Theorem dia1dim2 39003

Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of partial vector space A (when 𝐹 is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia1dim2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1dim2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia1dim2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dva1dim2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dia1dim2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Proof of Theorem dia1dim2

Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia1dim2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
3		dva1dim2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvabase 38948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘(Scalar‘𝑈)) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	7	rexeqdv 3340	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)))
9		dia1dim2.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11	1, 9, 2, 3, 10	dvavsca 38958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
12	11	anass1rs 651	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) = (𝑠‘𝐹))
13	12	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ 𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
14	13	rexbidva 3224	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
15	8, 14	bitrd 278	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹) ↔ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)))
16	15	abbidv 2808	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)} = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
17	1, 3	dvalvec 38967	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LVec)
19		lveclmod 20283	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
22		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
23	1, 9, 3, 22	dvavbase 38954	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
25	21, 24	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑈))
26		dva1dim2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
27	4, 5, 22, 10, 26	lspsn 20179	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑈)) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
28	20, 25, 27	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑁‘{𝐹}) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑔 = (𝑠( ·𝑠 ‘𝑈)𝐹)})
29		dia1dim2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
30		dia1dim2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31	1, 9, 29, 2, 30	dia1dim 39002	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∣ ∃𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)𝑔 = (𝑠‘𝐹)})
32	16, 28, 31	3eqtr4rd 2789	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∃wrex 3064  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099  TEndoctendo 38693  DVecAcdveca 38943  DIsoAcdia 38969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970

This theorem is referenced by:  dia1dimid  39004  dia2dimlem5  39009  dia2dimlem10  39014