MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evls1val Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evls1val 22194
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map. (Contributed by AV, 10-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1fval.e 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
evls1fval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evls1val.m 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
evls1val.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
evls1val ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)
Proof of Theorem evls1val
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
21subrgss 20474 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
4 elpwg 4600 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑅 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑅 βŠ† 𝐡))
63, 5mpbird 257 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡)
7 evls1fval.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
8 evls1fval.e . . . . . 6 𝐸 = (1o evalSub 𝑆)
97, 8, 1evls1fval 22193 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…)))
106, 9syldan 590 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…)))
1110fveq1d 6887 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄))
12113adant3 1129 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄))
13 1on 8479 . . . . 5 1o ∈ On
14 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
15 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
168fveq1i 6886 . . . . . 6 (πΈβ€˜π‘…) = ((1o evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
17 evls1val.m . . . . . 6 𝑀 = (1o mPoly (𝑆 β†Ύs 𝑅))
18 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆 β†Ύs 𝑅) = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
19 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)) = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))
2016, 17, 18, 19, 1evlsrhm 21993 . . . . 5 ((1o ∈ On ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
2113, 14, 15, 20mp3an2i 1462 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
22 evls1val.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘€)
23 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o)))
2422, 23rhmf 20387 . . . 4 ((πΈβ€˜π‘…) ∈ (𝑀 RingHom (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) β†’ (πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
2521, 24syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
26 simp3 1135 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
27 fvco3 6984 . . 3 (((πΈβ€˜π‘…):𝐾⟢(Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)))
2825, 26, 27syl2anc 583 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) ∘ (πΈβ€˜π‘…))β€˜π΄) = ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)))
2925, 26ffvelcdmd 7081 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
30 ovex 7438 . . . . 5 (𝐡 ↑m 1o) ∈ V
3119, 1pwsbas 17442 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 1o) ∈ V) β†’ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
3214, 30, 31sylancl 585 . . . 4 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) = (Baseβ€˜(𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 1o))))
3329, 32eleqtrrd 2830 . . 3 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)))
34 coeq1 5851 . . . 4 (π‘₯ = ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) β†’ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
35 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})))) = (π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
36 fvex 6898 . . . . 5 ((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ V
371fvexi 6899 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3837mptex 7220 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦})) ∈ V
3936, 38coex 7920 . . . 4 (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))) ∈ V
4034, 35, 39fvmpt 6992 . . 3 (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
4133, 40syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐡 ↑m (𝐡 ↑m 1o)) ↦ (π‘₯ ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))β€˜((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄)) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
4212, 28, 413eqtrd 2770 1 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (π‘„β€˜π΄) = (((πΈβ€˜π‘…)β€˜π΄) ∘ (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (1o Γ— {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  Oncon0 6358  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1oc1o 8460   ↑m cmap 8822  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182   ↑s cpws 17401  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  SubRingcsubrg 20469   mPoly cmpl 21800   evalSub ces 21975   evalSub1 ces1 22187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-evls 21977  df-evls1 22189
This theorem is referenced by:  evls1var  22212
  Copyright terms: Public domain W3C validator