Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mgm 18063
 Description: The monoid of endofunctions on ℕ0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺‘𝐾) is a magma. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mgm 𝑆 ∈ Mgm
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1mgm
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
61, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18061 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7 ssel 3945 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
8 ssel 3945 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
97, 8anim12d 611 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
11 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
12 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
131, 11, 12efmndov 18037 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎𝑏))
1410, 13syl 17 . . . 4 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎𝑏))
15 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → 𝑎 = 𝐼)
16 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → 𝑏 = 𝐼)
1715, 16coeq12d 5718 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → (𝑎𝑏) = (𝐼𝐼))
181, 2, 3smndex1iidm 18057 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
1917, 18syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → (𝑎𝑏) = 𝐼)
2019orcd 870 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
2120ex 416 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → (𝑏 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
22 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = 𝐼)
23 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = (𝐺𝑘))
2422, 23coeq12d 5718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)))
251, 2, 3, 4smndex1igid 18060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
2724, 26eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
2827ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑏 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
2928reximdva 3266 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
3029imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
3130olcd 871 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
3231ex 416 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
3321, 32jaod 856 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
34 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = (𝐺𝑘))
35 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = 𝐼)
3634, 35coeq12d 5718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼))
371, 2, 3smndex1ibas 18056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
381, 2, 3, 4smndex1gid 18059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
3937, 38mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
4039ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
4136, 40eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
4241ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4342reximdva 3266 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4443imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
4544olcd 871 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4645expcom 417 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑏 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
47 fveq2 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑚))
4847eqeq2d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑏 = (𝐺𝑘) ↔ 𝑏 = (𝐺𝑚)))
4948cbvrexvw 3435 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) ↔ ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚))
50 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = (𝐺𝑘))
51 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = (𝐺𝑚))
5250, 51coeq12d 5718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)))
531, 2, 3, 4smndex1gbas 18058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑚) ∈ (Base‘𝑀))
541, 2, 3, 4smndex1gid 18059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺𝑚) ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5553, 54sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5655ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5752, 56eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
5857ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
5958reximdva 3266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6059rexlimiva 3273 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6160imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
6261olcd 871 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6362expcom 417 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6449, 63syl5bi 245 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6546, 64jaod 856 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6633, 65jaoi 854 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6766imp 410 . . . . 5 (((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
685eleq2i 2907 . . . . . . . 8 (𝑎𝐵𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
69 fveq2 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
7069sneqd 4560 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
7170cbviunv 4948 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} = 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}
7271uneq2i 4120 . . . . . . . . 9 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) = ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)})
7372eleq2i 2907 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
7468, 73bitri 278 . . . . . . 7 (𝑎𝐵𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
75 elun 4109 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑎 ∈ {𝐼} ∨ 𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
76 velsn 4564 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ {𝐼} ↔ 𝑎 = 𝐼)
77 eliun 4906 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)})
78 velsn 4564 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ 𝑎 = (𝐺𝑘))
7978rexbii 3241 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘))
8077, 79bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘))
8176, 80orbi12i 912 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {𝐼} ∨ 𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)))
8274, 75, 813bitri 300 . . . . . 6 (𝑎𝐵 ↔ (𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)))
835eleq2i 2907 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
8472eleq2i 2907 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
8583, 84bitri 278 . . . . . . 7 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
86 elun 4109 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
87 velsn 4564 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
88 eliun 4906 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)})
89 velsn 4564 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ 𝑏 = (𝐺𝑘))
9089rexbii 3241 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))
9188, 90bitri 278 . . . . . . . 8 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))
9287, 91orbi12i 912 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)))
9385, 86, 923bitri 300 . . . . . 6 (𝑏𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)))
9482, 93anbi12i 629 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ ((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))))
955eleq2i 2907 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
9672eleq2i 2907 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
9795, 96bitri 278 . . . . . 6 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
98 elun 4109 . . . . . 6 ((𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ ((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
99 vex 3482 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
100 vex 3482 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
10199, 100coex 7620 . . . . . . . 8 (𝑎𝑏) ∈ V
102101elsn 4563 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ↔ (𝑎𝑏) = 𝐼)
103 eliun 4906 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)})
104101elsn 4563 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
105104rexbii 3241 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
106103, 105bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
107102, 106orbi12i 912 . . . . . 6 (((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
10897, 98, 1073bitri 300 . . . . 5 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
10967, 94, 1083imtr4i 295 . . . 4 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐵)
11014, 109eqeltrd 2916 . . 3 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
111110rgen2 3197 . 2 𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵
112 smndex1mgm.s . . . 4 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
113112ovexi 7174 . . 3 𝑆 ∈ V
1141, 2, 3, 4, 5, 112smndex1bas 18062 . . . . 5 (Base‘𝑆) = 𝐵
115114eqcomi 2833 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
116115fvexi 6667 . . . . 5 𝐵 ∈ V
117112, 12ressplusg 16603 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
118116, 117ax-mp 5 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑆)
119115, 118ismgm 17844 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵))
120113, 119ax-mp 5 . 2 (𝑆 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
121111, 120mpbir 234 1 𝑆 ∈ Mgm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  ∃wrex 3133  Vcvv 3479   ∪ cun 3916   ⊆ wss 3918  {csn 4548  ∪ ciun 4902   ↦ cmpt 5129   ∘ ccom 5542  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  0cc0 10524  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  +gcplusg 16556  Mgmcmgm 17841  EndoFMndcefmnd 18024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-tset 16575  df-mgm 17843  df-efmnd 18025 This theorem is referenced by:  smndex1sgrp  18064
 Copyright terms: Public domain W3C validator