Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihordlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihordlem7 40598
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 122. Reverse ordering property. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihordlem8.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihordlem8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihordlem8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihordlem8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihordlem8.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihordlem8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dihordlem8.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dihordlem7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑓 = ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑃,β„Ž   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐡(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑃(𝑓,𝑔,𝑠)   + (𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑓,𝑔,𝑠)   𝑇(𝑓,𝑔,𝑠)   π‘ˆ(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐸(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐻(𝑓,𝑔,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑔,𝑠)   ≀ (𝑓,𝑔,𝑠)   𝑂(𝑓,𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑓,𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dihordlem7
StepHypRef Expression
1 simp33 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))
2 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
5 simp31 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
6 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
7 dihordlem8.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 dihordlem8.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 dihordlem8.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 dihordlem8.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 dihordlem8.p . . . . 5 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 dihordlem8.o . . . . 5 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
13 dihordlem8.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihordlem8.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 dihordlem8.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 dihordlem8.s . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
17 dihordlem8.g . . . . 5 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17dihordlem6 40597 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
192, 3, 4, 5, 6, 18syl122anc 1376 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
201, 19eqtrd 2766 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
21 fvex 6898 . . . 4 (π‘ β€˜πΊ) ∈ V
22 vex 3472 . . . 4 𝑔 ∈ V
2321, 22coex 7920 . . 3 ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∈ V
24 vex 3472 . . 3 𝑠 ∈ V
2523, 24opth2 5473 . 2 (βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ© ↔ (𝑓 = ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
2620, 25sylib 217 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ βŸ¨π‘“, π‘‚βŸ© = (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑓 = ((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔) ∧ 𝑂 = 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  lecple 17213  occoc 17214  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  DVecHcdvh 40462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dvech 40463
This theorem is referenced by:  dihordlem7b  40599
  Copyright terms: Public domain W3C validator