Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia1dim 40443
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). Remark after Lemma L in [Crawley] p. 120 line 21. (Contributed by NM, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia1dim.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia1dim.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dia1dim (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑔,𝑠,𝐹   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾,𝑠   𝑅,𝑔,𝑠   𝑇,𝑔,𝑠   𝑔,π‘Š,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑔)   𝐼(𝑔,𝑠)

Proof of Theorem dia1dim
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 dia1dim.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dia1dim.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dia1dim.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5trlcl 39546 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
87, 3, 4, 5trlle 39566 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)
9 dia1dim.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
102, 7, 3, 4, 5, 9diaval 40414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
111, 6, 8, 10syl12anc 834 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
12 dia1dim.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
137, 3, 4, 5, 12dva1dim 40367 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)} = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (π‘…β€˜π‘”)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)})
1411, 13eqtr4d 2769 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΉ)) = {𝑔 ∣ βˆƒπ‘  ∈ 𝐸 𝑔 = (π‘ β€˜πΉ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  HLchlt 38731  LHypclh 39366  LTrncltrn 39483  trLctrl 39540  TEndoctendo 40134  DIsoAcdia 40410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tendo 40137  df-disoa 40411
This theorem is referenced by:  dia1dim2  40444  dib1dim  40547
  Copyright terms: Public domain W3C validator