Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihopellsm 40760
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihopellsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihopellsm.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.a 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
dihopellsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihopellsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dihopellsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dihopellsm (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑣,𝐸   𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒,𝐹   𝑔,𝑖,𝐻,𝑑   𝑔,𝐼,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑣,𝑔,𝑀,𝐾,𝑖,𝑑   𝑆,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   π‘ˆ,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Š,𝑖,𝑑,𝑣,𝑀   𝑔,𝑋,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Œ,β„Ž,𝑑,𝑒   πœ‘,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐴(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐡(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   βŠ• (𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑀,𝑣,𝑖)   𝑇(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐸(𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑒,β„Ž)   𝐼(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐾(𝑒,β„Ž)   𝐿(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑒,β„Ž)   𝑋(𝑀,𝑣,𝑖)   π‘Œ(𝑀,𝑣,𝑖)
Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihopellsm.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 dihopellsm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 dihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dihopellsm.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2728 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 40755 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
91, 2, 8syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
10 dihopellsm.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 40755 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
121, 10, 11syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
14 dihopellsm.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 40622 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
17 dihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 dihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
191adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
202adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 40758 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
231adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2410adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
25 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 40758 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
2722, 26anim12dan 617 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)))
281adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simprl 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
30 simprr 771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 40599 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3433eqeq2d 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩))
35 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3477 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
3735, 36coex 7944 . . . . . . 7 (𝑔 ∘ β„Ž) ∈ V
38 ovex 7459 . . . . . . 7 (𝑑𝐴𝑒) ∈ V
3937, 38opth2 5486 . . . . . 6 (⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))
4034, 39bitrdi 286 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4127, 40syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4241pm5.32da 577 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ ((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
43424exbidv 1921 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
4416, 43bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4638   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  LSSumclsm 19596  LSubSpclss 20822  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  TEndoctendo 40257  DVecHcdvh 40583  DIsoHcdih 40733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  40926
  Copyright terms: Public domain W3C validator