MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expcl2 14000
Description: Closure of integer exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negex 11407 . . 3 -1 โˆˆ V
21prid1 4727 . 2 -1 โˆˆ {-1, 1}
3 neg1ne0 12277 . 2 -1 โ‰  0
4 neg1cn 12275 . . . 4 -1 โˆˆ โ„‚
5 ax-1cn 11117 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
6 prssi 4785 . . . 4 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ {-1, 1} โŠ† โ„‚)
74, 5, 6mp2an 691 . . 3 {-1, 1} โŠ† โ„‚
8 elpri 4612 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1))
97sseli 3944 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
109mulm1d 11615 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) = -๐‘ฆ)
11 elpri 4612 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1))
12 negeq 11401 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ = --1)
13 negneg1e1 12279 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 11159 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ V
1514prid2 4728 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 --1 โˆˆ {-1, 1}
1712, 16eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = -1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
18 negeq 11401 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ = -1)
1918, 2eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = 1 โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2017, 19jaoi 856 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ = -1 โˆจ ๐‘ฆ = 1) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2111, 20syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
23 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท ๐‘ฆ))
2423eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (-1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
2522, 24imbitrrid 245 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
269mullidd 11181 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
27 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
29 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท ๐‘ฆ))
3029eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1} โ†” (1 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3128, 30imbitrrid 245 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 856 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
338, 32syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1}))
3433imp 408 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {-1, 1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {-1, 1})
35 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / -1))
36 ax-1ne0 11128 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  0
37 divneg2 11887 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1462 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 11853 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 11402 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2763 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 2eqeltri 2830 . . . . . . 7 (1 / -1) โˆˆ {-1, 1}
4335, 42eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
44 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2830 . . . . . . 7 (1 / 1) โˆˆ {-1, 1}
4644, 45eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4743, 46jaoi 856 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆจ ๐‘ฅ = 1) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
488, 47syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
4948adantr 482 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {-1, 1} โˆง ๐‘ฅ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lem 13988 . 2 ((-1 โˆˆ {-1, 1} โˆง -1 โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
512, 3, 50mp3an12 1452 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ {-1, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โŠ† wss 3914  {cpr 4592  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064  -cneg 11394   / cdiv 11820  โ„คcz 12507  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  m1expcl  14001  m1expeven  14024  m1expaddsub  19288  psgnran  19305  psgnghm  21007  gausslemma2dlem0i  26735  lgseisenlem2  26747  madjusmdetlem4  32475  lighneallem4  45892
  Copyright terms: Public domain W3C validator