Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngplus2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngplus2 38818
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.p + = (+g𝐷)
Assertion
Ref Expression
erngplus2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))

Proof of Theorem erngplus2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erngset.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 erng.p . . . 4 + = (+g𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngplus 38817 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓))))
763adantr3 1170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓))))
8 fveq2 6774 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑈𝑓) = (𝑈𝐹))
9 fveq2 6774 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑉𝑓) = (𝑉𝐹))
108, 9coeq12d 5773 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
1110adantl 482 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
12 simpr3 1195 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → 𝐹𝑇)
13 fvex 6787 . . . 4 (𝑈𝐹) ∈ V
14 fvex 6787 . . . 4 (𝑉𝐹) ∈ V
1513, 14coex 7777 . . 3 ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∈ V)
177, 11, 12, 16fvmptd 6882 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  cmpt 5157  ccom 5593  cfv 6433  (class class class)co 7275  +gcplusg 16962  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  TEndoctendo 38766  EDRingcedring 38767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-edring 38771
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  39122
  Copyright terms: Public domain W3C validator