Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvaplusgv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvaplusgv 38026
Description: Ring addition operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafplus.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafplus.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafplus.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvafplus.p + = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
dvaplusgv (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))

Proof of Theorem dvaplusgv
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafplus.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvafplus.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvafplus.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 dvafplus.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
5 dvafplus.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
6 dvafplus.p . . . . 5 + = (+g𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6dvaplusg 38025 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸)) → (𝑅 + 𝑆) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓))))
87fveq1d 6665 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺))
983adantr3 1163 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺))
10 simpr3 1188 . . 3 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
11 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑅𝑓) = (𝑅𝐺))
12 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑆𝑓) = (𝑆𝐺))
1311, 12coeq12d 5728 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
14 eqid 2818 . . . 4 (𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓))) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))
15 fvex 6676 . . . . 5 (𝑅𝐺) ∈ V
16 fvex 6676 . . . . 5 (𝑆𝐺) ∈ V
1715, 16coex 7624 . . . 4 ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6761 . . 3 (𝐺𝑇 → ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
1910, 18syl 17 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑓𝑇 ↦ ((𝑅𝑓) ∘ (𝑆𝑓)))‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
209, 19eqtrd 2853 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐸𝑆𝐸𝐺𝑇)) → ((𝑅 + 𝑆)‘𝐺) = ((𝑅𝐺) ∘ (𝑆𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  TEndoctendo 37768  DVecAcdveca 38018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-edring 37773  df-dveca 38019
This theorem is referenced by:  dvalveclem  38041
  Copyright terms: Public domain W3C validator