MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1val 21686
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1val.m 𝑀 = (1o mPoly (𝑆s 𝑅))
evls1val.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
evls1val ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem evls1val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑆)
21subrgss 20223 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅𝐵)
4 elpwg 4563 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
63, 5mpbird 256 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7 evls1fval.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 evls1fval.e . . . . . 6 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 21685 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅)))
106, 9syldan 591 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅)))
1110fveq1d 6844 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴))
12113adant3 1132 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴))
13 1on 8424 . . . . 5 1o ∈ On
14 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
15 simp2 1137 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
168fveq1i 6843 . . . . . 6 (𝐸𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17 evls1val.m . . . . . 6 𝑀 = (1o mPoly (𝑆s 𝑅))
18 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
19 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵m 1o)) = (𝑆s (𝐵m 1o))
2016, 17, 18, 19, 1evlsrhm 21498 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
2113, 14, 15, 20mp3an2i 1466 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
22 evls1val.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑀)
23 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o)))
2422, 23rhmf 20158 . . . 4 ((𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))) → (𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
2521, 24syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
26 simp3 1138 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
27 fvco3 6940 . . 3 (((𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)))
2825, 26, 27syl2anc 584 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)))
2925, 26ffvelcdmd 7036 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
30 ovex 7390 . . . . 5 (𝐵m 1o) ∈ V
3119, 1pwsbas 17369 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐵m 1o) ∈ V) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
3214, 30, 31sylancl 586 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
3329, 32eleqtrrd 2841 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)))
34 coeq1 5813 . . . 4 (𝑥 = ((𝐸𝑅)‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35 eqid 2736 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
36 fvex 6855 . . . . 5 ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ V
371fvexi 6856 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3837mptex 7173 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
3936, 38coex 7867 . . . 4 (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
4034, 35, 39fvmpt 6948 . . 3 (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
4133, 40syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
4212, 28, 413eqtrd 2780 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ccom 5637  Oncon0 6317  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1oc1o 8405  m cmap 8765  Basecbs 17083  s cress 17112  s cpws 17328  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  SubRingcsubrg 20218   mPoly cmpl 21308   evalSub ces 21480   evalSub1 ces1 21679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-evls 21482  df-evls1 21681
This theorem is referenced by:  evls1var  21704
  Copyright terms: Public domain W3C validator