Theorem m1expcl2 14221

Description: Closure of integer exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negex 11548	. . 3 ⊢ -1 ∈ V
2	1	prid1 4723	. 2 ⊢ -1 ∈ {-1, 1}
3		neg1ne0 12300	. 2 ⊢ -1 ≠ 0
4		neg1cn 12298	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11251	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		prssi 4782	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
8		elpri 4608	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
9	7	sseli 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
10	9	mulm1d 11761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11		elpri 4608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12		negeq 11542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13		negneg1e1 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
14		1ex 11296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
15	14	prid2 4724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {-1, 1}
16	13, 15	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 ∈ {-1, 1}
17	12, 16	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18		negeq 11542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
19	18, 2	eqeltrdi 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
20	17, 19	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
21	11, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
22	10, 21	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23		oveq1 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
24	23	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
25	22, 24	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
26	9	mullidd 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
28	26, 27	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29		oveq1 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
30	29	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
31	28, 30	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
32	25, 31	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
33	8, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
34	33	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36		ax-1ne0 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
37		divneg2 12034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
39		1div1e1 12000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
40	39	negeqi 11543	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
41	38, 40	eqtr3i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
42	41, 2	eqeltri 2857	. . . . . . 7 ⊢ (1 / -1) ∈ {-1, 1}
43	35, 42	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44		oveq2 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
45	39, 15	eqeltri 2857	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) ∈ {-1, 1}
46	44, 45	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
47	43, 46	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
48	8, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
49	48	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
50	7, 34, 15, 49	expcl2lem 14209	. 2 ⊢ ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
51	2, 3, 50	mp3an12 1480	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198  -cneg 11535   / cdiv 11966  ℤcz 12686  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  m1expcl  14222  m1expeven  14245  m1expaddsub  19705  psgnran  19722  psgnghm  21879  gausslemma2dlem0i  27684  lgseisenlem2  27696  madjusmdetlem4  34455  lighneallem4  48664