MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mgm 18718
Description: The monoid of endofunctions on β„•0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) is a magma. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mgm 𝑆 ∈ Mgm
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smndex1mgm
Dummy variables 𝑏 π‘˜ π‘Ž π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
61, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18716 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
7 ssel 3938 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
8 ssel 3938 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
97, 8anim12d 610 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
11 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
131, 11, 12efmndov 18692 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
1410, 13syl 17 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ π‘Ž = 𝐼)
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ 𝑏 = 𝐼)
1715, 16coeq12d 5821 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝐼))
181, 2, 3smndex1iidm 18712 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
1917, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼)
2019orcd 872 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
2120ex 414 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑏 = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
22 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = 𝐼)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
2422, 23coeq12d 5821 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)))
251, 2, 3, 4smndex1igid 18715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
2724, 26eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
2827ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
2928reximdva 3166 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3029imp 408 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
3130olcd 873 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3231ex 414 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
3321, 32jaod 858 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
35 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = 𝐼)
3634, 35coeq12d 5821 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼))
371, 2, 3smndex1ibas 18711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
381, 2, 3, 4smndex1gid 18714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
3937, 38mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
4136, 40eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
4241ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4342reximdva 3166 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4443imp 408 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
4544olcd 873 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4645expcom 415 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝑏 = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
47 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š))
4847eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) ↔ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)))
4948cbvrexvw 3227 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š))
50 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
51 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š))
5250, 51coeq12d 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)))
531, 2, 3, 4smndex1gbas 18713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
541, 2, 3, 4smndex1gid 18714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΊβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5553, 54sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5655ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5752, 56eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
5857ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
5958reximdva 3166 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6059rexlimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6160imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
6261olcd 873 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6362expcom 415 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6449, 63biimtrid 241 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6546, 64jaod 858 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6633, 65jaoi 856 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6766imp 408 . . . . 5 (((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
685eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
69 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
7069sneqd 4599 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ {(πΊβ€˜π‘›)} = {(πΊβ€˜π‘˜)})
7170cbviunv 5001 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} = βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}
7271uneq2i 4121 . . . . . . . . 9 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)})
7372eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
7468, 73bitri 275 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
75 elun 4109 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (π‘Ž ∈ {𝐼} ∨ π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
76 velsn 4603 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ {𝐼} ↔ π‘Ž = 𝐼)
77 eliun 4959 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
78 velsn 4603 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
7978rexbii 3098 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
8077, 79bitri 275 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
8176, 80orbi12i 914 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {𝐼} ∨ π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)))
8274, 75, 813bitri 297 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)))
835eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
8472eleq2i 2830 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
8583, 84bitri 275 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
86 elun 4109 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
87 velsn 4603 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
88 eliun 4959 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
89 velsn 4603 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9089rexbii 3098 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9188, 90bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9287, 91orbi12i 914 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)))
9385, 86, 923bitri 297 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)))
9482, 93anbi12i 628 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ↔ ((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))))
955eleq2i 2830 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
9672eleq2i 2830 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
9795, 96bitri 275 . . . . . 6 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
98 elun 4109 . . . . . 6 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
99 vex 3450 . . . . . . . . 9 π‘Ž ∈ V
100 vex 3450 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
10199, 100coex 7868 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ V
102101elsn 4602 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼)
103 eliun 4959 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
104101elsn 4602 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
105104rexbii 3098 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
106103, 105bitri 275 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
107102, 106orbi12i 914 . . . . . 6 (((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
10897, 98, 1073bitri 297 . . . . 5 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
10967, 94, 1083imtr4i 292 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡)
11014, 109eqeltrd 2838 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)
111110rgen2 3195 . 2 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡
112 smndex1mgm.s . . . 4 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
113112ovexi 7392 . . 3 𝑆 ∈ V
1141, 2, 3, 4, 5, 112smndex1bas 18717 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = 𝐡
115114eqcomi 2746 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
116115fvexi 6857 . . . . 5 𝐡 ∈ V
117112, 12ressplusg 17172 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
118116, 117ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†)
119115, 118ismgm 18499 . . 3 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))
120113, 119ax-mp 5 . 2 (𝑆 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)
121111, 120mpbir 230 1 𝑆 ∈ Mgm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βˆͺ ciun 4955   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  β„•cn 12154  β„•0cn0 12414  ..^cfzo 13568   mod cmo 13775  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  +gcplusg 17134  Mgmcmgm 18496  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-mgm 18498  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by:  smndex1sgrp  18719
  Copyright terms: Public domain W3C validator