MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znle 21551
Description: The value of the ℤ/n structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛, with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/n is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znval.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l = (le‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znle (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))

Proof of Theorem znle
StepHypRef Expression
1 znval.s . . . 4 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2 znval.u . . . 4 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3 znval.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 znval.f . . . 4 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5 znval.w . . . 4 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6 eqid 2737 . . . 4 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6znval 21550 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
87fveq2d 6910 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
9 znle.l . 2 = (le‘𝑌)
102ovexi 7465 . . 3 𝑈 ∈ V
11 fvex 6919 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑈) ∈ V
1211resex 6047 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V
134, 12eqeltri 2837 . . . . 5 𝐹 ∈ V
14 xrex 13029 . . . . . . 7 * ∈ V
1514, 14xpex 7773 . . . . . 6 (ℝ* × ℝ*) ∈ V
16 lerelxr 11324 . . . . . 6 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1715, 16ssexi 5322 . . . . 5 ≤ ∈ V
1813, 17coex 7952 . . . 4 (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V
1913cnvex 7947 . . . 4 𝐹 ∈ V
2018, 19coex 7952 . . 3 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V
21 pleid 17411 . . . 4 le = Slot (le‘ndx)
2221setsid 17244 . . 3 ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩)))
2310, 20, 22mp2an 692 . 2 ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹)⟩))
248, 9, 233eqtr4g 2802 1 (𝑁 ∈ ℕ0 = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  *cxr 11294  cle 11296  0cn0 12526  cz 12613  ..^cfzo 13694   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  lecple 17304   /s cqus 17550   ~QG cqg 19140  RSpancrsp 21217  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zn 21517
This theorem is referenced by:  znval2  21552  znle2  21572
  Copyright terms: Public domain W3C validator