MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evls1val 22308
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
evls1val.m 𝑀 = (1o mPoly (𝑆s 𝑅))
evls1val.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
evls1val ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem evls1val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑆)
21subrgss 20552 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
32adantl 480 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅𝐵)
4 elpwg 4600 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
54adantl 480 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ 𝒫 𝐵𝑅𝐵))
63, 5mpbird 256 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵)
7 evls1fval.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 evls1fval.e . . . . . 6 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 22307 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅)))
106, 9syldan 589 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅)))
1110fveq1d 6895 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑄𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴))
12113adant3 1129 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴))
13 1on 8500 . . . . 5 1o ∈ On
14 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝑆 ∈ CRing)
15 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
168fveq1i 6894 . . . . . 6 (𝐸𝑅) = ((1o evalSub 𝑆)‘𝑅)
17 evls1val.m . . . . . 6 𝑀 = (1o mPoly (𝑆s 𝑅))
18 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
19 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆s (𝐵m 1o)) = (𝑆s (𝐵m 1o))
2016, 17, 18, 19, 1evlsrhm 22099 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
2113, 14, 15, 20mp3an2i 1463 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))))
22 evls1val.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑀)
23 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o)))
2422, 23rhmf 20463 . . . 4 ((𝐸𝑅) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆s (𝐵m 1o))) → (𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
2521, 24syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
26 simp3 1135 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
27 fvco3 6993 . . 3 (((𝐸𝑅):𝐾⟶(Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)))
2825, 26, 27syl2anc 582 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ (𝐸𝑅))‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)))
2925, 26ffvelcdmd 7091 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
30 ovex 7449 . . . . 5 (𝐵m 1o) ∈ V
3119, 1pwsbas 17497 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐵m 1o) ∈ V) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
3214, 30, 31sylancl 584 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑆s (𝐵m 1o))))
3329, 32eleqtrrd 2829 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)))
34 coeq1 5856 . . . 4 (𝑥 = ((𝐸𝑅)‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35 eqid 2726 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
36 fvex 6906 . . . . 5 ((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ V
371fvexi 6907 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3837mptex 7232 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
3936, 38coex 7935 . . . 4 (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
4034, 35, 39fvmpt 7001 . . 3 (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
4133, 40syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘((𝐸𝑅)‘𝐴)) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
4212, 28, 413eqtrd 2770 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) = (((𝐸𝑅)‘𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3946  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  cmpt 5228   × cxp 5672  ccom 5678  Oncon0 6368  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  1oc1o 8481  m cmap 8847  Basecbs 17208  s cress 17237  s cpws 17456  CRingccrg 20213   RingHom crh 20447  SubRingcsubrg 20547   mPoly cmpl 21899   evalSub ces 22081   evalSub1 ces1 22301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19058  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-assa 21847  df-asp 21848  df-ascl 21849  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-evls 22083  df-evls1 22303
This theorem is referenced by:  evls1var  22326
  Copyright terms: Public domain W3C validator