Theorem znle 21508

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ℤ / 𝑛ℤ, with an "artificial" ordering added to make it a Toset. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znval.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
znval.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znle	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
3		znval.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		znval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊)
5		znval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 21507	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 = (𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩))
8	7	fveq2d 6848	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (le‘𝑌) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
9		znle.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
10	2	ovexi 7404	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
11		fvex 6857	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑈) ∈ V
12	11	resex 5998	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑈) ↾ 𝑊) ∈ V
13	4, 12	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
14		xrex 12914	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
15	14, 14	xpex 7710	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
16		lerelxr 11209	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
17	15, 16	ssexi 5271	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
18	13, 17	coex 7884	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘ ≤ ) ∈ V
19	13	cnvex 7879	. . . 4 ⊢ ◡𝐹 ∈ V
20	18, 19	coex 7884	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V
21		pleid 17301	. . . 4 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
22	21	setsid 17148	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ V ∧ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) ∈ V) → ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩)))
23	10, 20, 22	mp2an 693	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹) = (le‘(𝑈 sSet ⟨(le‘ndx), ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹)⟩))
24	8, 9, 23	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = ((𝐹 ∘ ≤ ) ∘ ◡𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ifcif 4481  {csn 4582  ⟨cop 4588   × cxp 5632  ^◡ccnv 5633   ↾ cres 5636   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  ℝ^*cxr 11179   ≤ cle 11181  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ..^cfzo 13584   sSet csts 17104  ndxcnx 17134  lecple 17198   /_s cqus 17440   ~_QG cqg 19069  RSpancrsp 21179  ℤ_ringczring 21418  ℤRHomczrh 21471  ℤ/nℤczn 21474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-subg 19070  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-cnfld 21327  df-zring 21419  df-zn 21478

This theorem is referenced by:  znval2  21509  znle2  21525