Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihopellsm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihopellsm 40637
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihopellsm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihopellsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihopellsm.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.a 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
dihopellsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihopellsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihopellsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dihopellsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dihopellsm (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑣,𝐸   𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒,𝐹   𝑔,𝑖,𝐻,𝑑   𝑔,𝐼,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑣,𝑔,𝑀,𝐾,𝑖,𝑑   𝑆,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   π‘ˆ,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Š,𝑖,𝑑,𝑣,𝑀   𝑔,𝑋,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Œ,β„Ž,𝑑,𝑒   πœ‘,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐴(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐡(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   βŠ• (𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑀,𝑣,𝑖)   𝑇(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐸(𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐻(𝑀,𝑣,𝑒,β„Ž)   𝐼(𝑀,𝑣,𝑖)   𝐾(𝑒,β„Ž)   𝐿(𝑀,𝑣,𝑒,𝑑,𝑔,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑒,β„Ž)   𝑋(𝑀,𝑣,𝑖)   π‘Œ(𝑀,𝑣,𝑖)
Proof of Theorem dihopellsm
StepHypRef Expression
1 dihopellsm.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihopellsm.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 dihopellsm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 dihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dihopellsm.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2726 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 40632 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
91, 2, 8syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
10 dihopellsm.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 40632 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
121, 10, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
14 dihopellsm.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 40499 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
17 dihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 dihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
191adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
202adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 40635 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
231adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2410adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
25 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 40635 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
2722, 26anim12dan 618 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)))
281adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
30 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
31 dihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑣 ∈ 𝐸, 𝑀 ∈ 𝐸 ↦ (𝑖 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘£β€˜π‘–) ∘ (π‘€β€˜π‘–))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 40476 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3433eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩))
35 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3472 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
3735, 36coex 7917 . . . . . . 7 (𝑔 ∘ β„Ž) ∈ V
38 ovex 7437 . . . . . . 7 (𝑑𝐴𝑒) ∈ V
3937, 38opth2 5473 . . . . . 6 (⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))
4034, 39bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4127, 40syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4241pm5.32da 578 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ ((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
43424exbidv 1921 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
4416, 43bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  LSSumclsm 19552  LSubSpclss 20776  HLchlt 38731  LHypclh 39366  LTrncltrn 39483  TEndoctendo 40134  DVecHcdvh 40460  DIsoHcdih 40610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611
This theorem is referenced by:  dihjatcclem4  40803
  Copyright terms: Public domain W3C validator