Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xihopellsmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xihopellsmN 39005
Description: Ordered pair membership in a subspace sum of isomorphism H values. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
xihopellsm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
xihopellsm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
xihopellsm.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.a 𝐴 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
xihopellsm.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑈)
xihopellsm.p = (LSSum‘𝑈)
xihopellsm.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
xihopellsm.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
xihopellsm.x (𝜑𝑋𝐵)
xihopellsm.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
xihopellsmN (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑔,,𝑡,𝑢,𝐹   𝑓,𝑔,𝑡,𝐻   𝑔,𝐼,,𝑡,𝑢   𝑓,𝑠,𝐾,𝑔,𝑡   𝑆,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑈,𝑔,,𝑡,𝑢   𝑓,𝑊,𝑔,𝑠,𝑡   𝑔,𝑋,,𝑡,𝑢   𝑔,𝑌,,𝑡,𝑢   𝜑,𝑔,,𝑡,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑠)   𝐴(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐵(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   (𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑆(𝑓,𝑠)   𝑇(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑈(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑢,𝑓,𝑔,)   𝐹(𝑓,𝑠)   𝐻(𝑢,,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑢,)   𝐿(𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑢,)   𝑋(𝑓,𝑠)   𝑌(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem xihopellsmN
StepHypRef Expression
1 xihopellsm.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 xihopellsm.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 xihopellsm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 xihopellsm.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 xihopellsm.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 xihopellsm.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2737 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
83, 4, 5, 6, 7dihlss 39001 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
91, 2, 8syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
10 xihopellsm.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
113, 4, 5, 6, 7dihlss 39001 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
121, 10, 11syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
14 xihopellsm.p . . . 4 = (LSSum‘𝑈)
154, 6, 13, 7, 14dvhopellsm 38868 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝐼𝑌) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
161, 9, 12, 15syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩))))
17 xihopellsm.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 xihopellsm.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
191adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
202adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → 𝑋𝐵)
21 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋))
223, 4, 17, 18, 5, 19, 20, 21dihopcl 39004 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋)) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
231adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2410adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → 𝑌𝐵)
25 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))
263, 4, 17, 18, 5, 23, 24, 25dihopcl 39004 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) → (𝑇𝑢𝐸))
2722, 26anim12dan 622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)))
281adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
29 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑔𝑇𝑡𝐸))
30 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (𝑇𝑢𝐸))
31 xihopellsm.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
324, 17, 18, 31, 6, 13dvhopvadd2 38845 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸)) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩)
3433eqeq2d 2748 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩))
35 vex 3412 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
36 vex 3412 . . . . . . . 8 ∈ V
3735, 36coex 7708 . . . . . . 7 (𝑔) ∈ V
38 ovex 7246 . . . . . . 7 (𝑡𝐴𝑢) ∈ V
3937, 38opth2 5364 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝑆⟩ = ⟨(𝑔), (𝑡𝐴𝑢)⟩ ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))
4034, 39bitrdi 290 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑔𝑇𝑡𝐸) ∧ (𝑇𝑢𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4127, 40syldan 594 . . . 4 ((𝜑 ∧ (⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌))) → (⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩) ↔ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢))))
4241pm5.32da 582 . . 3 (𝜑 → (((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
43424exbidv 1934 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ ⟨𝐹, 𝑆⟩ = (⟨𝑔, 𝑡⟩(+g𝑈)⟨, 𝑢⟩)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
4416, 43bitrd 282 1 (𝜑 → (⟨𝐹, 𝑆⟩ ∈ ((𝐼𝑋) (𝐼𝑌)) ↔ ∃𝑔𝑡𝑢((⟨𝑔, 𝑡⟩ ∈ (𝐼𝑋) ∧ ⟨, 𝑢⟩ ∈ (𝐼𝑌)) ∧ (𝐹 = (𝑔) ∧ 𝑆 = (𝑡𝐴𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  cop 4547  cmpt 5135  ccom 5555  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  LSSumclsm 19023  LSubSpclss 19968  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  TEndoctendo 38503  DVecHcdvh 38829  DIsoHcdih 38979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-riotaBAD 36704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-undef 8015  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-0g 16946  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lvec 20140  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tendo 38506  df-edring 38508  df-disoa 38780  df-dvech 38830  df-dib 38890  df-dic 38924  df-dih 38980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator