Theorem evl1val 22349

Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1fval.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1fval.q	⊢ 𝑄 = (1o eval 𝑅)
evl1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1val.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
evl1val.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1val	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem evl1val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1fval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		evl1fval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (1o eval 𝑅)
3		evl1fval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 22348	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)
5	4	fveq1i 6908	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴)
6		1on 8517	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
7		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
8		evl1val.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
9		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
10	2, 3, 8, 9	evlrhm 22138	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11	6, 7, 10	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
12		evl1val.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
13		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
14	12, 13	rhmf 20502	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15	11, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
16		fvco3 7008	. . . 4 ⊢ ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
17	15, 16	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
18	5, 17	eqtrid 2787	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
19		ffvelcdm 7101	. . . . 5 ⊢ ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
20	15, 19	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		crngring 20263	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
23		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
24	9, 3	pwsbas 17534	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
26	20, 25	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
27		coeq1 5871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
29		fvex 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘𝐴) ∈ V
30	3	fvexi 6921	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	mptex 7243	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
32	29, 31	coex 7953	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
33	27, 28, 32	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ ((𝑄‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
34	26, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35	18, 34	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687   ∘ ccom 5693  Oncon0 6386  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1_oc1o 8498   ↑_m cmap 8865  Basecbs 17245   ↑_s cpws 17493  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486   mPoly cmpl 21944   eval cevl 22115  eval₁ce1 22334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-evls 22116  df-evl 22117  df-evl1 22336

This theorem is referenced by:  evl1sca  22354  evl1var  22356  evls1var  22358  mpfpf1  22371  pf1mpf  22372  pf1ind  22375