Theorem evls1val 22671

Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1fval.q	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e	⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1val.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
evls1val.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evls1val	⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem evls1val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1fval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2	1	subrgss 20857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
3	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ⊆ 𝐵)
4		elpwg 4563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑅 ⊆ 𝐵))
6	3, 5	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7		evls1fval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8		evls1fval.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
9	7, 8, 1	evls1fval 22670	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
10	6, 9	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅)))
11	10	fveq1d 6913	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
12	11	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴))
13		1on 8520	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
14		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
15		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	8	fveq1i 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17		evls1val.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 ↾s 𝑅))
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↾s 𝑅) = (𝑆 ↾s 𝑅)
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
20	16, 17, 18, 19, 1	evlsrhm 22430	. . . . 5 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21	13, 14, 15, 20	mp3an2i 1496	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
22		evls1val.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
24	22, 23	rhmf 20748	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
25	21, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
26		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ 𝐾)
27		fvco3 7011	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸‘𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)))
29	25, 26	ffvelcdmd 7112	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
30		ovex 7479	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
31	19, 1	pwsbas 17690	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
32	14, 30, 31	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
33	29, 32	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
34		coeq1 5842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
36		fvex 6924	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ V
37	1	fvexi 6925	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
38	37	mptex 7255	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
39	36, 38	coex 7969	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
40	34, 35, 39	fvmpt 7019	. . 3 ⊢ (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
41	33, 40	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸‘𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
42	12, 28, 41	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) = (((𝐸‘𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654   ∘ ccom 5660  Oncon0 6383  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  1_oc1o 8500   ↑_m cmap 8878  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440   ↑_s cpws 17649  CRingccrg 20493   RingHom crh 20732  SubRingcsubrg 20854   mPoly cmpl 22247   evalSub ces 22414   evalSub₁ ces1 22664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-srg 20446  df-ring 20494  df-cring 20495  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-assa 22194  df-asp 22195  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-evls 22416  df-evls1 22666

This theorem is used by:  evls1var  22689