Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngplus2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngplus2 40710
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng.p + = (+g𝐷)
Assertion
Ref Expression
erngplus2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))

Proof of Theorem erngplus2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 erngset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 erngset.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 erngset.d . . . 4 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 erng.p . . . 4 + = (+g𝐷)
61, 2, 3, 4, 5erngplus 40709 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓))))
763adantr3 1171 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓𝑇 ↦ ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓))))
8 fveq2 6919 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑈𝑓) = (𝑈𝐹))
9 fveq2 6919 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑉𝑓) = (𝑉𝐹))
108, 9coeq12d 5888 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
1110adantl 481 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑈𝑓) ∘ (𝑉𝑓)) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
12 simpr3 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → 𝐹𝑇)
13 fvex 6932 . . . 4 (𝑈𝐹) ∈ V
14 fvex 6932 . . . 4 (𝑉𝐹) ∈ V
1513, 14coex 7966 . . 3 ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)) ∈ V)
177, 11, 12, 16fvmptd 7034 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸𝐹𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈𝐹) ∘ (𝑉𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  Vcvv 3482  cmpt 5252  ccom 5703  cfv 6572  (class class class)co 7445  +gcplusg 17306  HLchlt 39255  LHypclh 39890  LTrncltrn 40007  TEndoctendo 40658  EDRingcedring 40659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-edring 40663
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  41014
  Copyright terms: Public domain W3C validator