MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnsubg 21565
Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2 elpri 4655 . . 3 (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4 ax-1cn 11212 . . . . 5 1 ∈ ℂ
53, 4eqeltrdi 2833 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6 id 22 . . . . 5 (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7 neg1cn 12373 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
86, 7eqeltrdi 2833 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
95, 8jaoi 855 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1ne0 11223 . . . . . 6 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
133, 12eqnetrd 2997 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14 neg1ne0 12375 . . . . . 6 -1 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
166, 15eqnetrd 2997 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
1713, 16jaoi 855 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
182, 17syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19 elpri 4655 . . 3 (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20 oveq12 7432 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
214mulridi 11264 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
22 1ex 11256 . . . . . . 7 1 ∈ V
2322prid1 4770 . . . . . 6 1 ∈ {1, -1}
2421, 23eqeltri 2821 . . . . 5 (1 · 1) ∈ {1, -1}
2520, 24eqeltrdi 2833 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26 oveq12 7432 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
277mulridi 11264 . . . . . 6 (-1 · 1) = -1
28 negex 11504 . . . . . . 7 -1 ∈ V
2928prid2 4771 . . . . . 6 -1 ∈ {1, -1}
3027, 29eqeltri 2821 . . . . 5 (-1 · 1) ∈ {1, -1}
3126, 30eqeltrdi 2833 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32 oveq12 7432 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
337mullidi 11265 . . . . . 6 (1 · -1) = -1
3433, 29eqeltri 2821 . . . . 5 (1 · -1) ∈ {1, -1}
3532, 34eqeltrdi 2833 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36 oveq12 7432 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37 neg1mulneg1e1 12472 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
3837, 23eqeltri 2821 . . . . 5 (-1 · -1) ∈ {1, -1}
3936, 38eqeltrdi 2833 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
4025, 31, 35, 39ccase 1035 . . 3 (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
412, 19, 40syl2an 594 . 2 ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42 oveq2 7431 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43 1div1e1 11951 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
4443, 23eqeltri 2821 . . . . 5 (1 / 1) ∈ {1, -1}
4542, 44eqeltrdi 2833 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46 oveq2 7431 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47 divneg2 11985 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
484, 4, 11, 47mp3an 1457 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
4943negeqi 11499 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5048, 49eqtr3i 2755 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
5150, 29eqeltri 2821 . . . . 5 (1 / -1) ∈ {1, -1}
5246, 51eqeltrdi 2833 . . . 4 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
5345, 52jaoi 855 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
542, 53syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
551, 10, 18, 41, 23, 54cnmsubglem 21419 1 {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3943  {csn 4632  {cpr 4634  cfv 6553  (class class class)co 7423  cc 11152  0cc0 11154  1c1 11155   · cmul 11159  -cneg 11491   / cdiv 11917  s cress 17237  SubGrpcsubg 19109  mulGrpcmgp 20112  fldccnfld 21335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-addf 11233  ax-mulf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-subg 19112  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-drng 20666  df-cnfld 21336
This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  21567  psgninv  21570  zrhpsgnmhm  21572
  Copyright terms: Public domain W3C validator