Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1dim 40538
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). Remark after Lemma L in [Crawley] p. 120 line 21. (Contributed by NM, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia1dim.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dia1dim (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑔,𝑠,𝐹   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾,𝑠   𝑅,𝑔,𝑠   𝑇,𝑔,𝑠   𝑔,π‘Š,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑔)   𝐼(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dia1dim
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 dia1dim.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dia1dim.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dia1dim.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5trlcl 39641 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2727 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
87, 3, 4, 5trlle 39661 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9 dia1dim.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
102, 7, 3, 4, 5, 9diaval 40509 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
111, 6, 8, 10syl12anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
12 dia1dim.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
137, 3, 4, 5, 12dva1dim 40462 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)} = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
1411, 13eqtr4d 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2704  βˆƒwrex 3066  {crab 3428   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  HLchlt 38826  LHypclh 39461  LTrncltrn 39578  trLctrl 39635  TEndoctendo 40229  DIsoAcdia 40505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-riotaBAD 38429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-undef 8283  df-map 8851  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-p1 18423  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975  df-lplanes 38976  df-lvols 38977  df-lines 38978  df-psubsp 38980  df-pmap 38981  df-padd 39273  df-lhyp 39465  df-laut 39466  df-ldil 39581  df-ltrn 39582  df-trl 39636  df-tendo 40232  df-disoa 40506
This theorem is referenced by:  dia1dim2  40539  dib1dim  40642
  Copyright terms: Public domain W3C validator