Theorem divneg2 11854

Description: Move negative sign inside of a division. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divneg2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / -𝐵))

Proof of Theorem divneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divneg 11822	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
2		negcl 11369	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3		div2neg 11853	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (--𝐴 / -𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
4	2, 3	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (--𝐴 / -𝐵) = (-𝐴 / 𝐵))
5		negneg 11420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
6	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
7	6	oveq1d 7369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (--𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / -𝐵))
8	1, 4, 7	3eqtr2d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / -𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  0cc0 11015  -cneg 11354   / cdiv 11783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784

This theorem is referenced by:  divneg2d  11920  m1expcl2  13996  m1expaddsub  19414  cnmsgnsubg  21518  psgninv  21523  logneg2  26554  logrec  26703  atantayl2  26878  lgseisenlem1  27316  lgseisenlem2  27317  lgsquadlem1  27321