Theorem evls1val 22264

Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1fval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e	⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1val.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
evls1val.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evls1val	⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem evls1val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1fval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	subrgss 20505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
3	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
4		elpwg 4557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
6	3, 5	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7		evls1fval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8		evls1fval.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
9	7, 8, 1	evls1fval 22263	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
10	6, 9	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
11	10	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
12	11	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
13		1on 8409	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
14		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
15		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	8	fveq1i 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evls1val.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
20	16, 17, 18, 19, 1	evlsrhm 22043	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21	13, 14, 15, 20	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
22		evls1val.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
23		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
24	22, 23	rhmf 20420	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
25	21, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
26		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		fvco3 6933	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
28	25, 26, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
29	25, 26	ffvelcdmd 7030	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
31	19, 1	pwsbas 17407	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
32	14, 30, 31	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
33	29, 32	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
34		coeq1 5806	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
36		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
37	1	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
38	37	mptex 7169	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
39	36, 38	coex 7872	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
40	34, 35, 39	fvmpt 6941	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
41	33, 40	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
42	12, 28, 41	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622   ∘ ccom 5628  Oncon0 6317  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390   ↑_m cmap 8763  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157   ↑_s cpws 17366  CRingccrg 20169   RingHom crh 20405  SubRingcsubrg 20502   mPoly cmpl 21862   evalSub ces 22027   evalSub₁ ces1 22257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-evls 22029  df-evls1 22259

This theorem is referenced by:  evls1var  22282