Theorem evls1val 22285

Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1fval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e	⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1val.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
evls1val.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evls1val	⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem evls1val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1fval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	subrgss 20549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
4		elpwg 4544	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
6	3, 5	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7		evls1fval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8		evls1fval.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
9	7, 8, 1	evls1fval 22284	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
10	6, 9	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
11	10	fveq1d 6842	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
12	11	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
13		1on 8417	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
14		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
15		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	8	fveq1i 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evls1val.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
20	16, 17, 18, 19, 1	evlsrhm 22066	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21	13, 14, 15, 20	mp3an2i 1469	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
22		evls1val.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
23		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
24	22, 23	rhmf 20464	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
25	21, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
26		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		fvco3 6939	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
28	25, 26, 27	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
29	25, 26	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30		ovex 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
31	19, 1	pwsbas 17450	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
32	14, 30, 31	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
33	29, 32	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
34		coeq1 5812	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
36		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
37	1	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
38	37	mptex 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
39	36, 38	coex 7881	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
40	34, 35, 39	fvmpt 6947	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
41	33, 40	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
42	12, 28, 41	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629   ∘ ccom 5635  Oncon0 6323  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1_oc1o 8398   ↑_m cmap 8773  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200   ↑_s cpws 17409  CRingccrg 20215   RingHom crh 20449  SubRingcsubrg 20546   mPoly cmpl 21886   evalSub ces 22050   evalSub₁ ces1 22278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-evls 22052  df-evls1 22280

This theorem is referenced by:  evls1var  22303