Theorem dvaplusgv 41470

Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafplus.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafplus.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafplus.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvaplusgv	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Proof of Theorem dvaplusgv

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafplus.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafplus.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafplus.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafplus.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafplus.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvafplus.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvaplusg 41469	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 + 𝑆) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))))
8	7	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
9	8	3adantr3 1173	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
10		simpr3 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑅‘𝑓) = (𝑅‘𝐺))
12		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝐺))
13	11, 12	coeq12d 5813	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))
15		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘𝐺) ∈ V
16		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐺) ∈ V
17	15, 16	coex 7874	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6941	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
19	10, 18	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
20	9, 19	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  TEndoctendo 41212  DVecAcdveca 41462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-edring 41217  df-dveca 41463

This theorem is referenced by:  dvalveclem  41485