Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihordlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihordlem7 40579
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihordlem8.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihordlem8.l = (le‘𝐾)
dihordlem8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihordlem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihordlem8.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihordlem8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihordlem8.s + = (+g𝑈)
dihordlem8.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dihordlem7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑓 = ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   𝑃,   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐵(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑔,𝑠)   + (𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑄(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑅(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑇(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑈(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐸(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐺(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝐻(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑔,𝑠)   (𝑓,𝑔,𝑠)   𝑂(𝑓,𝑔,,𝑠)   𝑊(𝑓,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dihordlem7
StepHypRef Expression
1 simp33 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))
2 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
4 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
5 simp31 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑠𝐸)
6 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → 𝑔𝑇)
7 dihordlem8.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 dihordlem8.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 dihordlem8.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 dihordlem8.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 dihordlem8.p . . . . 5 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
12 dihordlem8.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
13 dihordlem8.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 dihordlem8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
15 dihordlem8.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
16 dihordlem8.s . . . . 5 + = (+g𝑈)
17 dihordlem8.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17dihordlem6 40578 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇)) → (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
192, 3, 4, 5, 6, 18syl122anc 1376 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩) = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
201, 19eqtrd 2764 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → ⟨𝑓, 𝑂⟩ = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩)
21 fvex 6895 . . . 4 (𝑠𝐺) ∈ V
22 vex 3470 . . . 4 𝑔 ∈ V
2321, 22coex 7915 . . 3 ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∈ V
24 vex 3470 . . 3 𝑠 ∈ V
2523, 24opth2 5471 . 2 (⟨𝑓, 𝑂⟩ = ⟨((𝑠𝐺) ∘ 𝑔), 𝑠⟩ ↔ (𝑓 = ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
2620, 25sylib 217 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ (𝑠𝐸𝑔𝑇 ∧ ⟨𝑓, 𝑂⟩ = (⟨(𝑠𝐺), 𝑠+𝑔, 𝑂⟩))) → (𝑓 = ((𝑠𝐺) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cop 4627   class class class wbr 5139  cmpt 5222   I cid 5564  cres 5669  ccom 5671  cfv 6534  crio 7357  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  lecple 17205  occoc 17206  Atomscatm 38627  HLchlt 38714  LHypclh 39349  LTrncltrn 39466  TEndoctendo 40117  DVecHcdvh 40443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-dvech 40444
This theorem is referenced by:  dihordlem7b  40580
  Copyright terms: Public domain W3C validator