MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnsubg 21350
Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m ๐‘€ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs (โ„‚ โˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg {1, -1} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€)

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 ๐‘€ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs (โ„‚ โˆ– {0}))
2 elpri 4651 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1))
3 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
4 ax-1cn 11171 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
53, 4eqeltrdi 2840 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ = -1)
7 neg1cn 12331 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
86, 7eqeltrdi 2840 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
95, 8jaoi 854 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
102, 9syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 ax-1ne0 11182 . . . . . 6 1 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ 1 โ‰  0)
133, 12eqnetrd 3007 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
14 neg1ne0 12333 . . . . . 6 -1 โ‰  0
1514a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ -1 โ‰  0)
166, 15eqnetrd 3007 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
1713, 16jaoi 854 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
182, 17syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
19 elpri 4651 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ {1, -1} โ†’ (๐‘ฆ = 1 โˆจ ๐‘ฆ = -1))
20 oveq12 7421 . . . . 5 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท 1))
214mulridi 11223 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
22 1ex 11215 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
2322prid1 4767 . . . . . 6 1 โˆˆ {1, -1}
2421, 23eqeltri 2828 . . . . 5 (1 ยท 1) โˆˆ {1, -1}
2520, 24eqeltrdi 2840 . . . 4 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
26 oveq12 7421 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท 1))
277mulridi 11223 . . . . . 6 (-1 ยท 1) = -1
28 negex 11463 . . . . . . 7 -1 โˆˆ V
2928prid2 4768 . . . . . 6 -1 โˆˆ {1, -1}
3027, 29eqeltri 2828 . . . . 5 (-1 ยท 1) โˆˆ {1, -1}
3126, 30eqeltrdi 2840 . . . 4 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
32 oveq12 7421 . . . . 5 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท -1))
337mullidi 11224 . . . . . 6 (1 ยท -1) = -1
3433, 29eqeltri 2828 . . . . 5 (1 ยท -1) โˆˆ {1, -1}
3532, 34eqeltrdi 2840 . . . 4 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
36 oveq12 7421 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท -1))
37 neg1mulneg1e1 12430 . . . . . 6 (-1 ยท -1) = 1
3837, 23eqeltri 2828 . . . . 5 (-1 ยท -1) โˆˆ {1, -1}
3936, 38eqeltrdi 2840 . . . 4 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
4025, 31, 35, 39ccase 1035 . . 3 (((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โˆง (๐‘ฆ = 1 โˆจ ๐‘ฆ = -1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
412, 19, 40syl2an 595 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {1, -1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
42 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
43 1div1e1 11909 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
4443, 23eqeltri 2828 . . . . 5 (1 / 1) โˆˆ {1, -1}
4542, 44eqeltrdi 2840 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
46 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / -1))
47 divneg2 11943 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
484, 4, 11, 47mp3an 1460 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
4943negeqi 11458 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5048, 49eqtr3i 2761 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
5150, 29eqeltri 2828 . . . . 5 (1 / -1) โˆˆ {1, -1}
5246, 51eqeltrdi 2840 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
5345, 52jaoi 854 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
542, 53syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
551, 10, 18, 41, 23, 54cnmsubglem 21209 1 {1, -1} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   โˆ– cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   ยท cmul 11118  -cneg 11450   / cdiv 11876   โ†พs cress 17178  SubGrpcsubg 19037  mulGrpcmgp 20029  โ„‚fldccnfld 21145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-cnfld 21146
This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  21352  psgninv  21355  zrhpsgnmhm  21357
  Copyright terms: Public domain W3C validator