MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1val 21695
Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1fval.o 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1fval.q 𝑄 = (1o eval 𝑅)
evl1fval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1val.m 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
evl1val.k 𝐾 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
evl1val ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Distinct variable group:   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem evl1val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evl1fval.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑅)
2 evl1fval.q . . . . 5 𝑄 = (1o eval 𝑅)
3 evl1fval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
41, 2, 3evl1fval 21694 . . . 4 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)
54fveq1i 6843 . . 3 (𝑂𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴)
6 1on 8424 . . . . . 6 1o ∈ On
7 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
8 evl1val.m . . . . . . 7 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
9 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑅s (𝐵m 1o)) = (𝑅s (𝐵m 1o))
102, 3, 8, 9evlrhm 21506 . . . . . 6 ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
116, 7, 10sylancr 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))))
12 evl1val.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑀)
13 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o)))
1412, 13rhmf 20158 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅s (𝐵m 1o))) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
1511, 14syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
16 fvco3 6940 . . . 4 ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
1715, 16sylancom 588 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
185, 17eqtrid 2788 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)))
19 ffvelcdm 7032 . . . . 5 ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))) ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
2015, 19sylancom 588 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
21 crngring 19976 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
23 ovex 7390 . . . . 5 (𝐵m 1o) ∈ V
249, 3pwsbas 17369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵m 1o) ∈ V) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
2522, 23, 24sylancl 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝐵m (𝐵m 1o)) = (Base‘(𝑅s (𝐵m 1o))))
2620, 25eleqtrrd 2841 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑄𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)))
27 coeq1 5813 . . . 4 (𝑥 = (𝑄𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28 eqid 2736 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
29 fvex 6855 . . . . 5 (𝑄𝐴) ∈ V
303fvexi 6856 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3130mptex 7173 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
3229, 31coex 7867 . . . 4 ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
3327, 28, 32fvmpt 6948 . . 3 ((𝑄𝐴) ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
3426, 33syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵m (𝐵m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄𝐴)) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
3518, 34eqtrd 2776 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴𝐾) → (𝑂𝐴) = ((𝑄𝐴) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ccom 5637  Oncon0 6317  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1oc1o 8405  m cmap 8765  Basecbs 17083  s cpws 17328  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143   mPoly cmpl 21308   eval cevl 21481  eval1ce1 21680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-evls 21482  df-evl 21483  df-evl1 21682
This theorem is referenced by:  evl1sca  21700  evl1var  21702  evls1var  21704  mpfpf1  21717  pf1mpf  21718  pf1ind  21721
  Copyright terms: Public domain W3C validator