MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mgm 18863
Description: The monoid of endofunctions on β„•0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (πΊβ€˜πΎ) is a magma. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1mgm 𝑆 ∈ Mgm
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem smndex1mgm
Dummy variables 𝑏 π‘˜ π‘Ž π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
61, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18861 . . . . . 6 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)
7 ssel 3965 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐡 β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
8 ssel 3965 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑏 ∈ 𝐡 β†’ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
97, 8anim12d 607 . . . . . 6 (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
11 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
12 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
131, 11, 12efmndov 18837 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
1410, 13syl 17 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) = (π‘Ž ∘ 𝑏))
15 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ π‘Ž = 𝐼)
16 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ 𝑏 = 𝐼)
1715, 16coeq12d 5861 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ 𝐼))
181, 2, 3smndex1iidm 18857 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∘ 𝐼) = 𝐼
1917, 18eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼)
2019orcd 871 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ 𝑏 = 𝐼) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
2120ex 411 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (𝑏 = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
22 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = 𝐼)
23 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
2422, 23coeq12d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)))
251, 2, 3, 4smndex1igid 18860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
2625ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (𝐼 ∘ (πΊβ€˜π‘˜)) = (πΊβ€˜π‘˜))
2724, 26eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
2827ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
2928reximdva 3158 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3029imp 405 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
3130olcd 872 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
3231ex 411 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
3321, 32jaod 857 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐼 β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
34 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
35 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = 𝐼)
3634, 35coeq12d 5861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼))
371, 2, 3smndex1ibas 18856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€)
381, 2, 3, 4smndex1gid 18859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
3937, 38mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
4039ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ 𝐼) = (πΊβ€˜π‘˜))
4136, 40eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
4241ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4342reximdva 3158 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐼 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4443imp 405 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
4544olcd 872 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝐼 ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
4645expcom 412 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝑏 = 𝐼 β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
47 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘š))
4847eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) ↔ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)))
4948cbvrexvw 3226 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š))
50 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
51 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š))
5250, 51coeq12d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)))
531, 2, 3, 4smndex1gbas 18858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
541, 2, 3, 4smndex1gid 18859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΊβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5553, 54sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5655ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∘ (πΊβ€˜π‘š)) = (πΊβ€˜π‘˜))
5752, 56eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
5857ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
5958reximdva 3158 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘š)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6059rexlimiva 3137 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6160imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
6261olcd 872 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
6362expcom 412 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘š) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6449, 63biimtrid 241 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6546, 64jaod 857 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6633, 65jaoi 855 . . . . . 6 ((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))))
6766imp 405 . . . . 5 (((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
685eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
69 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
7069sneqd 4636 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ {(πΊβ€˜π‘›)} = {(πΊβ€˜π‘˜)})
7170cbviunv 5038 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} = βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}
7271uneq2i 4153 . . . . . . . . 9 ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)})
7372eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
7468, 73bitri 274 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
75 elun 4141 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (π‘Ž ∈ {𝐼} ∨ π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
76 velsn 4640 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ {𝐼} ↔ π‘Ž = 𝐼)
77 eliun 4995 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
78 velsn 4640 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
7978rexbii 3084 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
8077, 79bitri 274 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜))
8176, 80orbi12i 912 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ {𝐼} ∨ π‘Ž ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)))
8274, 75, 813bitri 296 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)))
835eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
8472eleq2i 2817 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
8583, 84bitri 274 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
86 elun 4141 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
87 velsn 4640 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
88 eliun 4995 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
89 velsn 4640 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ 𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9089rexbii 3084 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9188, 90bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))
9287, 91orbi12i 912 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)))
9385, 86, 923bitri 296 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝐡 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜)))
9482, 93anbi12i 626 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ↔ ((π‘Ž = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)π‘Ž = (πΊβ€˜π‘˜)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (πΊβ€˜π‘˜))))
955eleq2i 2817 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
9672eleq2i 2817 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
9795, 96bitri 274 . . . . . 6 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
98 elun 4141 . . . . . 6 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}))
99 vex 3467 . . . . . . . . 9 π‘Ž ∈ V
100 vex 3467 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
10199, 100coex 7936 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ V
102101elsn 4639 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼)
103 eliun 4995 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)})
104101elsn 4639 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ (π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
105104rexbii 3084 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
106103, 105bitri 274 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)} ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜))
107102, 106orbi12i 912 . . . . . 6 (((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘˜)}) ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
10897, 98, 1073bitri 296 . . . . 5 ((π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡 ↔ ((π‘Ž ∘ 𝑏) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘˜ ∈ (0..^𝑁)(π‘Ž ∘ 𝑏) = (πΊβ€˜π‘˜)))
10967, 94, 1083imtr4i 291 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž ∘ 𝑏) ∈ 𝐡)
11014, 109eqeltrd 2825 . . 3 ((π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)
111110rgen2 3188 . 2 βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡
112 smndex1mgm.s . . . 4 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
113112ovexi 7450 . . 3 𝑆 ∈ V
1141, 2, 3, 4, 5, 112smndex1bas 18862 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = 𝐡
115114eqcomi 2734 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
116115fvexi 6906 . . . . 5 𝐡 ∈ V
117112, 12ressplusg 17270 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†))
118116, 117ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘†)
119115, 118ismgm 18600 . . 3 (𝑆 ∈ V β†’ (𝑆 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡))
120113, 119ax-mp 5 . 2 (𝑆 ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏) ∈ 𝐡)
121111, 120mpbir 230 1 𝑆 ∈ Mgm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆͺ cun 3937   βŠ† wss 3939  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  ..^cfzo 13659   mod cmo 13866  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  +gcplusg 17232  Mgmcmgm 18597  EndoFMndcefmnd 18824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-mgm 18599  df-efmnd 18825
This theorem is referenced by:  smndex1sgrp  18864
  Copyright terms: Public domain W3C validator