MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnsubg 21596
Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2 elpri 4648 . . 3 (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4 ax-1cn 11214 . . . . 5 1 ∈ ℂ
53, 4eqeltrdi 2848 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6 id 22 . . . . 5 (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7 neg1cn 12381 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
86, 7eqeltrdi 2848 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
95, 8jaoi 857 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1ne0 11225 . . . . . 6 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
133, 12eqnetrd 3007 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14 neg1ne0 12383 . . . . . 6 -1 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
166, 15eqnetrd 3007 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
1713, 16jaoi 857 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
182, 17syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19 elpri 4648 . . 3 (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20 oveq12 7441 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
214mulridi 11266 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
22 1ex 11258 . . . . . . 7 1 ∈ V
2322prid1 4761 . . . . . 6 1 ∈ {1, -1}
2421, 23eqeltri 2836 . . . . 5 (1 · 1) ∈ {1, -1}
2520, 24eqeltrdi 2848 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26 oveq12 7441 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
277mulridi 11266 . . . . . 6 (-1 · 1) = -1
28 negex 11507 . . . . . . 7 -1 ∈ V
2928prid2 4762 . . . . . 6 -1 ∈ {1, -1}
3027, 29eqeltri 2836 . . . . 5 (-1 · 1) ∈ {1, -1}
3126, 30eqeltrdi 2848 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32 oveq12 7441 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
337mullidi 11267 . . . . . 6 (1 · -1) = -1
3433, 29eqeltri 2836 . . . . 5 (1 · -1) ∈ {1, -1}
3532, 34eqeltrdi 2848 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36 oveq12 7441 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37 neg1mulneg1e1 12480 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
3837, 23eqeltri 2836 . . . . 5 (-1 · -1) ∈ {1, -1}
3936, 38eqeltrdi 2848 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
4025, 31, 35, 39ccase 1037 . . 3 (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
412, 19, 40syl2an 596 . 2 ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42 oveq2 7440 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43 1div1e1 11959 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
4443, 23eqeltri 2836 . . . . 5 (1 / 1) ∈ {1, -1}
4542, 44eqeltrdi 2848 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46 oveq2 7440 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47 divneg2 11992 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
484, 4, 11, 47mp3an 1462 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
4943negeqi 11502 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5048, 49eqtr3i 2766 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
5150, 29eqeltri 2836 . . . . 5 (1 / -1) ∈ {1, -1}
5246, 51eqeltrdi 2848 . . . 4 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
5345, 52jaoi 857 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
542, 53syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
551, 10, 18, 41, 23, 54cnmsubglem 21449 1 {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cdif 3947  {csn 4625  {cpr 4627  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  -cneg 11494   / cdiv 11921  s cress 17275  SubGrpcsubg 19139  mulGrpcmgp 20138  fldccnfld 21365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-drng 20732  df-cnfld 21366
This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  21598  psgninv  21601  zrhpsgnmhm  21603
  Copyright terms: Public domain W3C validator