Theorem znle 21497

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛ℤ, with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znle	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		znval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5		znval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 21496	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩))
8	7	fveq2d 6880	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
9		znle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
10	2	ovexi 7439	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
11		fvex 6889	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) ∈ V
12	11	resex 6016	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V
13	4, 12	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
14		xrex 13003	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
15	14, 14	xpex 7747	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
16		lerelxr 11298	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
17	15, 16	ssexi 5292	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
18	13, 17	coex 7926	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V
19	13	cnvex 7921	. . . 4 ⊢ ◡𝐹 ∈ V
20	18, 19	coex 7926	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V
21		pleid 17381	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
22	21	setsid 17226	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
23	10, 20, 22	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩))
24	8, 9, 23	3eqtr4g 2795	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ifcif 4500  {csn 4601  ⟨cop 4607   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ℝ^*cxr 11268   ≤ cle 11270  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ..^cfzo 13671   sSet csts 17182  ndxcnx 17212  lecple 17278   /_s cqus 17519   ~_QG cqg 19105  RSpancrsp 21168  ℤ_ringczring 21407  ℤRHomczrh 21460  ℤ/nℤczn 21463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zn 21467

This theorem is referenced by:  znval2  21498  znle2  21514