Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xihopellsmN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xihopellsmN 40638
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
xihopellsm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
xihopellsm.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
xihopellsm.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
xihopellsm.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
xihopellsm.a 𝐴 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
xihopellsm.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
xihopellsm.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
xihopellsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
xihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
xihopellsm.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
xihopellsm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
xihopellsm.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
xihopellsmN (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒,𝐹   𝑓,𝑔,𝑑,𝐻   𝑔,𝐼,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑓,𝑠,𝐾,𝑔,𝑑   𝑆,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   π‘ˆ,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑓,π‘Š,𝑔,𝑠,𝑑   𝑔,𝑋,β„Ž,𝑑,𝑒   𝑔,π‘Œ,β„Ž,𝑑,𝑒   πœ‘,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑠)   𝐴(𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐡(𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   βŠ• (𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑆(𝑓,𝑠)   𝑇(𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘ˆ(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑒,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐹(𝑓,𝑠)   𝐻(𝑒,β„Ž,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑒,β„Ž)   𝐿(𝑒,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑒,β„Ž)   𝑋(𝑓,𝑠)   π‘Œ(𝑓,𝑠)
Proof of Theorem xihopellsmN
StepHypRef Expression
1 xihopellsm.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 xihopellsm.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 xihopellsm.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 xihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 xihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 xihopellsm.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2726 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 40634 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
91, 2, 8syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
10 xihopellsm.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 40634 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
121, 10, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
14 xihopellsm.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 40501 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©))))
17 xihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 xihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
191adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
202adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 40637 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
231adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2410adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
25 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 40637 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
2722, 26anim12dan 618 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)))
281adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
29 simprl 768 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
30 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))
31 xihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 40478 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸)) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩)
3433eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩))
35 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3472 . . . . . . . 8 β„Ž ∈ V
3735, 36coex 7920 . . . . . . 7 (𝑔 ∘ β„Ž) ∈ V
38 ovex 7438 . . . . . . 7 (𝑑𝐴𝑒) ∈ V
3937, 38opth2 5473 . . . . . 6 (⟨𝐹, π‘†βŸ© = ⟨(𝑔 ∘ β„Ž), (𝑑𝐴𝑒)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))
4034, 39bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ (β„Ž ∈ 𝑇 ∧ 𝑒 ∈ 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4127, 40syldan 590 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ))) β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©) ↔ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒))))
4241pm5.32da 578 . . 3 (πœ‘ β†’ (((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ ((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
43424exbidv 1921 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ ⟨𝐹, π‘†βŸ© = (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ©(+gβ€˜π‘ˆ)βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
4416, 43bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (⟨𝐹, π‘†βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ• (πΌβ€˜π‘Œ)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‹) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐹 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑆 = (𝑑𝐴𝑒)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  LSSumclsm 19554  LSubSpclss 20778  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  DVecHcdvh 40462  DIsoHcdih 40612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator