Theorem doca3N 41299

Description: Double orthocomplement of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
doca2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doca2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
doca2.n	⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
doca3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem doca3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doca2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doca2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diacnvclN 41223	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
4		doca2.n	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 4	doca2N 41298	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
6	3, 5	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
7	1, 2	diaf11N 41221	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
8		f1ocnvfv2 7220	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
9	7, 8	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	10	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
12	6, 11, 9	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489  HLchlt 39522  LHypclh 40156  DIsoAcdia 41200  ocAcocaN 41291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-riotaBAD 39125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-undef 8212  df-map 8761  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-oposet 39348  df-cmtN 39349  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-llines 39670  df-lplanes 39671  df-lvols 39672  df-lines 39673  df-psubsp 39675  df-pmap 39676  df-padd 39968  df-lhyp 40160  df-laut 40161  df-ldil 40276  df-ltrn 40277  df-trl 40331  df-disoa 41201  df-docaN 41292

This theorem is referenced by:  diarnN  41301