MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1mgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1mgm 18920
Description: The monoid of endofunctions on 0 restricted to the modulo function 𝐼 and the constant functions (𝐺𝐾) is a magma. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1mgm 𝑆 ∈ Mgm
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smndex1mgm
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑎 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.m . . . . . . 7 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
2 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
3 smndex1ibas.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
4 smndex1ibas.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
5 smndex1mgm.b . . . . . . 7 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
61, 2, 3, 4, 5smndex1basss 18918 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
7 ssel 3977 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝑀)))
8 ssel 3977 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
97, 8anim12d 609 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀))))
106, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)))
11 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
131, 11, 12efmndov 18894 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎𝑏))
1410, 13syl 17 . . . 4 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) = (𝑎𝑏))
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → 𝑎 = 𝐼)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → 𝑏 = 𝐼)
1715, 16coeq12d 5875 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → (𝑎𝑏) = (𝐼𝐼))
181, 2, 3smndex1iidm 18914 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
1917, 18eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → (𝑎𝑏) = 𝐼)
2019orcd 874 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐼𝑏 = 𝐼) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
2120ex 412 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → (𝑏 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
22 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = 𝐼)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = (𝐺𝑘))
2422, 23coeq12d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)))
251, 2, 3, 4smndex1igid 18917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
2625ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝐼 ∘ (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
2724, 26eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
2827ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑏 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
2928reximdva 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
3029imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
3130olcd 875 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
3231ex 412 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
3321, 32jaod 860 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐼 → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
34 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = (𝐺𝑘))
35 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = 𝐼)
3634, 35coeq12d 5875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼))
371, 2, 3smndex1ibas 18913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 ∈ (Base‘𝑀)
381, 2, 3, 4smndex1gid 18916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
3937, 38mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
4039ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝐺𝑘) ∘ 𝐼) = (𝐺𝑘))
4136, 40eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
4241ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 = 𝐼𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4342reximdva 3168 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐼 → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4443imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
4544olcd 875 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝐼 ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
4645expcom 413 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑏 = 𝐼 → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
47 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑚))
4847eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑏 = (𝐺𝑘) ↔ 𝑏 = (𝐺𝑚)))
4948cbvrexvw 3238 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) ↔ ∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚))
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑎 = (𝐺𝑘))
51 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → 𝑏 = (𝐺𝑚))
5250, 51coeq12d 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)))
531, 2, 3, 4smndex1gbas 18915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑚) ∈ (Base‘𝑀))
541, 2, 3, 4smndex1gid 18916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺𝑚) ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5553, 54sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5655ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝐺𝑘) ∘ (𝐺𝑚)) = (𝐺𝑘))
5752, 56eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑎 = (𝐺𝑘)) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
5857ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑎 = (𝐺𝑘) → (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
5958reximdva 3168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑏 = (𝐺𝑚)) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6059rexlimiva 3147 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6160imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
6261olcd 875 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) ∧ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
6362expcom 413 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (∃𝑚 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑚) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6449, 63biimtrid 242 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6546, 64jaod 860 . . . . . . 7 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘) → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6633, 65jaoi 858 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) → ((𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))))
6766imp 406 . . . . 5 (((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))) → ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
685eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝑎𝐵𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
69 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
7069sneqd 4638 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → {(𝐺𝑛)} = {(𝐺𝑘)})
7170cbviunv 5040 . . . . . . . . . 10 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} = 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}
7271uneq2i 4165 . . . . . . . . 9 ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) = ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)})
7372eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
7468, 73bitri 275 . . . . . . 7 (𝑎𝐵𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
75 elun 4153 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑎 ∈ {𝐼} ∨ 𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
76 velsn 4642 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ {𝐼} ↔ 𝑎 = 𝐼)
77 eliun 4995 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)})
78 velsn 4642 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ 𝑎 = (𝐺𝑘))
7978rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘))
8077, 79bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘))
8176, 80orbi12i 915 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ {𝐼} ∨ 𝑎 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)))
8274, 75, 813bitri 297 . . . . . 6 (𝑎𝐵 ↔ (𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)))
835eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
8472eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ 𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
8583, 84bitri 275 . . . . . . 7 (𝑏𝐵𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
86 elun 4153 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
87 velsn 4642 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝐼} ↔ 𝑏 = 𝐼)
88 eliun 4995 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)})
89 velsn 4642 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ 𝑏 = (𝐺𝑘))
9089rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))
9188, 90bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))
9287, 91orbi12i 915 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝐼} ∨ 𝑏 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)))
9385, 86, 923bitri 297 . . . . . 6 (𝑏𝐵 ↔ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘)))
9482, 93anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ ((𝑎 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑎 = (𝐺𝑘)) ∧ (𝑏 = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)𝑏 = (𝐺𝑘))))
955eleq2i 2833 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
9672eleq2i 2833 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
9795, 96bitri 275 . . . . . 6 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
98 elun 4153 . . . . . 6 ((𝑎𝑏) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ ((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}))
99 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
100 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
10199, 100coex 7952 . . . . . . . 8 (𝑎𝑏) ∈ V
102101elsn 4641 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ↔ (𝑎𝑏) = 𝐼)
103 eliun 4995 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)})
104101elsn 4641 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ (𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
105104rexbii 3094 . . . . . . . 8 (∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) ∈ {(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
106103, 105bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)} ↔ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘))
107102, 106orbi12i 915 . . . . . 6 (((𝑎𝑏) ∈ {𝐼} ∨ (𝑎𝑏) ∈ 𝑘 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑘)}) ↔ ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
10897, 98, 1073bitri 297 . . . . 5 ((𝑎𝑏) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑎𝑏) = 𝐼 ∨ ∃𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝑎𝑏) = (𝐺𝑘)))
10967, 94, 1083imtr4i 292 . . . 4 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎𝑏) ∈ 𝐵)
11014, 109eqeltrd 2841 . . 3 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
111110rgen2 3199 . 2 𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵
112 smndex1mgm.s . . . 4 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
113112ovexi 7465 . . 3 𝑆 ∈ V
1141, 2, 3, 4, 5, 112smndex1bas 18919 . . . . 5 (Base‘𝑆) = 𝐵
115114eqcomi 2746 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
116115fvexi 6920 . . . . 5 𝐵 ∈ V
117112, 12ressplusg 17334 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (+g𝑀) = (+g𝑆))
118116, 117ax-mp 5 . . . 4 (+g𝑀) = (+g𝑆)
119115, 118ismgm 18654 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵))
120113, 119ax-mp 5 . 2 (𝑆 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(+g𝑀)𝑏) ∈ 𝐵)
121111, 120mpbir 231 1 𝑆 ∈ Mgm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  {csn 4626   ciun 4991  cmpt 5225  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  Mgmcmgm 18651  EndoFMndcefmnd 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-mgm 18653  df-efmnd 18882
This theorem is referenced by:  smndex1sgrp  18921
  Copyright terms: Public domain W3C validator