MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expcl2 14050
Description: Closure of integer exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negex 11457 . . 3 -1 โˆˆ V
21prid1 4766 . 2 -1 โˆˆ {-1, 1}
3 neg1ne0 12327 . 2 -1 โ‰  0
4 neg1cn 12325 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
5 ax-1cn 11167 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
6 prssi 4824 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ {-1, 1} โŠ† โ„‚)
74, 5, 6mp2an 690 . . 3 {-1, 1} โŠ† โ„‚
8 elpri 4650 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1))
97sseli 3978 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
109mulm1d 11665 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) = -๐‘ฆ)
11 elpri 4650 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1))
12 negeq 11451 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ = --1)
13 negneg1e1 12329 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 11209 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ V
1514prid2 4767 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2829 . . . . . . . . . . 11 --1 โˆˆ {-1, 1}
1712, 16eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
18 negeq 11451 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ = -1)
1918, 2eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2017, 19jaoi 855 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2111, 20syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
23 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท ๐‘ฆ))
2423eleq1d 2818 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
2522, 24imbitrrid 245 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
269mullidd 11231 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
27 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
29 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท ๐‘ฆ))
3029eleq1d 2818 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3128, 30imbitrrid 245 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 855 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
338, 32syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3433imp 407 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
35 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / -1))
36 ax-1ne0 11178 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  0
37 divneg2 11937 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1461 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 11903 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 11452 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2762 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 2eqeltri 2829 . . . . . . 7 (1 / -1) โˆˆ {-1, 1}
4335, 42eqeltrdi 2841 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
44 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2829 . . . . . . 7 (1 / 1) โˆˆ {-1, 1}
4644, 45eqeltrdi 2841 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4743, 46jaoi 855 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
488, 47syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4948adantr 481 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lem 14038 . 2 ((-1 โˆˆ {-1, 1} โˆง -1 โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
512, 3, 50mp3an12 1451 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3948  {cpr 4630  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„คcz 12557  โ†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027
This theorem is referenced by:  m1expcl  14051  m1expeven  14074  m1expaddsub  19365  psgnran  19382  psgnghm  21132  gausslemma2dlem0i  26864  lgseisenlem2  26876  madjusmdetlem4  32805  lighneallem4  46268
  Copyright terms: Public domain W3C validator