MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnsubg 20824
Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m ๐‘€ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs (โ„‚ โˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg {1, -1} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€)

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 ๐‘€ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs (โ„‚ โˆ– {0}))
2 elpri 4588 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1))
3 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
4 ax-1cn 10972 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
53, 4eqeltrdi 2845 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ = -1)
7 neg1cn 12130 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
86, 7eqeltrdi 2845 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
95, 8jaoi 855 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
102, 9syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 ax-1ne0 10983 . . . . . 6 1 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ 1 โ‰  0)
133, 12eqnetrd 3009 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
14 neg1ne0 12132 . . . . . 6 -1 โ‰  0
1514a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ -1 โ‰  0)
166, 15eqnetrd 3009 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
1713, 16jaoi 855 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
182, 17syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
19 elpri 4588 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ {1, -1} โ†’ (๐‘ฆ = 1 โˆจ ๐‘ฆ = -1))
20 oveq12 7313 . . . . 5 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท 1))
214mulid1i 11022 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
22 1ex 11014 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
2322prid1 4703 . . . . . 6 1 โˆˆ {1, -1}
2421, 23eqeltri 2833 . . . . 5 (1 ยท 1) โˆˆ {1, -1}
2520, 24eqeltrdi 2845 . . . 4 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
26 oveq12 7313 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท 1))
277mulid1i 11022 . . . . . 6 (-1 ยท 1) = -1
28 negex 11262 . . . . . . 7 -1 โˆˆ V
2928prid2 4704 . . . . . 6 -1 โˆˆ {1, -1}
3027, 29eqeltri 2833 . . . . 5 (-1 ยท 1) โˆˆ {1, -1}
3126, 30eqeltrdi 2845 . . . 4 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
32 oveq12 7313 . . . . 5 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท -1))
337mulid2i 11023 . . . . . 6 (1 ยท -1) = -1
3433, 29eqeltri 2833 . . . . 5 (1 ยท -1) โˆˆ {1, -1}
3532, 34eqeltrdi 2845 . . . 4 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
36 oveq12 7313 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท -1))
37 neg1mulneg1e1 12229 . . . . . 6 (-1 ยท -1) = 1
3837, 23eqeltri 2833 . . . . 5 (-1 ยท -1) โˆˆ {1, -1}
3936, 38eqeltrdi 2845 . . . 4 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
4025, 31, 35, 39ccase 1036 . . 3 (((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โˆง (๐‘ฆ = 1 โˆจ ๐‘ฆ = -1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
412, 19, 40syl2an 597 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {1, -1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
42 oveq2 7312 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
43 1div1e1 11708 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
4443, 23eqeltri 2833 . . . . 5 (1 / 1) โˆˆ {1, -1}
4542, 44eqeltrdi 2845 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
46 oveq2 7312 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / -1))
47 divneg2 11742 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
484, 4, 11, 47mp3an 1461 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
4943negeqi 11257 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5048, 49eqtr3i 2766 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
5150, 29eqeltri 2833 . . . . 5 (1 / -1) โˆˆ {1, -1}
5246, 51eqeltrdi 2845 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
5345, 52jaoi 855 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
542, 53syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
551, 10, 18, 41, 23, 54cnmsubglem 20703 1 {1, -1} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆจ wo 845   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3890  {csn 4566  {cpr 4568  โ€˜cfv 6455  (class class class)co 7304  โ„‚cc 10912  0cc0 10914  1c1 10915   ยท cmul 10919  -cneg 11249   / cdiv 11675   โ†พs cress 16983  SubGrpcsubg 18791  mulGrpcmgp 19762  โ„‚fldccnfld 20639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5219  ax-sep 5233  ax-nul 5240  ax-pow 5298  ax-pr 5362  ax-un 7617  ax-cnex 10970  ax-resscn 10971  ax-1cn 10972  ax-icn 10973  ax-addcl 10974  ax-addrcl 10975  ax-mulcl 10976  ax-mulrcl 10977  ax-mulcom 10978  ax-addass 10979  ax-mulass 10980  ax-distr 10981  ax-i2m1 10982  ax-1ne0 10983  ax-1rid 10984  ax-rnegex 10985  ax-rrecex 10986  ax-cnre 10987  ax-pre-lttri 10988  ax-pre-lttrn 10989  ax-pre-ltadd 10990  ax-pre-mulgt0 10991  ax-addf 10993  ax-mulf 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3278  df-reu 3279  df-rab 3280  df-v 3440  df-sbc 3723  df-csb 3839  df-dif 3896  df-un 3898  df-in 3900  df-ss 3910  df-pss 3912  df-nul 4264  df-if 4467  df-pw 4542  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4846  df-iun 4934  df-br 5083  df-opab 5145  df-mpt 5166  df-tr 5200  df-id 5497  df-eprel 5503  df-po 5511  df-so 5512  df-fr 5552  df-we 5554  df-xp 5603  df-rel 5604  df-cnv 5605  df-co 5606  df-dm 5607  df-rn 5608  df-res 5609  df-ima 5610  df-pred 6214  df-ord 6281  df-on 6282  df-lim 6283  df-suc 6284  df-iota 6407  df-fun 6457  df-fn 6458  df-f 6459  df-f1 6460  df-fo 6461  df-f1o 6462  df-fv 6463  df-riota 7261  df-ov 7307  df-oprab 7308  df-mpo 7309  df-om 7742  df-1st 7860  df-2nd 7861  df-tpos 8070  df-frecs 8125  df-wrecs 8156  df-recs 8230  df-rdg 8269  df-1o 8325  df-er 8526  df-en 8762  df-dom 8763  df-sdom 8764  df-fin 8765  df-pnf 11054  df-mnf 11055  df-xr 11056  df-ltxr 11057  df-le 11058  df-sub 11250  df-neg 11251  df-div 11676  df-nn 12017  df-2 12079  df-3 12080  df-4 12081  df-5 12082  df-6 12083  df-7 12084  df-8 12085  df-9 12086  df-n0 12277  df-z 12363  df-dec 12481  df-uz 12626  df-fz 13283  df-struct 16890  df-sets 16907  df-slot 16925  df-ndx 16937  df-base 16955  df-ress 16984  df-plusg 17017  df-mulr 17018  df-starv 17019  df-tset 17023  df-ple 17024  df-ds 17026  df-unif 17027  df-0g 17194  df-mgm 18368  df-sgrp 18417  df-mnd 18428  df-grp 18622  df-minusg 18623  df-subg 18794  df-cmn 19430  df-abl 19431  df-mgp 19763  df-ur 19780  df-ring 19827  df-cring 19828  df-oppr 19904  df-dvdsr 19925  df-unit 19926  df-invr 19956  df-dvr 19967  df-drng 20035  df-cnfld 20640
This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  20826  psgninv  20829  zrhpsgnmhm  20831
  Copyright terms: Public domain W3C validator