MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mgm 18643
Description: The monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) is a magma. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mgm 𝑆 ∈ Mgm
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1mgm
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
61, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18641 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7 ssel 3925 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
8 ssel 3925 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
97, 8anim12d 609 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
11 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
12 eqid 2736 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
131, 11, 12efmndov 18617 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎𝑏))
1410, 13syl 17 . . . 4 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎𝑏))
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → 𝑎 = 𝐼)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → 𝑏 = 𝐼)
1715, 16coeq12d 5807 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → (𝑎𝑏) = (𝐼𝐼))
181, 2, 3smndex1iidm 18637 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
1917, 18eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → (𝑎𝑏) = 𝐼)
2019orcd 870 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
2120ex 413 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → (𝑏 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
22 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = 𝐼)
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = (𝐺𝑘))
2422, 23coeq12d 5807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)))
251, 2, 3, 4smndex1igid 18640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
2625ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
2724, 26eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
2827ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑏 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
2928reximdva 3161 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
3029imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
3130olcd 871 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
3231ex 413 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
3321, 32jaod 856 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
34 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = (𝐺𝑘))
35 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = 𝐼)
3634, 35coeq12d 5807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼))
371, 2, 3smndex1ibas 18636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
381, 2, 3, 4smndex1gid 18639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
3937, 38mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
4039ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
4136, 40eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
4241ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4342reximdva 3161 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4443imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
4544olcd 871 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4645expcom 414 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑏 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
47 fveq2 6826 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑚))
4847eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑏 = (𝐺𝑘) ↔ 𝑏 = (𝐺𝑚)))
4948cbvrexvw 3222 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) ↔ ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚))
50 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = (𝐺𝑘))
51 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = (𝐺𝑚))
5250, 51coeq12d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)))
531, 2, 3, 4smndex1gbas 18638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑚) ∈ (Base‘𝑀))
541, 2, 3, 4smndex1gid 18639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺𝑚) ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5553, 54sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5655ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5752, 56eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
5857ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
5958reximdva 3161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6059rexlimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6160imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
6261olcd 871 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6362expcom 414 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6449, 63biimtrid 241 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6546, 64jaod 856 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6633, 65jaoi 854 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6766imp 407 . . . . 5 (((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
685eleq2i 2828 . . . . . . . 8 (𝑎𝐵𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
69 fveq2 6826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
7069sneqd 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
7170cbviunv 4988 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} = 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}
7271uneq2i 4108 . . . . . . . . 9 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) = ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)})
7372eleq2i 2828 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
7468, 73bitri 274 . . . . . . 7 (𝑎𝐵𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
75 elun 4096 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑎 ∈ {𝐼} ∨ 𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
76 velsn 4590 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ {𝐼} ↔ 𝑎 = 𝐼)
77 eliun 4946 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)})
78 velsn 4590 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ 𝑎 = (𝐺𝑘))
7978rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘))
8077, 79bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘))
8176, 80orbi12i 912 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {𝐼} ∨ 𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)))
8274, 75, 813bitri 296 . . . . . 6 (𝑎𝐵 ↔ (𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)))
835eleq2i 2828 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
8472eleq2i 2828 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
8583, 84bitri 274 . . . . . . 7 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
86 elun 4096 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
87 velsn 4590 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
88 eliun 4946 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)})
89 velsn 4590 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ 𝑏 = (𝐺𝑘))
9089rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))
9188, 90bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))
9287, 91orbi12i 912 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)))
9385, 86, 923bitri 296 . . . . . 6 (𝑏𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)))
9482, 93anbi12i 627 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ ((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))))
955eleq2i 2828 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
9672eleq2i 2828 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
9795, 96bitri 274 . . . . . 6 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
98 elun 4096 . . . . . 6 ((𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ ((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
99 vex 3445 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
100 vex 3445 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
10199, 100coex 7846 . . . . . . . 8 (𝑎𝑏) ∈ V
102101elsn 4589 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ↔ (𝑎𝑏) = 𝐼)
103 eliun 4946 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)})
104101elsn 4589 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
105104rexbii 3093 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
106103, 105bitri 274 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
107102, 106orbi12i 912 . . . . . 6 (((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
10897, 98, 1073bitri 296 . . . . 5 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
10967, 94, 1083imtr4i 291 . . . 4 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐵)
11014, 109eqeltrd 2837 . . 3 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
111110rgen2 3190 . 2 𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵
112 smndex1mgm.s . . . 4 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
113112ovexi 7372 . . 3 𝑆 ∈ V
1141, 2, 3, 4, 5, 112smndex1bas 18642 . . . . 5 (Base‘𝑆) = 𝐵
115114eqcomi 2745 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
116115fvexi 6840 . . . . 5 𝐵 ∈ V
117112, 12ressplusg 17098 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
118116, 117ax-mp 5 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑆)
119115, 118ismgm 18425 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵))
120113, 119ax-mp 5 . 2 (𝑆 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
121111, 120mpbir 230 1 𝑆 ∈ Mgm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3441  cun 3896  wss 3898  {csn 4574   ciun 4942  cmpt 5176  ccom 5625  cfv 6480  (class class class)co 7338  0cc0 10973  cn 12075  0cn0 12335  ..^cfzo 13484   mod cmo 13691  Basecbs 17010  s cress 17039  +gcplusg 17060  Mgmcmgm 18422  EndoFMndcefmnd 18604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050  ax-pre-sup 11051
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-map 8689  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-sup 9300  df-inf 9301  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-div 11735  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-4 12140  df-5 12141  df-6 12142  df-7 12143  df-8 12144  df-9 12145  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-rp 12833  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-fl 13614  df-mod 13692  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-tset 17079  df-mgm 18424  df-efmnd 18605
This theorem is referenced by:  smndex1sgrp  18644
  Copyright terms: Public domain W3C validator