17496  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-cn 23353

This theorem is referenced by:  rfcnpre2  45677  cncmpmax  45678  rfcnpre3  45679  rfcnpre4  45680  rfcnnnub  45682  stoweidlem28  46668  stoweidlem29  46669  stoweidlem36  46676  stoweidlem43  46683  stoweidlem44  46684  stoweidlem47  46687  stoweidlem52  46692  stoweidlem57  46697  stoweidlem59  46699  stoweidlem60  46700  stoweidlem61  46701  stoweidlem62  46702  stoweid  46703