Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnsubg 20270
 Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2 elpri 4550 . . 3 (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4 ax-1cn 10588 . . . . 5 1 ∈ ℂ
53, 4eqeltrdi 2901 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6 id 22 . . . . 5 (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7 neg1cn 11743 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
86, 7eqeltrdi 2901 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
95, 8jaoi 854 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1ne0 10599 . . . . . 6 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
133, 12eqnetrd 3057 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14 neg1ne0 11745 . . . . . 6 -1 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
166, 15eqnetrd 3057 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
1713, 16jaoi 854 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
182, 17syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19 elpri 4550 . . 3 (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20 oveq12 7148 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
214mulid1i 10638 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
22 1ex 10630 . . . . . . 7 1 ∈ V
2322prid1 4661 . . . . . 6 1 ∈ {1, -1}
2421, 23eqeltri 2889 . . . . 5 (1 · 1) ∈ {1, -1}
2520, 24eqeltrdi 2901 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26 oveq12 7148 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
277mulid1i 10638 . . . . . 6 (-1 · 1) = -1
28 negex 10877 . . . . . . 7 -1 ∈ V
2928prid2 4662 . . . . . 6 -1 ∈ {1, -1}
3027, 29eqeltri 2889 . . . . 5 (-1 · 1) ∈ {1, -1}
3126, 30eqeltrdi 2901 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32 oveq12 7148 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
337mulid2i 10639 . . . . . 6 (1 · -1) = -1
3433, 29eqeltri 2889 . . . . 5 (1 · -1) ∈ {1, -1}
3532, 34eqeltrdi 2901 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36 oveq12 7148 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37 neg1mulneg1e1 11842 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
3837, 23eqeltri 2889 . . . . 5 (-1 · -1) ∈ {1, -1}
3936, 38eqeltrdi 2901 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
4025, 31, 35, 39ccase 1033 . . 3 (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
412, 19, 40syl2an 598 . 2 ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43 1div1e1 11323 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
4443, 23eqeltri 2889 . . . . 5 (1 / 1) ∈ {1, -1}
4542, 44eqeltrdi 2901 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46 oveq2 7147 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47 divneg2 11357 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
484, 4, 11, 47mp3an 1458 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
4943negeqi 10872 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5048, 49eqtr3i 2826 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
5150, 29eqeltri 2889 . . . . 5 (1 / -1) ∈ {1, -1}
5246, 51eqeltrdi 2901 . . . 4 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
5345, 52jaoi 854 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
542, 53syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
551, 10, 18, 41, 23, 54cnmsubglem 20158 1 {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ∖ cdif 3881  {csn 4528  {cpr 4530  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  -cneg 10864   / cdiv 11290   ↾s cress 16480  SubGrpcsubg 18269  mulGrpcmgp 19236  ℂfldccnfld 20095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-subg 18272  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-drng 19501  df-cnfld 20096 This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  20272  psgninv  20275  zrhpsgnmhm  20277
 Copyright terms: Public domain W3C validator