Theorem dia1dim2 37200

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dim2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dia1dim2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Proof of Theorem dia1dim2

Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1dim2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
3		dva1dim2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvabase 37145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
7	6	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	rexeqdv 3340	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)))
9		dia1dim2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11	1, 9, 2, 3, 10	dvavsca 37155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
12	11	anass1rs 645	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
13	12	eqeq2d 2787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ 𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
14	13	rexbidva 3233	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
15	8, 14	bitrd 271	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
16	15	abbidv 2905	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)} = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
17	1, 3	dvalvec 37164	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
18	17	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LVec)
19		lveclmod 19501	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
21		simpr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
22		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
23	1, 9, 3, 22	dvavbase 37151	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
24	23	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
25	21, 24	eleqtrrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑈))
26		dva1dim2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
27	4, 5, 22, 10, 26	lspsn 19397	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
28	20, 25, 27	syl2anc 579	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
29		dia1dim2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
30		dia1dim2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31	1, 9, 29, 2, 30	dia1dim 37199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
32	16, 28, 31	3eqtr4rd 2824	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  {cab 2762  ∃wrex 3090  {csn 4397  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  LModclmod 19255  LSpanclspn 19366  LVecclvec 19497  HLchlt 35488  LHypclh 36122  LTrncltrn 36239  trLctrl 36296  TEndoctendo 36890  DVecAcdveca 37140  DIsoAcdia 37166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35091

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35636  df-lplanes 35637  df-lvols 35638  df-lines 35639  df-psubsp 35641  df-pmap 35642  df-padd 35934  df-lhyp 36126  df-laut 36127  df-ldil 36242  df-ltrn 36243  df-trl 36297  df-tgrp 36881  df-tendo 36893  df-edring 36895  df-dveca 37141  df-disoa 37167

This theorem is referenced by:  dia1dimid  37201  dia2dimlem5  37206  dia2dimlem10  37211