MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expcl2 14083
Description: Closure of integer exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negex 11489 . . 3 -1 โˆˆ V
21prid1 4767 . 2 -1 โˆˆ {-1, 1}
3 neg1ne0 12359 . 2 -1 โ‰  0
4 neg1cn 12357 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
5 ax-1cn 11197 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
6 prssi 4825 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ {-1, 1} โІ โ„‚)
74, 5, 6mp2an 691 . . 3 {-1, 1} โІ โ„‚
8 elpri 4651 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1))
97sseli 3976 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
109mulm1d 11697 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) = -๐‘ฆ)
11 elpri 4651 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1))
12 negeq 11483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ = --1)
13 negneg1e1 12361 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 11241 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ V
1514prid2 4768 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2825 . . . . . . . . . . 11 --1 โˆˆ {-1, 1}
1712, 16eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
18 negeq 11483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ = -1)
1918, 2eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2017, 19jaoi 856 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2111, 20syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
23 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท ๐‘ฆ))
2423eleq1d 2814 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
2522, 24imbitrrid 245 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
269mullidd 11263 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
27 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
29 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท ๐‘ฆ))
3029eleq1d 2814 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3128, 30imbitrrid 245 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 856 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
338, 32syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3433imp 406 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
35 oveq2 7428 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / -1))
36 ax-1ne0 11208 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  0
37 divneg2 11969 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1458 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 11935 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 11484 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2758 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 2eqeltri 2825 . . . . . . 7 (1 / -1) โˆˆ {-1, 1}
4335, 42eqeltrdi 2837 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
44 oveq2 7428 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2825 . . . . . . 7 (1 / 1) โˆˆ {-1, 1}
4644, 45eqeltrdi 2837 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4743, 46jaoi 856 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
488, 47syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4948adantr 480 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lem 14071 . 2 ((-1 โˆˆ {-1, 1} โˆง -1 โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
512, 3, 50mp3an12 1448 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   โІ wss 3947  {cpr 4631  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144  -cneg 11476   / cdiv 11902  โ„คcz 12589  โ†‘cexp 14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060
This theorem is referenced by:  m1expcl  14084  m1expeven  14107  m1expaddsub  19453  psgnran  19470  psgnghm  21512  gausslemma2dlem0i  27310  lgseisenlem2  27322  madjusmdetlem4  33431  lighneallem4  46950
  Copyright terms: Public domain W3C validator