Theorem fcnre 45473

Description: A function continuous with respect to the standard topology, is a real mapping. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fcnre.1	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
fcnre.3	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
sfcnre.5	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
fcnre.6	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fcnre	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Proof of Theorem fcnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fcnre.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
2		sfcnre.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
3	1, 2	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4		cntop1 23223	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		fcnre.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7	6	toptopon 22900	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
8	5, 7	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
9		fcnre.1	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
10		retopon 24746	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
11	9, 10	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
13		cnf2 23232	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
14	8, 12, 3, 13	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∪ cuni 4838  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  (,)cioo 13289  topGenctg 17391  Topctop 22876  TopOnctopon 22893   Cn ccn 23207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-topgen 17397  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cn 23210

This theorem is referenced by:  rfcnpre2  45479  cncmpmax  45480  rfcnpre3  45481  rfcnpre4  45482  rfcnnnub  45484  stoweidlem28  46471  stoweidlem29  46472  stoweidlem36  46479  stoweidlem43  46486  stoweidlem44  46487  stoweidlem47  46490  stoweidlem52  46495  stoweidlem57  46500  stoweidlem59  46502  stoweidlem60  46503  stoweidlem61  46504  stoweidlem62  46505  stoweid  46506