MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mgm 18832
Description: The monoid of endofunctions on β„•0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) is a magma. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mgm 𝑆 ∈ Mgm
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smndex1mgm
Dummy variables 𝑏 π‘˜ π‘Ž π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
61, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18830 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
7 ssel 3970 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
8 ssel 3970 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
97, 8anim12d 608 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
11 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
12 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
131, 11, 12efmndov 18806 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
1410, 13syl 17 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ π‘Ž = 𝐼)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ 𝑏 = 𝐼)
1715, 16coeq12d 5858 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝐼))
181, 2, 3smndex1iidm 18826 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
1917, 18eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼)
2019orcd 870 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
2120ex 412 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑏 = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
22 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = 𝐼)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
2422, 23coeq12d 5858 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)))
251, 2, 3, 4smndex1igid 18829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
2625ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
2724, 26eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
2827ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
2928reximdva 3162 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3029imp 406 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
3130olcd 871 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3231ex 412 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
3321, 32jaod 856 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
34 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
35 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = 𝐼)
3634, 35coeq12d 5858 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼))
371, 2, 3smndex1ibas 18825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
381, 2, 3, 4smndex1gid 18828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
3937, 38mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
4039ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
4136, 40eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
4241ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4342reximdva 3162 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4443imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
4544olcd 871 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4645expcom 413 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝑏 = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
47 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š))
4847eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) ↔ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)))
4948cbvrexvw 3229 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š))
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
51 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š))
5250, 51coeq12d 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)))
531, 2, 3, 4smndex1gbas 18827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
541, 2, 3, 4smndex1gid 18828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΊβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5553, 54sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5655ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5752, 56eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
5857ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
5958reximdva 3162 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6059rexlimiva 3141 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6160imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
6261olcd 871 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6362expcom 413 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6449, 63biimtrid 241 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6546, 64jaod 856 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6633, 65jaoi 854 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6766imp 406 . . . . 5 (((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
685eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
69 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
7069sneqd 4635 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ {(πΊβ€˜π‘›)} = {(πΊβ€˜π‘˜)})
7170cbviunv 5036 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} = βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}
7271uneq2i 4155 . . . . . . . . 9 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)})
7372eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
7468, 73bitri 275 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
75 elun 4143 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (π‘Ž ∈ {𝐼} ∨ π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
76 velsn 4639 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ {𝐼} ↔ π‘Ž = 𝐼)
77 eliun 4994 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
78 velsn 4639 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
7978rexbii 3088 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
8077, 79bitri 275 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
8176, 80orbi12i 911 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {𝐼} ∨ π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)))
8274, 75, 813bitri 297 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)))
835eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
8472eleq2i 2819 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
8583, 84bitri 275 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
86 elun 4143 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
87 velsn 4639 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
88 eliun 4994 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
89 velsn 4639 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9089rexbii 3088 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9188, 90bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9287, 91orbi12i 911 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)))
9385, 86, 923bitri 297 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)))
9482, 93anbi12i 626 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ↔ ((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))))
955eleq2i 2819 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
9672eleq2i 2819 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
9795, 96bitri 275 . . . . . 6 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
98 elun 4143 . . . . . 6 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
99 vex 3472 . . . . . . . . 9 π‘Ž ∈ V
100 vex 3472 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
10199, 100coex 7920 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ V
102101elsn 4638 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼)
103 eliun 4994 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
104101elsn 4638 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
105104rexbii 3088 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
106103, 105bitri 275 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
107102, 106orbi12i 911 . . . . . 6 (((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
10897, 98, 1073bitri 297 . . . . 5 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
10967, 94, 1083imtr4i 292 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡)
11014, 109eqeltrd 2827 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)
111110rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡
112 smndex1mgm.s . . . 4 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
113112ovexi 7439 . . 3 𝑆 ∈ V
1141, 2, 3, 4, 5, 112smndex1bas 18831 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = 𝐡
115114eqcomi 2735 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
116115fvexi 6899 . . . . 5 𝐡 ∈ V
117112, 12ressplusg 17244 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
118116, 117ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†)
119115, 118ismgm 18574 . . 3 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))
120113, 119ax-mp 5 . 2 (𝑆 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)
121111, 120mpbir 230 1 𝑆 ∈ Mgm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ ciun 4990   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  ..^cfzo 13633   mod cmo 13840  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  Mgmcmgm 18571  EndoFMndcefmnd 18793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-mgm 18573  df-efmnd 18794
This theorem is referenced by:  smndex1sgrp  18833
  Copyright terms: Public domain W3C validator