Theorem cnmsgnsubg 21736

Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgnsubg.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
cnmsgnsubg	⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsgnsubg.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2		elpri 4613	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4		ax-1cn 11162	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7		neg1cn 12207	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	6, 7	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	5, 8	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1ne0 11173	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
13	3, 12	eqnetrd 3025	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14		neg1ne0 12209	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
16	6, 15	eqnetrd 3025	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
17	13, 16	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
18	2, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19		elpri 4613	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
21	4	mulridi 11217	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22		1ex 11207	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid1 4728	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
24	21, 23	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) ∈ {1, -1}
25	20, 24	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
27	7	mulridi 11217	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
28		negex 11459	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ V
29	28	prid2 4729	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ {1, -1}
30	27, 29	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ (-1 · 1) ∈ {1, -1}
31	26, 30	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
33	7	mullidi 11218	. . . . . 6 ⊢ (1 · -1) = -1
34	33, 29	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ (1 · -1) ∈ {1, -1}
35	32, 34	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36		oveq12 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37		neg1mulneg1e1 12460	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
38	37, 23	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) ∈ {1, -1}
39	36, 38	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
40	25, 31, 35, 39	ccase 1053	. . 3 ⊢ (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
41	2, 19, 40	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43		1div1e1 11909	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
44	43, 23	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) ∈ {1, -1}
45	42, 44	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47		divneg2 11943	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
48	4, 4, 11, 47	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
49	43	negeqi 11454	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
50	48, 49	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
51	50, 29	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ (1 / -1) ∈ {1, -1}
52	46, 51	eqeltrdi 2871	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
53	45, 52	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
54	2, 53	syl 18	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
55	1, 10, 18, 41, 23, 54	cnmsubglem 21589	1 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4589  {cpr 4591  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104  1c1 11105   · cmul 11109  -cneg 11446   / cdiv 11875   ↾_s cress 17294  SubGrpcsubg 19190  mulGrpcmgp 20220  ℂ_fldccnfld 21531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183  ax-mulf 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-drng 20838  df-cnfld 21532

This theorem is used by:  cnmsgngrp  21738  psgninv  21741  zrhpsgnmhm  21743