Theorem znle 21590

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛ℤ, with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znle	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		znval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5		znval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		eqid 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 21589	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩))
8	7	fveq2d 6873	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
9		znle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
10	2	ovexi 7432	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
11		fvex 6882	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) ∈ V
12	11	resex 6017	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V
13	4, 12	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
14		xrex 12990	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
15	14, 14	xpex 7738	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
16		lerelxr 11247	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
17	15, 16	ssexi 5280	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
18	13, 17	coex 7913	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V
19	13	cnvex 7908	. . . 4 ⊢ ◡𝐹 ∈ V
20	18, 19	coex 7913	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V
21		pleid 17398	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
22	21	setsid 17245	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
23	10, 20, 22	mp2an 702	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩))
24	8, 9, 23	3eqtr4g 2824	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  ifcif 4482  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5647  ^◡ccnv 5648   ↾ cres 5651   ∘ ccom 5653  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  ℝ^*cxr 11217   ≤ cle 11219  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ..^cfzo 13661   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  lecple 17295   /_s cqus 17537   ~_QG cqg 19166  RSpancrsp 21279  ℤ_ringczring 21500  ℤRHomczrh 21553  ℤ/nℤczn 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-subg 19167  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-cnfld 21427  df-zring 21501  df-zn 21560

This theorem is referenced by:  znval2  21591  znle2  21607