Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem10 39467
Description: Lemma for dia2dim 39471. Convert membership in closed subspace (𝐼‘(𝑈 𝑉)) to a lattice ordering. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem10.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem10.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem10.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem10.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.y 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem10.n 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem10.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem10.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem10.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem10.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem10.f (𝜑𝐹𝑇)
dia2dimlem10.fe (𝜑𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem10 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))

Proof of Theorem dia2dimlem10
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem10.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dia2dimlem10.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑇)
3 dia2dimlem10.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dia2dimlem10.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dia2dimlem10.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6 dia2dimlem10.y . . . . 5 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7 dia2dimlem10.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
8 dia2dimlem10.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
93, 4, 5, 6, 7, 8dia1dim2 39456 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))
101, 2, 9syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = (𝑁‘{𝐹}))
11 dia2dimlem10.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
123, 6dvalvec 39420 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
13 lveclmod 20496 . . . . 5 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
141, 12, 133syl 18 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
151simpld 496 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ HL)
16 dia2dimlem10.u . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
1716simpld 496 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐴)
18 dia2dimlem10.v . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
1918simpld 496 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝐴)
20 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21 dia2dimlem10.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
22 dia2dimlem10.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2320, 21, 22hlatjcl 37760 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
2415, 17, 19, 23syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾))
2516simprd 497 . . . . . 6 (𝜑𝑈 𝑊)
2618simprd 497 . . . . . 6 (𝜑𝑉 𝑊)
2715hllatd 37757 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
2820, 22atbase 37682 . . . . . . . 8 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2917, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3020, 22atbase 37682 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
3119, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
321simprd 497 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊𝐻)
3320, 3lhpbase 38392 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35 dia2dimlem10.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
3620, 35, 21latjle12 18275 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑈 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑈 𝑉) 𝑊))
3727, 29, 31, 34, 36syl13anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 𝑊𝑉 𝑊) ↔ (𝑈 𝑉) 𝑊))
3825, 26, 37mpbi2and 711 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑉) 𝑊)
3920, 35, 3, 6, 7, 11dialss 39440 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑉) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∈ 𝑆)
401, 24, 38, 39syl12anc 836 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ∈ 𝑆)
41 dia2dimlem10.fe . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐼‘(𝑈 𝑉)))
4211, 8, 14, 40, 41lspsnel5a 20386 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝐹}) ⊆ (𝐼‘(𝑈 𝑉)))
4310, 42eqsstrd 3981 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐹)) ⊆ (𝐼‘(𝑈 𝑉)))
4420, 3, 4, 5trlcl 38558 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
451, 2, 44syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
4635, 3, 4, 5trlle 38578 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
471, 2, 46syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐹) 𝑊)
4820, 35, 3, 7diaord 39441 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ∧ ((𝑈 𝑉) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑈 𝑉) 𝑊)) → ((𝐼‘(𝑅𝐹)) ⊆ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ↔ (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉)))
491, 45, 47, 24, 38, 48syl122anc 1380 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅𝐹)) ⊆ (𝐼‘(𝑈 𝑉)) ↔ (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉)))
5043, 49mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17019  lecple 17076  joincjn 18136  Latclat 18256  LModclmod 20251  LSubSpclss 20321  LSpanclspn 20361  LVecclvec 20492  Atomscatm 37656  HLchlt 37743  LHypclh 38378  LTrncltrn 38495  trLctrl 38552  DVecAcdveca 39396  DIsoAcdia 39422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-riotaBAD 37346
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-undef 8172  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-fz 13355  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-0g 17259  df-proset 18120  df-poset 18138  df-plt 18155  df-lub 18171  df-glb 18172  df-join 18173  df-meet 18174  df-p0 18250  df-p1 18251  df-lat 18257  df-clat 18324  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-sbg 18689  df-cmn 19499  df-abl 19500  df-mgp 19832  df-ur 19849  df-ring 19896  df-oppr 19978  df-dvdsr 19999  df-unit 20000  df-invr 20030  df-dvr 20041  df-drng 20116  df-lmod 20253  df-lss 20322  df-lsp 20362  df-lvec 20493  df-oposet 37569  df-ol 37571  df-oml 37572  df-covers 37659  df-ats 37660  df-atl 37691  df-cvlat 37715  df-hlat 37744  df-llines 37892  df-lplanes 37893  df-lvols 37894  df-lines 37895  df-psubsp 37897  df-pmap 37898  df-padd 38190  df-lhyp 38382  df-laut 38383  df-ldil 38498  df-ltrn 38499  df-trl 38553  df-tgrp 39137  df-tendo 39149  df-edring 39151  df-dveca 39397  df-disoa 39423
This theorem is referenced by:  dia2dimlem11  39468
  Copyright terms: Public domain W3C validator