MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expcl2 13259
Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negex 10676 . . 3 -1 ∈ V
21prid1 4566 . 2 -1 ∈ {-1, 1}
3 neg1ne0 11556 . 2 -1 ≠ 0
4 neg1cn 11554 . . . 4 -1 ∈ ℂ
5 ax-1cn 10385 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 prssi 4622 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
74, 5, 6mp2an 679 . . 3 {-1, 1} ⊆ ℂ
8 elpri 4457 . . . . 5 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
97sseli 3850 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
109mulm1d 10885 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11 elpri 4457 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12 negeq 10670 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13 negneg1e1 11558 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 10427 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
1514prid2 4567 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2856 . . . . . . . . . . 11 --1 ∈ {-1, 1}
1712, 16syl6eqel 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18 negeq 10670 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
1918, 2syl6eqel 2868 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2017, 19jaoi 843 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2111, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2860 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23 oveq1 6977 . . . . . . . 8 (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
2423eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
2522, 24syl5ibr 238 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
269mulid2d 10450 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2860 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29 oveq1 6977 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
3029eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3128, 30syl5ibr 238 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 843 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
338, 32syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3433imp 398 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35 oveq2 6978 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36 ax-1ne0 10396 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
37 divneg2 11157 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1440 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 11123 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 10671 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2798 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 2eqeltri 2856 . . . . . . 7 (1 / -1) ∈ {-1, 1}
4335, 42syl6eqel 2868 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44 oveq2 6978 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2856 . . . . . . 7 (1 / 1) ∈ {-1, 1}
4644, 45syl6eqel 2868 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4743, 46jaoi 843 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
488, 47syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4948adantr 473 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lem 13249 . 2 ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
512, 3, 50mp3an12 1430 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 833   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wss 3825  {cpr 4437  (class class class)co 6970  cc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   · cmul 10332  -cneg 10663   / cdiv 11090  cz 11786  cexp 13237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-seq 13178  df-exp 13238
This theorem is referenced by:  m1expcl  13260  m1expeven  13284  m1expaddsub  18378  psgnran  18395  psgnghm  20416  gausslemma2dlem0i  25632  lgseisenlem2  25644  madjusmdetlem4  30694  lighneallem4  43083
  Copyright terms: Public domain W3C validator