Theorem cnmsgnsubg 21535

Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgnsubg.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
cnmsgnsubg	⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsgnsubg.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2		elpri 4625	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4		ax-1cn 11185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7		neg1cn 12352	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	6, 7	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	5, 8	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1ne0 11196	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
13	3, 12	eqnetrd 2999	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14		neg1ne0 12354	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
16	6, 15	eqnetrd 2999	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
17	13, 16	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
18	2, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19		elpri 4625	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20		oveq12 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
21	4	mulridi 11237	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22		1ex 11229	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid1 4738	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
24	21, 23	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) ∈ {1, -1}
25	20, 24	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26		oveq12 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
27	7	mulridi 11237	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
28		negex 11478	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ V
29	28	prid2 4739	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ {1, -1}
30	27, 29	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ (-1 · 1) ∈ {1, -1}
31	26, 30	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32		oveq12 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
33	7	mullidi 11238	. . . . . 6 ⊢ (1 · -1) = -1
34	33, 29	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ (1 · -1) ∈ {1, -1}
35	32, 34	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36		oveq12 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37		neg1mulneg1e1 12451	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
38	37, 23	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) ∈ {1, -1}
39	36, 38	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
40	25, 31, 35, 39	ccase 1037	. . 3 ⊢ (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
41	2, 19, 40	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43		1div1e1 11930	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
44	43, 23	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) ∈ {1, -1}
45	42, 44	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47		divneg2 11963	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
48	4, 4, 11, 47	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
49	43	negeqi 11473	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
50	48, 49	eqtr3i 2760	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
51	50, 29	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ (1 / -1) ∈ {1, -1}
52	46, 51	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
53	45, 52	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
54	2, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
55	1, 10, 18, 41, 23, 54	cnmsubglem 21396	1 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601  {cpr 4603  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  -cneg 11465   / cdiv 11892   ↾_s cress 17249  SubGrpcsubg 19101  mulGrpcmgp 20098  ℂ_fldccnfld 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-subg 19104  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-dvr 20359  df-drng 20689  df-cnfld 21314

This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  21537  psgninv  21540  zrhpsgnmhm  21542