Theorem diassdvaN 40589

Description: The partial isomorphism A maps to a set of vectors in partial vector space A. (Contributed by NM, 1-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diassdva.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
diassdva.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
diassdva.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
diassdva.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
diassdva.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
diassdva.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diassdvaN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem diassdvaN

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diassdva.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		diassdva.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		diassdva.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2725	. . 3 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		diassdva.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	diaval 40561	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≤ 𝑋})
8		ssrab2 4069	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≤ 𝑋} ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		diassdva.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
10		diassdva.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11	3, 4, 9, 10	dvavbase 40542	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
12	11	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑉 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13	8, 12	sseqtrrid 4026	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → {𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∣ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑓) ≤ 𝑋} ⊆ 𝑉)
14	7, 13	eqsstrd 4011	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  Basecbs 17179  lecple 17239  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  trLctrl 39687  DVecAcdveca 40531  DIsoAcdia 40557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-dveca 40532  df-disoa 40558

This theorem is referenced by: (None)