Theorem evls1val 22325

Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1fval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e	⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1val.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
evls1val.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evls1val	⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem evls1val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1fval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	subrgss 20573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
4		elpwg 4602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
6	3, 5	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7		evls1fval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8		evls1fval.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
9	7, 8, 1	evls1fval 22324	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
10	6, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
11	10	fveq1d 6907	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
12	11	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
13		1on 8519	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
14		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
15		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	8	fveq1i 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evls1val.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
20	16, 17, 18, 19, 1	evlsrhm 22113	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21	13, 14, 15, 20	mp3an2i 1467	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
22		evls1val.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
23		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
24	22, 23	rhmf 20486	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
25	21, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
26		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		fvco3 7007	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
28	25, 26, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
29	25, 26	ffvelcdmd 7104	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30		ovex 7465	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
31	19, 1	pwsbas 17533	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
32	14, 30, 31	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
33	29, 32	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
34		coeq1 5867	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
36		fvex 6918	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
37	1	fvexi 6919	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
38	37	mptex 7244	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
39	36, 38	coex 7953	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
40	34, 35, 39	fvmpt 7015	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
41	33, 40	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
42	12, 28, 41	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682   ∘ ccom 5688  Oncon0 6383  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1_oc1o 8500   ↑_m cmap 8867  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275   ↑_s cpws 17492  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  SubRingcsubrg 20570   mPoly cmpl 21927   evalSub ces 22097   evalSub₁ ces1 22318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-evls 22099  df-evls1 22320

This theorem is referenced by:  evls1var  22343