Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihopellsm 40064
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihopellsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihopellsm.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.a 𝐴 = (𝑣𝐸, 𝑤𝐸 ↦ (𝑖𝑇 ↦ ((𝑣𝑖) ∘ (𝑤𝑖))))
dihopellsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑈)
dihopellsm.p = (LSSum‘𝑈)
dihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihopellsm.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihopellsm.x (𝜑𝑋𝐵)
dihopellsm.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
dihopellsm (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝐸   𝑔,,𝑡,𝑢,𝐹   𝑔,𝑖,𝐻,𝑡   𝑔,𝐼,,𝑡,𝑢   𝑣,𝑔,𝑤,𝐾,𝑖,𝑡   𝑆,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑈,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑔,𝑊,𝑖,𝑡,𝑣,𝑤   𝑔,𝑋,,𝑡,𝑢   𝑔,𝑌,,𝑡,𝑢   𝜑,𝑔,,𝑡,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐴(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝐵(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   (𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝑆(𝑤,𝑣,𝑖)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐸(𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑢,)   𝐼(𝑤,𝑣,𝑖)   𝐾(𝑢,)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑔,,𝑖)   𝑊(𝑢,)   𝑋(𝑤,𝑣,𝑖)   𝑌(𝑤,𝑣,𝑖)

Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dihopellsm.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 dihopellsm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 dihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 dihopellsm.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2733 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 40059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
91, 2, 8syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10 dihopellsm.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 40059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 10, 11syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 eqid 2733 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
14 dihopellsm.p . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 39926 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
17 dihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 dihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
191adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
202adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → 𝑋𝐵)
21 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 40062 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
231adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2410adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → 𝑌𝐵)
25 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 40062 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝑇𝑢𝐸))
2722, 26anim12dan 620 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)))
281adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
30 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑇𝑢𝐸))
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑣𝐸, 𝑤𝐸 ↦ (𝑖𝑇 ↦ ((𝑣𝑖) ∘ (𝑤𝑖))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 39903 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3433eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩))
35 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3479 . . . . . . . 8 ∈ V
3735, 36coex 7916 . . . . . . 7 (𝑔) ∈ V
38 ovex 7437 . . . . . . 7 (𝑡𝐴𝑢) ∈ V
3937, 38opth2 5479 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))
4034, 39bitrdi 287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4127, 40syldan 592 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4241pm5.32da 580 . . 3 (𝜑 → (((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
43424exbidv 1930 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
4416, 43bitrd 279 1 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  cop 4633  cmpt 5230  ccom 5679  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  LSSumclsm 19495  LSubSpclss 20530  HLchlt 38158  LHypclh 38793  LTrncltrn 38910  TEndoctendo 39561  DVecHcdvh 39887  DIsoHcdih 40037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  40230
  Copyright terms: Public domain W3C validator