Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1dim 39527
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). Remark after Lemma L in [Crawley] p. 120 line 21. (Contributed by NM, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia1dim.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dia1dim (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑔,𝑠,𝐹   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾,𝑠   𝑅,𝑔,𝑠   𝑇,𝑔,𝑠   𝑔,π‘Š,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑔)   𝐼(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dia1dim
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 dia1dim.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dia1dim.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dia1dim.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5trlcl 38630 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2737 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
87, 3, 4, 5trlle 38650 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9 dia1dim.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
102, 7, 3, 4, 5, 9diaval 39498 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
111, 6, 8, 10syl12anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
12 dia1dim.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
137, 3, 4, 5, 12dva1dim 39451 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)} = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
1411, 13eqtr4d 2780 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆƒwrex 3074  {crab 3408   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218  DIsoAcdia 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221  df-disoa 39495
This theorem is referenced by:  dia1dim2  39528  dib1dim  39631
  Copyright terms: Public domain W3C validator