Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihopellsm 39768
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihopellsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihopellsm.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.a 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
dihopellsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihopellsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dihopellsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dihopellsm (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑣,𝐸   𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒,𝐹   𝑔,𝑖,𝐻,𝑑   𝑔,𝐼,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑣,𝑔,𝑀,𝐾,𝑖,𝑑   𝑆,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   π‘ˆ,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Š,𝑖,𝑑,𝑣,𝑀   𝑔,𝑋,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Œ,β„Ž,𝑑,𝑒   πœ‘,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐴(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐡(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   βŠ• (𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑀,𝑣,𝑖)   𝑇(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐸(𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑒,β„Ž)   𝐼(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐾(𝑒,β„Ž)   𝐿(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑒,β„Ž)   𝑋(𝑀,𝑣,𝑖)   π‘Œ(𝑀,𝑣,𝑖)

Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihopellsm.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 dihopellsm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 dihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dihopellsm.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 39763 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
91, 2, 8syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
10 dihopellsm.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 39763 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
121, 10, 11syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
14 dihopellsm.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 39630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
17 dihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 dihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
191adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
202adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 39766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
231adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2410adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
25 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 39766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
2722, 26anim12dan 620 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)))
281adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
30 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 39607 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3433eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩))
35 vex 3451 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3451 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
3735, 36coex 7871 . . . . . . 7 (𝑔 ∘ β„Ž) ∈ V
38 ovex 7394 . . . . . . 7 (𝑑𝐴𝑒) ∈ V
3937, 38opth2 5441 . . . . . 6 (⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))
4034, 39bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4127, 40syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4241pm5.32da 580 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ ((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
43424exbidv 1930 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
4416, 43bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  LSSumclsm 19424  LSubSpclss 20436  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  TEndoctendo 39265  DVecHcdvh 39591  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  39934
  Copyright terms: Public domain W3C validator