Theorem dvaplusgv 39024

Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafplus.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafplus.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafplus.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvaplusgv	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Proof of Theorem dvaplusgv

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafplus.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafplus.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafplus.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafplus.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafplus.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvafplus.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvaplusg 39023	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 + 𝑆) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))))
8	7	fveq1d 6776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
9	8	3adantr3 1170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
10		simpr3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑅‘𝑓) = (𝑅‘𝐺))
12		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝐺))
13	11, 12	coeq12d 5773	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))
15		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘𝐺) ∈ V
16		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐺) ∈ V
17	15, 16	coex 7777	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6875	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
19	10, 18	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
20	9, 19	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  TEndoctendo 38766  DVecAcdveca 39016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-edring 38771  df-dveca 39017

This theorem is referenced by:  dvalveclem  39039