Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihopellsm 37836
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihopellsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihopellsm.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.a 𝐴 = (𝑣𝐸, 𝑤𝐸 ↦ (𝑖𝑇 ↦ ((𝑣𝑖) ∘ (𝑤𝑖))))
dihopellsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑈)
dihopellsm.p = (LSSum‘𝑈)
dihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihopellsm.x (𝜑𝑋𝐵)
dihopellsm.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
dihopellsm (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝐸   𝑔,,𝑡,𝑢,𝐹   𝑔,𝑖,𝐻,𝑡   𝑔,𝐼,,𝑡,𝑢   𝑣,𝑔,𝑤,𝐾,𝑖,𝑡   𝑆,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑈,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑔,𝑊,𝑖,𝑡,𝑣,𝑤   𝑔,𝑋,,𝑡,𝑢   𝑔,𝑌,,𝑡,𝑢   𝜑,𝑔,,𝑡,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐴(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝐵(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   (𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝑆(𝑤,𝑣,𝑖)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐸(𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐼(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐾(𝑢,)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝑊(𝑢,)   𝑋(𝑤,𝑣,𝑖)   𝑌(𝑤,𝑣,𝑖)

Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihopellsm.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 dihopellsm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 dihopellsm.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2772 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 37831 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
91, 2, 8syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10 dihopellsm.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 37831 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 10, 11syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 eqid 2772 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
14 dihopellsm.p . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 37698 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
17 dihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 dihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
191adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
202adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → 𝑋𝐵)
21 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 37834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
231adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2410adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → 𝑌𝐵)
25 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 37834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝑇𝑢𝐸))
2722, 26anim12dan 609 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)))
281adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 758 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
30 simprr 760 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑇𝑢𝐸))
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑣𝐸, 𝑤𝐸 ↦ (𝑖𝑇 ↦ ((𝑣𝑖) ∘ (𝑤𝑖))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 37675 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3433eqeq2d 2782 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩))
35 vex 3412 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3412 . . . . . . . 8 ∈ V
3735, 36coex 7444 . . . . . . 7 (𝑔) ∈ V
38 ovex 7002 . . . . . . 7 (𝑡𝐴𝑢) ∈ V
3937, 38opth2 5223 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))
4034, 39syl6bb 279 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4127, 40syldan 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4241pm5.32da 571 . . 3 (𝜑 → (((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
43424exbidv 1885 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
4416, 43bitrd 271 1 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2050  cop 4441  cmpt 5002  ccom 5405  cfv 6182  (class class class)co 6970  cmpo 6972  Basecbs 16333  +gcplusg 16415  LSSumclsm 18514  LSubSpclss 19419  HLchlt 35931  LHypclh 36565  LTrncltrn 36682  TEndoctendo 37333  DVecHcdvh 37659  DIsoHcdih 37809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-riotaBAD 35534
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-tpos 7689  df-undef 7736  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-0g 16565  df-proset 17390  df-poset 17408  df-plt 17420  df-lub 17436  df-glb 17437  df-join 17438  df-meet 17439  df-p0 17501  df-p1 17502  df-lat 17508  df-clat 17570  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-subg 18054  df-cntz 18212  df-lsm 18516  df-cmn 18662  df-abl 18663  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-oppr 19090  df-dvdsr 19108  df-unit 19109  df-invr 19139  df-dvr 19150  df-drng 19221  df-lmod 19352  df-lss 19420  df-lsp 19460  df-lvec 19591  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740  df-tendo 37336  df-edring 37338  df-disoa 37610  df-dvech 37660  df-dib 37720  df-dic 37754  df-dih 37810
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  38002
  Copyright terms: Public domain W3C validator