Theorem erngplus2-rN 40748

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
erng.p-r	⊢ + = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngplus2-rN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Proof of Theorem erngplus2-rN

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h-r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t-r	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e-r	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d-r	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.p-r	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngplus-rN 40747	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
7	6	3adantr3 1171	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
8		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑈‘𝑓) = (𝑈‘𝐹))
9		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑉‘𝑓) = (𝑉‘𝐹))
10	8, 9	coeq12d 5855	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
12		simpr3 1196	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
14		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
15	13, 14	coex 7933	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
17	7, 11, 12, 16	fvmptd 7002	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5205   ∘ ccom 5669  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  +_gcplusg 17272  HLchlt 39285  LHypclh 39920  LTrncltrn 40037  TEndoctendo 40688  EDRing_Rcedring-rN 40690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-struct 17165  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-edring-rN 40692

This theorem is referenced by: (None)