Theorem dia1dim 41897

Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). Remark after Lemma L in [Crawley] p. 120 line 21. (Contributed by NM, 15-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dim.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dia1dim	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = (𝑠‘𝐹)})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑔,𝑠,𝐹   𝑔,𝐻,𝑠   𝑔,𝐾,𝑠   𝑅,𝑔,𝑠   𝑇,𝑔,𝑠   𝑔,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑔)   𝐼(𝑔, 𝑠)

Proof of Theorem dia1dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		dia1dim.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dia1dim.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dia1dim.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlcl 41000	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 3, 4, 5	trlle 41020	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9		dia1dim.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
10	2, 7, 3, 4, 5, 9	diaval 41868	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑔)(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹)})
11	1, 6, 8, 10	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑔)(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹)})
12		dia1dim.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
13	7, 3, 4, 5, 12	dva1dim 41821	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = (𝑠‘𝐹)} = {𝑔 ∈ 𝑇 ∣ (𝑅‘𝑔)(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹)})
14	11, 13	eqtr4d 2803	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = (𝑠‘𝐹)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091  {crab 3418   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17295  lecple 17343  HLchlt 40186  LHypclh 40820  LTrncltrn 40937  trLctrl 40994  TEndoctendo 41588  DIsoAcdia 41864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-riotaBAD 39789

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-undef 8275  df-map 8832  df-proset 18376  df-poset 18395  df-plt 18410  df-lub 18426  df-glb 18427  df-join 18428  df-meet 18429  df-p0 18505  df-p1 18506  df-lat 18514  df-clat 18581  df-oposet 40012  df-ol 40014  df-oml 40015  df-covers 40102  df-ats 40103  df-atl 40134  df-cvlat 40158  df-hlat 40187  df-llines 40334  df-lplanes 40335  df-lvols 40336  df-lines 40337  df-psubsp 40339  df-pmap 40340  df-padd 40632  df-lhyp 40824  df-laut 40825  df-ldil 40940  df-ltrn 40941  df-trl 40995  df-tendo 41591  df-disoa 41865

This theorem is used by:  dia1dim2  41898  dib1dim  42001