Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvaplusgv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaplusgv 40990
Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafplus.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafplus.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafplus.p + = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
dvaplusgv (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))

Proof of Theorem dvaplusgv
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafplus.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvafplus.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvafplus.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 dvafplus.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5 dvafplus.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6 dvafplus.p . . . . 5 + = (+g𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6dvaplusg 40989 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸)) → (𝑅 + 𝑆) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓))))
87fveq1d 6906 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺))
983adantr3 1172 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺))
10 simpr3 1197 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
11 fveq2 6904 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑅𝑓) = (𝑅𝐺))
12 fveq2 6904 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑆𝑓) = (𝑆𝐺))
1311, 12coeq12d 5873 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
14 eqid 2736 . . . 4 (𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓))) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))
15 fvex 6917 . . . . 5 (𝑅𝐺) ∈ V
16 fvex 6917 . . . . 5 (𝑆𝐺) ∈ V
1715, 16coex 7948 . . . 4 ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 7014 . . 3 (𝐺𝑇 → ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
1910, 18syl 17 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
209, 19eqtrd 2776 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cmpt 5223  ccom 5687  cfv 6559  (class class class)co 7429  +gcplusg 17293  Scalarcsca 17296  LHypclh 39964  LTrncltrn 40081  TEndoctendo 40732  DVecAcdveca 40982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-edring 40737  df-dveca 40983
This theorem is referenced by:  dvalveclem  41005
  Copyright terms: Public domain W3C validator