Theorem cnmsgnsubg 21557

Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgnsubg.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
cnmsgnsubg	⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsgnsubg.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2		elpri 4591	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7		neg1cn 12144	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	6, 7	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	5, 8	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1ne0 11107	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
13	3, 12	eqnetrd 2999	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14		neg1ne0 12146	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
16	6, 15	eqnetrd 2999	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
17	13, 16	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
18	2, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19		elpri 4591	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20		oveq12 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
21	4	mulridi 11149	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22		1ex 11140	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid1 4706	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
24	21, 23	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) ∈ {1, -1}
25	20, 24	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26		oveq12 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
27	7	mulridi 11149	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
28		negex 11391	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ V
29	28	prid2 4707	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ {1, -1}
30	27, 29	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ (-1 · 1) ∈ {1, -1}
31	26, 30	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32		oveq12 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
33	7	mullidi 11150	. . . . . 6 ⊢ (1 · -1) = -1
34	33, 29	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ (1 · -1) ∈ {1, -1}
35	32, 34	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36		oveq12 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37		neg1mulneg1e1 12389	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
38	37, 23	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) ∈ {1, -1}
39	36, 38	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
40	25, 31, 35, 39	ccase 1038	. . 3 ⊢ (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
41	2, 19, 40	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43		1div1e1 11845	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
44	43, 23	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) ∈ {1, -1}
45	42, 44	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47		divneg2 11879	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
48	4, 4, 11, 47	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
49	43	negeqi 11386	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
50	48, 49	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
51	50, 29	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ (1 / -1) ∈ {1, -1}
52	46, 51	eqeltrdi 2844	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
53	45, 52	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
54	2, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
55	1, 10, 18, 41, 23, 54	cnmsubglem 21410	1 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  -cneg 11378   / cdiv 11807   ↾_s cress 17200  SubGrpcsubg 19096  mulGrpcmgp 20121  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-drng 20708  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  21559  psgninv  21562  zrhpsgnmhm  21564