MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1val 20007
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e 𝐸 = (1𝑜 evalSub 𝑆)
evls1fval.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1val.m 𝑀 = (1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅))
evls1val.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
evls1val ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem evls1val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑆)
21subrgss 19099 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
32adantl 474 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅𝐵)
4 elpwg 4357 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
54adantl 474 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
63, 5mpbird 249 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7 evls1fval.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 evls1fval.e . . . . . 6 𝐸 = (1𝑜 evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 20006 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅)))
106, 9syldan 586 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅)))
1110fveq1d 6413 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴))
12113adant3 1163 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴))
13 1on 7806 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 1𝑜 ∈ On)
15 simp1 1167 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
16 simp2 1168 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
178fveq1i 6412 . . . . . 6 (𝐸𝑅) = ((1𝑜 evalSub 𝑆)‘𝑅)
18 evls1val.m . . . . . 6 𝑀 = (1𝑜 mPoly (𝑆s 𝑅))
19 eqid 2799 . . . . . 6 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
20 eqid 2799 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜)) = (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))
2117, 18, 19, 20, 1evlsrhm 19843 . . . . 5 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
2214, 15, 16, 21syl3anc 1491 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
23 evls1val.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑀)
24 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜)))
2523, 24rhmf 19044 . . . 4 ((𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))) → (𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
2622, 25syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
27 simp3 1169 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
28 fvco3 6500 . . 3 (((𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)))
2926, 27, 28syl2anc 580 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)))
3026, 27ffvelrnd 6586 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
31 ovex 6910 . . . . 5 (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V
3220, 1pwsbas 16462 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐵𝑚 1𝑜) ∈ V) → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
3315, 31, 32sylancl 581 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 1𝑜))))
3430, 33eleqtrrd 2881 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)))
35 coeq1 5483 . . . 4 (𝑥 = ((𝐸𝑅)‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
36 eqid 2799 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
37 fvex 6424 . . . . 5 ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ V
381fvexi 6425 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3938mptex 6715 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦})) ∈ V
4037, 39coex 7353 . . . 4 (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ V
4135, 36, 40fvmpt 6507 . . 3 (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
4234, 41syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵𝑚 (𝐵𝑚 1𝑜)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
4312, 29, 423eqtrd 2837 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  wss 3769  𝒫 cpw 4349  {csn 4368  cmpt 4922   × cxp 5310  ccom 5316  Oncon0 5941  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  1𝑜c1o 7792  𝑚 cmap 8095  Basecbs 16184  s cress 16185  s cpws 16422  CRingccrg 18864   RingHom crh 19030  SubRingcsubrg 19094   mPoly cmpl 19676   evalSub ces 19826   evalSub1 ces1 20000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-srg 18822  df-ring 18865  df-cring 18866  df-rnghom 19033  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-assa 19635  df-asp 19636  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-evls 19828  df-evls1 20002
This theorem is referenced by:  evls1var  20024
  Copyright terms: Public domain W3C validator