Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem diaclN 38228
Description: Closure of partial isomorphism A for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 4-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia1o.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
diaclN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem diaclN
StepHypRef Expression
1 dia1o.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dia1o.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31, 2diaf11N 38227 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
4 f1ofun 6590 . . 3 (𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 → Fun 𝐼)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → Fun 𝐼)
6 fvelrn 6817 . 2 ((Fun 𝐼𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)
75, 6sylan 583 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ ran 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  dom cdm 5528  ran crn 5529  Fun wfun 6322  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  HLchlt 36528  LHypclh 37162  DIsoAcdia 38206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-riotaBAD 36131
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-undef 7914  df-map 8383  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36354  df-ol 36356  df-oml 36357  df-covers 36444  df-ats 36445  df-atl 36476  df-cvlat 36500  df-hlat 36529  df-llines 36676  df-lplanes 36677  df-lvols 36678  df-lines 36679  df-psubsp 36681  df-pmap 36682  df-padd 36974  df-lhyp 37166  df-laut 37167  df-ldil 37282  df-ltrn 37283  df-trl 37337  df-disoa 38207
This theorem is referenced by:  diaintclN  38236  diaocN  38303  djajN  38315
  Copyright terms: Public domain W3C validator