Theorem evl1val 22242

Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1fval.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1fval.q	⊢ 𝑄 = (1o eval 𝑅)
evl1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1val.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
evl1val.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1val	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem evl1val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1fval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		evl1fval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (1o eval 𝑅)
3		evl1fval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 22241	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)
5	4	fveq1i 6823	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴)
6		1on 8397	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
7		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
8		evl1val.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
9		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
10	2, 3, 8, 9	evlrhm 22029	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11	6, 7, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
12		evl1val.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
13		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
14	12, 13	rhmf 20400	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15	11, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
16		fvco3 6921	. . . 4 ⊢ ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
17	15, 16	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
18	5, 17	eqtrid 2778	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
19		ffvelcdm 7014	. . . . 5 ⊢ ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
20	15, 19	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		crngring 20161	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
23		ovex 7379	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
24	9, 3	pwsbas 17388	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
26	20, 25	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
27		coeq1 5797	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
29		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘𝐴) ∈ V
30	3	fvexi 6836	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	mptex 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
32	29, 31	coex 7860	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
33	27, 28, 32	fvmpt 6929	. . 3 ⊢ ((𝑄‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
34	26, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35	18, 34	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614   ∘ ccom 5620  Oncon0 6306  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378   ↑_m cmap 8750  Basecbs 17117   ↑_s cpws 17347  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385   mPoly cmpl 21841   eval cevl 22006  eval₁ce1 22227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-assa 21788  df-asp 21789  df-ascl 21790  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-evls 22007  df-evl 22008  df-evl1 22229

This theorem is referenced by:  evl1sca  22247  evl1var  22249  evls1var  22251  mpfpf1  22264  pf1mpf  22265  pf1ind  22268