Theorem dia1dim2 41938

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dim2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dia1dim2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Proof of Theorem dia1dim2

Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1dim2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
3		dva1dim2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvabase 41883	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	rexeqdv 3320	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)))
9		dia1dim2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11	1, 9, 2, 3, 10	dvavsca 41893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
12	11	anass1rs 668	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
13	12	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ 𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
14	13	rexbidva 3184	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
15	8, 14	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
16	15	abbidv 2826	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)} = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
17	1, 3	dvalvec 41902	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LVec)
19		lveclmod 21293	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
23	1, 9, 3, 22	dvavbase 41889	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
25	21, 24	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑈))
26		dva1dim2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
27	4, 5, 22, 10, 26	lspsn 21189	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
28	20, 25, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
29		dia1dim2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
30		dia1dim2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31	1, 9, 29, 2, 30	dia1dim 41937	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
32	16, 28, 31	3eqtr4rd 2806	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  LModclmod 21047  LSpanclspn 21158  LVecclvec 21289  HLchlt 40226  LHypclh 40860  LTrncltrn 40977  trLctrl 41034  TEndoctendo 41628  DVecAcdveca 41878  DIsoAcdia 41904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39829

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-0g 17529  df-proset 18385  df-poset 18404  df-plt 18419  df-lub 18435  df-glb 18436  df-join 18437  df-meet 18438  df-p0 18514  df-p1 18515  df-lat 18523  df-clat 18590  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-drng 20895  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-lvec 21290  df-oposet 40052  df-ol 40054  df-oml 40055  df-covers 40142  df-ats 40143  df-atl 40174  df-cvlat 40198  df-hlat 40227  df-llines 40374  df-lplanes 40375  df-lvols 40376  df-lines 40377  df-psubsp 40379  df-pmap 40380  df-padd 40672  df-lhyp 40864  df-laut 40865  df-ldil 40980  df-ltrn 40981  df-trl 41035  df-tgrp 41619  df-tendo 41631  df-edring 41633  df-dveca 41879  df-disoa 41905

This theorem is used by:  dia1dimid  41939  dia2dimlem5  41944  dia2dimlem10  41949