MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1val 22255
Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1fval.q 𝑄 = (1o eval 𝑅)
evl1fval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1val.m 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
evl1val.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
evl1val ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑅)
2 evl1fval.q . . . . 5 𝑄 = (1o eval 𝑅)
3 evl1fval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3evl1fval 22254 . . . 4 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)
54fveq1i 6903 . . 3 (𝑂𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴)
6 1on 8505 . . . . . 6 1o ∈ On
7 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
8 evl1val.m . . . . . . 7 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
9 eqid 2728 . . . . . . 7 (𝑅s (𝐵m 1o)) = (𝑅s (𝐵m 1o))
102, 3, 8, 9evlrhm 22049 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
116, 7, 10sylancr 585 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
12 evl1val.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑀)
13 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o)))
1412, 13rhmf 20431 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
1511, 14syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
16 fvco3 7002 . . . 4 ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
1715, 16sylancom 586 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
185, 17eqtrid 2780 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
19 ffvelcdm 7096 . . . . 5 ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
2015, 19sylancom 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
21 crngring 20192 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2221adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
23 ovex 7459 . . . . 5 (𝐵m 1o) ∈ V
249, 3pwsbas 17476 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵m 1o) ∈ V) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
2522, 23, 24sylancl 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
2620, 25eleqtrrd 2832 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)))
27 coeq1 5864 . . . 4 (𝑥 = (𝑄𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28 eqid 2728 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
29 fvex 6915 . . . . 5 (𝑄𝐴) ∈ V
303fvexi 6916 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3130mptex 7241 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
3229, 31coex 7944 . . . 4 ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
3327, 28, 32fvmpt 7010 . . 3 ((𝑄𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
3426, 33syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
3518, 34eqtrd 2768 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632  cmpt 5235   × cxp 5680  ccom 5686  Oncon0 6374  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  1oc1o 8486  m cmap 8851  Basecbs 17187  s cpws 17435  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20415   mPoly cmpl 21846   eval cevl 22024  eval1ce1 22240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-evls 22025  df-evl 22026  df-evl1 22242
This theorem is referenced by:  evl1sca  22260  evl1var  22262  evls1var  22264  mpfpf1  22277  pf1mpf  22278  pf1ind  22281
  Copyright terms: Public domain W3C validator