Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngplus2-rN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erngplus2-rN 40337
Description: Ring addition operation. (Contributed by NM, 10-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
erngset.h-r 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erngset.t-r 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.e-r 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erngset.d-r 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng.p-r + = (+gβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erngplus2-rN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆ + 𝑉)β€˜πΉ) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))

Proof of Theorem erngplus2-rN
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erngset.h-r . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erngset.t-r . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 erngset.e-r . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 erngset.d-r . . . 4 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 erng.p-r . . . 4 + = (+gβ€˜π·)
61, 2, 3, 4, 5erngplus-rN 40336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘ˆ + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∘ (π‘‰β€˜π‘“))))
763adantr3 1168 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ˆ + 𝑉) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∘ (π‘‰β€˜π‘“))))
8 fveq2 6890 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘“) = (π‘ˆβ€˜πΉ))
9 fveq2 6890 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘‰β€˜π‘“) = (π‘‰β€˜πΉ))
108, 9coeq12d 5862 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∘ (π‘‰β€˜π‘“)) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))
1110adantl 480 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘“) ∘ (π‘‰β€˜π‘“)) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))
12 simpr3 1193 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
13 fvex 6903 . . . 4 (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ V
14 fvex 6903 . . . 4 (π‘‰β€˜πΉ) ∈ V
1513, 14coex 7932 . . 3 ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)) ∈ V)
177, 11, 12, 16fvmptd 7005 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ˆ + 𝑉)β€˜πΉ) = ((π‘ˆβ€˜πΉ) ∘ (π‘‰β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5227   ∘ ccom 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  +gcplusg 17227  HLchlt 38874  LHypclh 39509  LTrncltrn 39626  TEndoctendo 40277  EDRingRcedring-rN 40279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-edring-rN 40281
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator