Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihopellsm 40121
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihopellsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihopellsm.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.a 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
dihopellsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihopellsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dihopellsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dihopellsm (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑣,𝐸   𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒,𝐹   𝑔,𝑖,𝐻,𝑑   𝑔,𝐼,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑣,𝑔,𝑀,𝐾,𝑖,𝑑   𝑆,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   π‘ˆ,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Š,𝑖,𝑑,𝑣,𝑀   𝑔,𝑋,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Œ,β„Ž,𝑑,𝑒   πœ‘,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐴(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐡(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   βŠ• (𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑀,𝑣,𝑖)   𝑇(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐸(𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑒,β„Ž)   𝐼(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐾(𝑒,β„Ž)   𝐿(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑒,β„Ž)   𝑋(𝑀,𝑣,𝑖)   π‘Œ(𝑀,𝑣,𝑖)
Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihopellsm.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 dihopellsm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 dihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dihopellsm.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2732 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 40116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
91, 2, 8syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
10 dihopellsm.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 40116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
121, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
14 dihopellsm.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 39983 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
17 dihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 dihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
191adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
202adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 40119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
231adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2410adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
25 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 40119 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
2722, 26anim12dan 619 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)))
281adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
30 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 39960 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3433eqeq2d 2743 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩))
35 vex 3478 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3478 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
3735, 36coex 7920 . . . . . . 7 (𝑔 ∘ β„Ž) ∈ V
38 ovex 7441 . . . . . . 7 (𝑑𝐴𝑒) ∈ V
3937, 38opth2 5480 . . . . . 6 (⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))
4034, 39bitrdi 286 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4127, 40syldan 591 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4241pm5.32da 579 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ ((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
43424exbidv 1929 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
4416, 43bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  LSSumclsm 19501  LSubSpclss 20541  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  TEndoctendo 39618  DVecHcdvh 39944  DIsoHcdih 40094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  40287
  Copyright terms: Public domain W3C validator