MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znle 20740
Description: The value of the ℤ/n structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛, with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/n is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znval.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znle (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem znle
StepHypRef Expression
1 znval.s . . . 4 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2 znval.u . . . 4 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3 znval.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 znval.f . . . 4 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5 znval.w . . . 4 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6 eqid 2738 . . . 4 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6znval 20739 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
87fveq2d 6778 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
9 znle.l . 2 = (le‘𝑌)
102ovexi 7309 . . 3 𝑈 ∈ V
11 fvex 6787 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑈) ∈ V
1211resex 5939 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V
134, 12eqeltri 2835 . . . . 5 𝐹 ∈ V
14 xrex 12727 . . . . . . 7 * ∈ V
1514, 14xpex 7603 . . . . . 6 (ℝ* × ℝ*) ∈ V
16 lerelxr 11038 . . . . . 6 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1715, 16ssexi 5246 . . . . 5 ≤ ∈ V
1813, 17coex 7777 . . . 4 (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V
1913cnvex 7772 . . . 4 𝐹 ∈ V
2018, 19coex 7777 . . 3 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V
21 pleid 17077 . . . 4 le = Slot (le‘ndx)
2221setsid 16909 . . 3 ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
2310, 20, 22mp2an 689 . 2 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
248, 9, 233eqtr4g 2803 1 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  ifcif 4459  {csn 4561  cop 4567   × cxp 5587  ccnv 5588  cres 5591  ccom 5593  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  *cxr 11008  cle 11010  0cn0 12233  cz 12319  ..^cfzo 13382   sSet csts 16864  ndxcnx 16894  lecple 16969   /s cqus 17216   ~QG cqg 18751  RSpancrsp 20433  ringczring 20670  ℤRHomczrh 20701  ℤ/nczn 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-subrg 20022  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zn 20708
This theorem is referenced by:  znval2  20741  znle2  20761
  Copyright terms: Public domain W3C validator