MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1val Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1val 21830
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1val.m 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
evls1val.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
evls1val ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)
Proof of Theorem evls1val
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
21subrgss 20356 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
4 elpwg 4604 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
54adantl 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
63, 5mpbird 256 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
7 evls1fval.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 evls1fval.e . . . . . 6 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 21829 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…)))
106, 9syldan 591 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…)))
1110fveq1d 6890 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄))
12113adant3 1132 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄))
13 1on 8474 . . . . 5 1o ∈ On
14 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
15 simp2 1137 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
168fveq1i 6889 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
17 evls1val.m . . . . . 6 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
18 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑆 β†Ύs 𝑅) = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
19 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
2016, 17, 18, 19, 1evlsrhm 21642 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
2113, 14, 15, 20mp3an2i 1466 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
22 evls1val.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
23 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
2422, 23rhmf 20255 . . . 4 ((πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ (πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
2521, 24syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
26 simp3 1138 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
27 fvco3 6987 . . 3 (((πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)))
2825, 26, 27syl2anc 584 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)))
2925, 26ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
30 ovex 7438 . . . . 5 (𝐡 ↑m 1o) ∈ V
3119, 1pwsbas 17429 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V) β†’ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
3214, 30, 31sylancl 586 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
3329, 32eleqtrrd 2836 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)))
34 coeq1 5855 . . . 4 (π‘₯ = ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
35 eqid 2732 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
36 fvex 6901 . . . . 5 ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V
371fvexi 6902 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3837mptex 7221 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V
3936, 38coex 7917 . . . 4 (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V
4034, 35, 39fvmpt 6995 . . 3 (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
4133, 40syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
4212, 28, 413eqtrd 2776 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  Oncon0 6361  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1oc1o 8455   ↑m cmap 8816  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169   ↑s cpws 17388  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624   evalSub1 ces1 21823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626  df-evls1 21825
This theorem is referenced by:  evls1var  21848
  Copyright terms: Public domain W3C validator