Theorem dvaplusgv 40987

Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvafplus.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafplus.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafplus.p	⊢ + = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvaplusgv	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Proof of Theorem dvaplusgv

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvafplus.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvafplus.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvafplus.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvafplus.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5		dvafplus.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6		dvafplus.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dvaplusg 40986	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → (𝑅 + 𝑆) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))))
8	7	fveq1d 6888	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
9	8	3adantr3 1171	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺))
10		simpr3 1196	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑅‘𝑓) = (𝑅‘𝐺))
12		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑆‘𝑓) = (𝑆‘𝐺))
13	11, 12	coeq12d 5855	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
14		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))
15		fvex 6899	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘𝐺) ∈ V
16		fvex 6899	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐺) ∈ V
17	15, 16	coex 7934	. . . 4 ⊢ ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)) ∈ V
18	13, 14, 17	fvmpt 6996	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
19	10, 18	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑅‘𝑓) ∘ (𝑆‘𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))
20	9, 19	eqtrd 2769	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅‘𝐺) ∘ (𝑆‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5205   ∘ ccom 5669  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  +_gcplusg 17274  Scalarcsca 17277  LHypclh 39961  LTrncltrn 40078  TEndoctendo 40729  DVecAcdveca 40979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-edring 40734  df-dveca 40980

This theorem is referenced by:  dvalveclem  41002