Theorem m1expcl2 14126

Description: Closure of integer exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negex 11506	. . 3 ⊢ -1 ∈ V
2	1	prid1 4762	. 2 ⊢ -1 ∈ {-1, 1}
3		neg1ne0 12382	. 2 ⊢ -1 ≠ 0
4		neg1cn 12380	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		prssi 4821	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ {-1, 1} ⊆ ℂ
8		elpri 4649	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
9	7	sseli 3979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
10	9	mulm1d 11715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11		elpri 4649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12		negeq 11500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13		negneg1e1 12384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ --1 = 1
14		1ex 11257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
15	14	prid2 4763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ {-1, 1}
16	13, 15	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ --1 ∈ {-1, 1}
17	12, 16	eqeltrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18		negeq 11500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
19	18, 2	eqeltrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
20	17, 19	jaoi 858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
21	11, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
22	10, 21	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
24	23	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
25	22, 24	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
26	9	mullidd 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
28	26, 27	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
30	29	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
31	28, 30	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
32	25, 31	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
33	8, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
34	33	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36		ax-1ne0 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
37		divneg2 11991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
39		1div1e1 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
40	39	negeqi 11501	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
41	38, 40	eqtr3i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
42	41, 2	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ (1 / -1) ∈ {-1, 1}
43	35, 42	eqeltrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
45	39, 15	eqeltri 2837	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) ∈ {-1, 1}
46	44, 45	eqeltrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
47	43, 46	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
48	8, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
50	7, 34, 15, 49	expcl2lem 14114	. 2 ⊢ ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
51	2, 3, 50	mp3an12 1453	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951  {cpr 4628  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℤcz 12613  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  m1expcl  14127  m1expeven  14150  m1expaddsub  19516  psgnran  19533  psgnghm  21598  gausslemma2dlem0i  27408  lgseisenlem2  27420  madjusmdetlem4  33829  lighneallem4  47597