Theorem dvaplusgv 38306

Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafplus.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafplus.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafplus.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvaplusgv	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Proof of Theorem dvaplusgv

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafplus.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafplus.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafplus.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafplus.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafplus.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvafplus.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvaplusg 38305	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 + 𝑆) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))))
8	7	fveq1d 6647	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
9	8	3adantr3 1168	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
10		simpr3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑅‘𝑓) = (𝑅‘𝐺))
12		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝐺))
13	11, 12	coeq12d 5699	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
14		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))
15		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘𝐺) ∈ V
16		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐺) ∈ V
17	15, 16	coex 7617	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6745	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
19	10, 18	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
20	9, 19	eqtrd 2833	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110   ∘ ccom 5523  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  TEndoctendo 38048  DVecAcdveca 38298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-edring 38053  df-dveca 38299

This theorem is referenced by:  dvalveclem  38321