Theorem erngplus2 39979

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.p	⊢ + = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngplus2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Proof of Theorem erngplus2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngplus 39978	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
7	6	3adantr3 1170	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
8		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑈‘𝑓) = (𝑈‘𝐹))
9		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑉‘𝑓) = (𝑉‘𝐹))
10	8, 9	coeq12d 5864	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
12		simpr3 1195	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
14		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
15	13, 14	coex 7925	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
17	7, 11, 12, 16	fvmptd 7005	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  +_gcplusg 17202  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  TEndoctendo 39927  EDRingcedring 39928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-edring 39932

This theorem is referenced by:  dvhlveclem  40283