Theorem fcnre 46184

Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcnre.1	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
sfcnre.5	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcnre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcnre.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
2		sfcnre.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
3	1, 2	eleqtrdi 2874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23573	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		fcnre.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7	6	toptopon 23250	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
8	5, 7	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9		fcnre.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10		retopon 25097	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
11	9, 10	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13		cnf2 23582	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
14	8, 12, 3, 13	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4870  ran crn 5656  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  (,)cioo 13489  topGenctg 17623  Topctop 23226  TopOnctopon 23243   Cn ccn 23557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-ioo 13493  df-topgen 17629  df-top 23227  df-topon 23244  df-bases 23279  df-cn 23560

This theorem is used by:  rfcnpre2  46190  cncmpmax  46191  rfcnpre3  46192  rfcnpre4  46193  rfcnnnub  46195  stoweidlem28  47180  stoweidlem29  47181  stoweidlem36  47188  stoweidlem43  47195  stoweidlem44  47196  stoweidlem47  47199  stoweidlem52  47204  stoweidlem57  47209  stoweidlem59  47211  stoweidlem60  47212  stoweidlem61  47213  stoweidlem62  47214  stoweid  47215