MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znle 21569
Description: The value of the ℤ/n structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛, with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/n is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znval.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znle (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem znle
StepHypRef Expression
1 znval.s . . . 4 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2 znval.u . . . 4 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3 znval.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 znval.f . . . 4 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5 znval.w . . . 4 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6 eqid 2735 . . . 4 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6znval 21568 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
87fveq2d 6911 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
9 znle.l . 2 = (le‘𝑌)
102ovexi 7465 . . 3 𝑈 ∈ V
11 fvex 6920 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑈) ∈ V
1211resex 6049 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V
134, 12eqeltri 2835 . . . . 5 𝐹 ∈ V
14 xrex 13027 . . . . . . 7 * ∈ V
1514, 14xpex 7772 . . . . . 6 (ℝ* × ℝ*) ∈ V
16 lerelxr 11322 . . . . . 6 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1715, 16ssexi 5328 . . . . 5 ≤ ∈ V
1813, 17coex 7953 . . . 4 (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V
1913cnvex 7948 . . . 4 𝐹 ∈ V
2018, 19coex 7953 . . 3 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V
21 pleid 17413 . . . 4 le = Slot (le‘ndx)
2221setsid 17242 . . 3 ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
2310, 20, 22mp2an 692 . 2 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
248, 9, 233eqtr4g 2800 1 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  ifcif 4531  {csn 4631  cop 4637   × cxp 5687  ccnv 5688  cres 5691  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  lecple 17305   /s cqus 17552   ~QG cqg 19153  RSpancrsp 21235  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zn 21535
This theorem is referenced by:  znval2  21570  znle2  21590
  Copyright terms: Public domain W3C validator