Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihordlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihordlem7 37801
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihordlem8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihordlem8.l = (le‘𝐾)
dihordlem8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihordlem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihordlem8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihordlem8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.s + = (+g𝑈)
dihordlem8.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dihordlem7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑓 = ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑃,   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑔,𝑠)   + (𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑅(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑇(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑈(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐺(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑔,𝑠)   (𝑓,𝑔,𝑠)   𝑂(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dihordlem7
StepHypRef Expression
1 simp33 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))
2 simp1 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp2r 1180 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
5 simp31 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑠𝐸)
6 simp32 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔𝑇)
7 dihordlem8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 dihordlem8.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 dihordlem8.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 dihordlem8.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 dihordlem8.p . . . . 5 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
12 dihordlem8.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
13 dihordlem8.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 dihordlem8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15 dihordlem8.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
16 dihordlem8.s . . . . 5 + = (+g𝑈)
17 dihordlem8.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17dihordlem6 37800 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
192, 3, 4, 5, 6, 18syl122anc 1359 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
201, 19eqtrd 2814 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
21 fvex 6512 . . . 4 (𝑠𝐺) ∈ V
22 vex 3418 . . . 4 𝑔 ∈ V
2321, 22coex 7450 . . 3 ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∈ V
24 vex 3418 . . 3 𝑠 ∈ V
2523, 24opth2 5229 . 2 (⟨𝑓, 𝑂⟩ = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩ ↔ (𝑓 = ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
2620, 25sylib 210 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑓 = ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cop 4447   class class class wbr 4929  cmpt 5008   I cid 5311  cres 5409  ccom 5411  cfv 6188  crio 6936  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  lecple 16428  occoc 16429  Atomscatm 35850  HLchlt 35937  LHypclh 36571  LTrncltrn 36688  TEndoctendo 37339  DVecHcdvh 37665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-riotaBAD 35540
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-undef 7742  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35763  df-ol 35765  df-oml 35766  df-covers 35853  df-ats 35854  df-atl 35885  df-cvlat 35909  df-hlat 35938  df-llines 36085  df-lplanes 36086  df-lvols 36087  df-lines 36088  df-psubsp 36090  df-pmap 36091  df-padd 36383  df-lhyp 36575  df-laut 36576  df-ldil 36691  df-ltrn 36692  df-trl 36746  df-tendo 37342  df-edring 37344  df-dvech 37666
This theorem is referenced by:  dihordlem7b  37802
  Copyright terms: Public domain W3C validator