Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihordlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihordlem7 40743
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihordlem8.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihordlem8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihordlem8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihordlem8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihordlem8.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihordlem8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dihordlem8.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dihordlem7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑓 = ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑃,β„Ž   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐡(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑔,𝑠)   + (𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑇(𝑓,𝑔,𝑠)   π‘ˆ(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐸(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐻(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑔,𝑠)   ≀ (𝑓,𝑔,𝑠)   𝑂(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑓,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dihordlem7
StepHypRef Expression
1 simp33 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))
2 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
5 simp31 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
6 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
7 dihordlem8.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 dihordlem8.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dihordlem8.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 dihordlem8.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 dihordlem8.p . . . . 5 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 dihordlem8.o . . . . 5 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
13 dihordlem8.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihordlem8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 dihordlem8.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 dihordlem8.s . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
17 dihordlem8.g . . . . 5 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17dihordlem6 40742 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
192, 3, 4, 5, 6, 18syl122anc 1376 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
201, 19eqtrd 2765 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
21 fvex 6905 . . . 4 (π‘ β€˜πΊ) ∈ V
22 vex 3467 . . . 4 𝑔 ∈ V
2321, 22coex 7936 . . 3 ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∈ V
24 vex 3467 . . 3 𝑠 ∈ V
2523, 24opth2 5476 . 2 (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ© ↔ (𝑓 = ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
2620, 25sylib 217 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑓 = ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  lecple 17239  occoc 17240  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  TEndoctendo 40281  DVecHcdvh 40607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dvech 40608
This theorem is referenced by:  dihordlem7b  40744
  Copyright terms: Public domain W3C validator