Theorem dia2dimlem10 40470

Description: Lemma for dia2dim 40474. Convert membership in closed subspace (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) to a lattice ordering. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem10.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem10.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem10.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem10.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem10.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem10.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem10.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem10.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem10.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem10.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem10.fe	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem10	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))

Proof of Theorem dia2dimlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem10.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem10.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem10.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dia2dimlem10.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dia2dimlem10.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6		dia2dimlem10.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		dia2dimlem10.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
8		dia2dimlem10.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	dia1dim2 40459	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))
10	1, 2, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))
11		dia2dimlem10.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
12	3, 6	dvalvec 40423	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
13		lveclmod 20973	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
14	1, 12, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
15	1	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
16		dia2dimlem10.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
17	16	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
18		dia2dimlem10.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
19	18	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
20		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21		dia2dimlem10.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
22		dia2dimlem10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
23	20, 21, 22	hlatjcl 38763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
24	15, 17, 19, 23	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
25	16	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
26	18	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
27	15	hllatd 38760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
28	20, 22	atbase 38685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
29	17, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
30	20, 22	atbase 38685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
32	1	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
33	20, 3	lhpbase 39395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35		dia2dimlem10.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
36	20, 35, 21	latjle12 18427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
37	27, 29, 31, 34, 36	syl13anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊) ↔ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊))
38	25, 26, 37	mpbi2and 711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)
39	20, 35, 3, 6, 7, 11	dialss 40443	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∈ 𝑆)
40	1, 24, 38, 39	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ∈ 𝑆)
41		dia2dimlem10.fe	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))
42	11, 8, 14, 40, 41	lspsnel5a 20862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐹}) ⊆ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))
43	10, 42	eqsstrd 4016	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) ⊆ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)))
44	20, 3, 4, 5	trlcl 39561	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
45	1, 2, 44	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
46	35, 3, 4, 5	trlle 39581	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
47	1, 2, 46	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)
48	20, 35, 3, 7	diaord 40444	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑈 ∨ 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 ∨ 𝑉) ≤ 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑅‘𝐹)) ⊆ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ↔ (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉)))
49	1, 45, 47, 24, 38, 48	syl122anc 1377	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅‘𝐹)) ⊆ (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ↔ (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉)))
50	43, 49	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  Latclat 18408  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797  LSpanclspn 20837  LVecclvec 20969  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  trLctrl 39555  DVecAcdveca 40399  DIsoAcdia 40425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 38349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17408  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-tgrp 40140  df-tendo 40152  df-edring 40154  df-dveca 40400  df-disoa 40426

This theorem is referenced by:  dia2dimlem11  40471