Theorem dia1dim2 39076

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dim2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dia1dim2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Proof of Theorem dia1dim2

Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1dim2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
3		dva1dim2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvabase 39021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	rexeqdv 3349	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)))
9		dia1dim2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11	1, 9, 2, 3, 10	dvavsca 39031	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
12	11	anass1rs 652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
13	12	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ 𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
14	13	rexbidva 3225	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
15	8, 14	bitrd 278	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
16	15	abbidv 2807	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)} = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
17	1, 3	dvalvec 39040	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LVec)
19		lveclmod 20368	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
21		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
22		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
23	1, 9, 3, 22	dvavbase 39027	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
25	21, 24	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑈))
26		dva1dim2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
27	4, 5, 22, 10, 26	lspsn 20264	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
28	20, 25, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
29		dia1dim2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
30		dia1dim2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31	1, 9, 29, 2, 30	dia1dim 39075	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
32	16, 28, 31	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  ∃wrex 3065  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172  TEndoctendo 38766  DVecAcdveca 39016  DIsoAcdia 39042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043

This theorem is referenced by:  dia1dimid  39077  dia2dimlem5  39082  dia2dimlem10  39087