Theorem m1expcl2 14268

Description: Closure of integer exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expcl2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negex 11594	. . 3 ⊢ -1 ∈ V
2	1	prid1 4725	. 2 ⊢ -1 ∈ { -1, 1}
3		neg1ne0 12347	. 2 ⊢ -1 ≠ 0
4		neg1cn 12345	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11297	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		prssi 4782	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → { -1, 1} ⊆ ℂ)
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ { -1, 1} ⊆ ℂ
8		elpri 4608	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ { -1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
9	7	sseli 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
10	9	mulm1d 11807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → ( -1 · 𝑦) = -𝑦)
11		elpri 4608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12		negeq 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 = - -1)
13		negneg1e1 12349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ - -1 = 1
14		1ex 11342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
15	14	prid2 4726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ { -1, 1}
16	13, 15	eqeltri 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ - -1 ∈ { -1, 1}
17	12, 16	eqeltrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ { -1, 1})
18		negeq 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
19	18, 2	eqeltrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ { -1, 1})
20	17, 19	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ { -1, 1})
21	11, 20	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → -𝑦 ∈ { -1, 1})
22	10, 21	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → ( -1 · 𝑦) ∈ { -1, 1})
23		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = ( -1 · 𝑦))
24	23	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1} ↔ ( -1 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
25	22, 24	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
26	9	mullidd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → 𝑦 ∈ { -1, 1})
28	26, 27	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ { -1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ { -1, 1})
29		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
30	29	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
31	28, 30	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
32	25, 31	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
33	8, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { -1, 1} → (𝑦 ∈ { -1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1}))
34	33	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑦 ∈ { -1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ { -1, 1})
35		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36		ax-1ne0 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
37		divneg2 12081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
38	5, 5, 36, 37	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
39		1div1e1 12047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
40	39	negeqi 11589	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
41	38, 40	eqtr3i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
42	41, 2	eqeltri 2860	. . . . . . 7 ⊢ (1 / -1) ∈ { -1, 1}
43	35, 42	eqeltrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
44		oveq2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
45	39, 15	eqeltri 2860	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) ∈ { -1, 1}
46	44, 45	eqeltrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
47	43, 46	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
48	8, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ { -1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
49	48	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ { -1, 1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ { -1, 1})
50	7, 34, 15, 49	expcl2lem 14256	. 2 ⊢ (( -1 ∈ { -1, 1} ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})
51	2, 3, 50	mp3an12 1481	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑𝑁) ∈ { -1, 1})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {cpr 4590  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℤcz 12733  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  m1expcl  14269  m1expeven  14292  m1expaddsub  19763  psgnran  19780  psgnghm  21941  gausslemma2dlem0i  27748  lgseisenlem2  27760  madjusmdetlem4  34573  lighneallem4  48968