Theorem erngplus2 41502

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.p	⊢ + = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngplus2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Proof of Theorem erngplus2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngplus 41501	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
7	6	3adantr3 1188	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
8		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑈‘𝑓) = (𝑈‘𝐹))
9		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑉‘𝑓) = (𝑉‘𝐹))
10	8, 9	coeq12d 5851	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
11	10	adantl 486	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
12		simpr3 1213	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
14		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
15	13, 14	coex 7927	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
17	7, 11, 12, 16	fvmptd 6998	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5196   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  +_gcplusg 17310  HLchlt 40048  LHypclh 40682  LTrncltrn 40799  TEndoctendo 41450  EDRingcedring 41451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-edring 41455

This theorem is referenced by:  dvhlveclem  41806