Theorem erngplus2-rN 41441

Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
erngset.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erngset.t-r	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erngset.e-r	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
erngset.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
erng.p-r	⊢ + = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erngplus2-rN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Proof of Theorem erngplus2-rN

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erngset.h-r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erngset.t-r	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		erngset.e-r	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		erngset.d-r	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
5		erng.p-r	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6	1, 2, 3, 4, 5	erngplus-rN 41440	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
7	6	3adantr3 1186	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑈 + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓))))
8		fveq2 6869	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑈‘𝑓) = (𝑈‘𝐹))
9		fveq2 6869	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑉‘𝑓) = (𝑉‘𝐹))
10	8, 9	coeq12d 5838	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
11	10	adantl 485	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑈‘𝑓) ∘ (𝑉‘𝑓)) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))
12		simpr3 1211	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		fvex 6882	. . . 4 ⊢ (𝑈‘𝐹) ∈ V
14		fvex 6882	. . . 4 ⊢ (𝑉‘𝐹) ∈ V
15	13, 14	coex 7913	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)) ∈ V)
17	7, 11, 12, 16	fvmptd 6985	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → ((𝑈 + 𝑉)‘𝐹) = ((𝑈‘𝐹) ∘ (𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ↦ cmpt 5183   ∘ ccom 5653  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  +_gcplusg 17288  HLchlt 39979  LHypclh 40613  LTrncltrn 40730  TEndoctendo 41381  EDRing_Rcedring-rN 41383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-edring-rN 41385

This theorem is referenced by: (None)