MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1val Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1val 22258
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1val.m 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
evls1val.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
evls1val ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)
Proof of Theorem evls1val
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
21subrgss 20525 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
32adantl 480 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
4 elpwg 4609 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
54adantl 480 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
63, 5mpbird 256 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
7 evls1fval.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 evls1fval.e . . . . . 6 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 22257 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…)))
106, 9syldan 589 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…)))
1110fveq1d 6904 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄))
12113adant3 1129 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄))
13 1on 8507 . . . . 5 1o ∈ On
14 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
15 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
168fveq1i 6903 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
17 evls1val.m . . . . . 6 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
18 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑆 β†Ύs 𝑅) = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
19 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
2016, 17, 18, 19, 1evlsrhm 22051 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
2113, 14, 15, 20mp3an2i 1462 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
22 evls1val.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
23 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
2422, 23rhmf 20438 . . . 4 ((πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ (πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
2521, 24syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
26 simp3 1135 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
27 fvco3 7002 . . 3 (((πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)))
2825, 26, 27syl2anc 582 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)))
2925, 26ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
30 ovex 7459 . . . . 5 (𝐡 ↑m 1o) ∈ V
3119, 1pwsbas 17478 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V) β†’ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
3214, 30, 31sylancl 584 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
3329, 32eleqtrrd 2832 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)))
34 coeq1 5864 . . . 4 (π‘₯ = ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
35 eqid 2728 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
36 fvex 6915 . . . . 5 ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V
371fvexi 6916 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3837mptex 7241 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V
3936, 38coex 7946 . . . 4 (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V
4034, 35, 39fvmpt 7010 . . 3 (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
4133, 40syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
4212, 28, 413eqtrd 2772 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  Oncon0 6374  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1oc1o 8488   ↑m cmap 8853  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218   ↑s cpws 17437  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422  SubRingcsubrg 20520   mPoly cmpl 21853   evalSub ces 22033   evalSub1 ces1 22251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-assa 21801  df-asp 21802  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-evls 22035  df-evls1 22253
This theorem is referenced by:  evls1var  22276
  Copyright terms: Public domain W3C validator