Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  doca3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem doca3N 38422
Description: Double orthocomplement of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
doca2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doca2.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
doca2.n = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
doca3N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem doca3N
StepHypRef Expression
1 doca2.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 doca2.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
31, 2diacnvclN 38346 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼)
4 doca2.n . . . 4 = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 4doca2N 38421 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ dom 𝐼) → ( ‘( ‘(𝐼‘(𝐼𝑋)))) = (𝐼‘(𝐼𝑋)))
63, 5syldan 594 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( ‘(𝐼‘(𝐼𝑋)))) = (𝐼‘(𝐼𝑋)))
71, 2diaf11N 38344 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
8 f1ocnvfv2 7016 . . . . 5 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
97, 8sylan 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
109fveq2d 6653 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘(𝐼‘(𝐼𝑋))) = ( 𝑋))
1110fveq2d 6653 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( ‘(𝐼‘(𝐼𝑋)))) = ( ‘( 𝑋)))
126, 11, 93eqtr3d 2844 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  HLchlt 36645  LHypclh 37279  DIsoAcdia 38323  ocAcocaN 38414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36248
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-cmtN 36472  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-disoa 38324  df-docaN 38415
This theorem is referenced by:  diarnN  38424
  Copyright terms: Public domain W3C validator