Theorem doca3N 38267

Description: Double orthocomplement of partial isomorphism A. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
doca2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doca2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
doca2.n	⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
doca3N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem doca3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doca2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doca2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	diacnvclN 38191	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼)
4		doca2.n	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocA‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 4	doca2N 38266	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ dom 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
6	3, 5	syldan 593	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
7	1, 2	diaf11N 38189	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
8		f1ocnvfv2 7037	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
9	7, 8	sylan 582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	fveq2d 6677	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	10	fveq2d 6677	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
12	6, 11, 9	3eqtr3d 2867	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ^◡ccnv 5557  dom cdm 5558  ran crn 5559  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  HLchlt 36490  LHypclh 37124  DIsoAcdia 38168  ocAcocaN 38259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-riotaBAD 36093

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-undef 7942  df-map 8411  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-oposet 36316  df-cmtN 36317  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491  df-llines 36638  df-lplanes 36639  df-lvols 36640  df-lines 36641  df-psubsp 36643  df-pmap 36644  df-padd 36936  df-lhyp 37128  df-laut 37129  df-ldil 37244  df-ltrn 37245  df-trl 37299  df-disoa 38169  df-docaN 38260

This theorem is referenced by:  diarnN  38269