Theorem evl1val 22198

Description: Value of the simple/same ring evaluation map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1fval.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1fval.q	⊢ 𝑄 = (1o eval 𝑅)
evl1fval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1val.m	⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
evl1val.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1val	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Distinct variable group:   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑄(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem evl1val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1fval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		evl1fval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (1o eval 𝑅)
3		evl1fval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	evl1fval 22197	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)
5	4	fveq1i 6885	. . 3 ⊢ (𝑂‘𝐴) = (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴)
6		1on 8476	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
7		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
8		evl1val.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1o mPoly 𝑅)
9		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))
10	2, 3, 8, 9	evlrhm 21996	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
11	6, 7, 10	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
12		evl1val.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑀)
13		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o)))
14	12, 13	rhmf 20384	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑀 RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
15	11, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
16		fvco3 6983	. . . 4 ⊢ ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
17	15, 16	sylancom 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) ∘ 𝑄)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
18	5, 17	eqtrid 2778	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)))
19		ffvelcdm 7076	. . . . 5 ⊢ ((𝑄:𝐾⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
20	15, 19	sylancom 587	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
21		crngring 20147	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
23		ovex 7437	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V
24	9, 3	pwsbas 17439	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐵 ↑m 1o) ∈ V) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
25	22, 23, 24	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑m 1o))))
26	20, 25	eleqtrrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑄‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)))
27		coeq1 5850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑄‘𝐴) → (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
28		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})))) = (𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
29		fvex 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑄‘𝐴) ∈ V
30	3	fvexi 6898	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	mptex 7219	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦})) ∈ V
32	29, 31	coex 7917	. . . 4 ⊢ ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))) ∈ V
33	27, 28, 32	fvmpt 6991	. . 3 ⊢ ((𝑄‘𝐴) ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
34	26, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐵 ↑m (𝐵 ↑m 1o)) ↦ (𝑥 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))‘(𝑄‘𝐴)) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))
35	18, 34	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑄‘𝐴) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1o × {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   × cxp 5667   ∘ ccom 5673  Oncon0 6357  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  1_oc1o 8457   ↑_m cmap 8819  Basecbs 17150   ↑_s cpws 17398  Ringcrg 20135  CRingccrg 20136   RingHom crh 20368   mPoly cmpl 21795   eval cevl 21971  eval₁ce1 22183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-cring 20138  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-assa 21743  df-asp 21744  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-evls 21972  df-evl 21973  df-evl1 22185

This theorem is referenced by:  evl1sca  22203  evl1var  22205  evls1var  22207  mpfpf1  22220  pf1mpf  22221  pf1ind  22224