Theorem cdlemn7 42076

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn8.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn8.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemn8.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn8.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn8.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn8.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn8.s	⊢ + = (+g‘𝑈)
cdlemn8.f	⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
cdlemn8.g	⊢ 𝐺 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cdlemn7	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐺 = ((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑠))

Distinct variable groups:   ≤ ,ℎ   𝐴,ℎ   𝐵,ℎ   ℎ,𝐻   ℎ,𝐾   𝑇,ℎ   𝑃,ℎ   𝑄,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔, 𝑠)   𝐵(𝑔, 𝑠)   𝑃(𝑔, 𝑠)   + (𝑔, ℎ, 𝑠)   𝑄(𝑔, 𝑠)   𝑅(𝑔, ℎ, 𝑠)   𝑇(𝑔, 𝑠)   𝑈(𝑔, ℎ, 𝑠)   𝐸(𝑔, ℎ, 𝑠)   𝐹(𝑔, ℎ, 𝑠)   𝐺(𝑔, ℎ, 𝑠)   𝐻(𝑔, 𝑠)   𝐾(𝑔, 𝑠)   ≤ (𝑔, 𝑠)   𝑂(𝑔, ℎ, 𝑠)   𝑊(𝑔, 𝑠)

Proof of Theorem cdlemn7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1230	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))
2		simp1 1154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
4		simp2r 1219	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊))
5		simp31 1228	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑠 ∈ 𝐸)
6		simp32 1229	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔 ∈ 𝑇)
7		cdlemn8.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemn8.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cdlemn8.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10		cdlemn8.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		cdlemn8.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
12		cdlemn8.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
13		cdlemn8.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		cdlemn8.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemn8.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
16		cdlemn8.s	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
17		cdlemn8.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (℩ℎ ∈ 𝑇 (ℎ‘𝑃) = 𝑄)
18	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	cdlemn6 42075	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) → (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
19	2, 3, 4, 5, 6, 18	syl122anc 1406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
20	1, 19	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = ⟨((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
21		fvex 6891	. . . 4 ⊢ (𝑠‘𝐹) ∈ V
22		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑔 ∈ V
23	21, 22	coex 7927	. . 3 ⊢ ((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔) ∈ V
24		vex 3454	. . 3 ⊢ 𝑠 ∈ V
25	23, 24	opth2 5456	. 2 ⊢ (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = ⟨((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔), 𝑠⟩ ↔ (𝐺 = ((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑠))
26	20, 25	sylib 221	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ = (⟨(𝑠‘𝐹), 𝑠⟩ + ⟨𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐺 = ((𝑠‘𝐹) ∘ 𝑔) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑠))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  ℩crio 7369  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  lecple 17349  occoc 17350  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  LHypclh 40857  LTrncltrn 40974  TEndoctendo 41625  DVecHcdvh 41951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032  df-tendo 41628  df-edring 41630  df-dvech 41952

This theorem is used by:  cdlemn8  42077