Theorem cnmsgnsubg 21883

Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgnsubg.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
cnmsgnsubg	⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsgnsubg.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2		elpri 4607	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4		ax-1cn 11258	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7		neg1cn 12305	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	6, 7	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	5, 8	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1ne0 11269	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
13	3, 12	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14		neg1ne0 12307	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
16	6, 15	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
17	13, 16	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
18	2, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19		elpri 4607	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20		oveq12 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
21	4	mulridi 11313	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22		1ex 11303	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid1 4722	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
24	21, 23	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) ∈ {1, -1}
25	20, 24	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26		oveq12 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = ( -1 · 1))
27	7	mulridi 11313	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · 1) = -1
28		negex 11555	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ V
29	28	prid2 4723	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ {1, -1}
30	27, 29	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ ( -1 · 1) ∈ {1, -1}
31	26, 30	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32		oveq12 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
33	7	mullidi 11314	. . . . . 6 ⊢ (1 · -1) = -1
34	33, 29	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ (1 · -1) ∈ {1, -1}
35	32, 34	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36		oveq12 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = ( -1 · -1))
37		neg1mulneg1e1 12558	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · -1) = 1
38	37, 23	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ ( -1 · -1) ∈ {1, -1}
39	36, 38	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
40	25, 31, 35, 39	ccase 1053	. . 3 ⊢ (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
41	2, 19, 40	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43		1div1e1 12007	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
44	43, 23	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) ∈ {1, -1}
45	42, 44	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47		divneg2 12041	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
48	4, 4, 11, 47	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
49	43	negeqi 11550	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
50	48, 49	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
51	50, 29	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ (1 / -1) ∈ {1, -1}
52	46, 51	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
53	45, 52	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
54	2, 53	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
55	1, 10, 18, 41, 23, 54	cnmsubglem 21736	1 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4045  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   -cneg 11542   / cdiv 11973   ↾_s cress 17408  SubGrpcsubg 19330  mulGrpcmgp 20360  ℂ_fldccnfld 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-drng 20982  df-cnfld 21679

This theorem is used by:  cnmsgngrp  21885  psgninv  21888  zrhpsgnmhm  21890