Theorem erngplus2 40790

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.p	⊢ + = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngplus2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Proof of Theorem erngplus2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngplus 40789	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
7	6	3adantr3 1172	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
8		fveq2 6865	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑈‘𝑓) = (𝑈‘𝐹))
9		fveq2 6865	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑉‘𝑓) = (𝑉‘𝐹))
10	8, 9	coeq12d 5836	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
12		simpr3 1197	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		fvex 6878	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
14		fvex 6878	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
15	13, 14	coex 7915	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
17	7, 11, 12, 16	fvmptd 6982	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5196   ∘ ccom 5650  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  +_gcplusg 17226  HLchlt 39335  LHypclh 39970  LTrncltrn 40087  TEndoctendo 40738  EDRingcedring 40739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13482  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-edring 40743

This theorem is referenced by:  dvhlveclem  41094