Theorem cnmsgnsubg 21631

Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnmsgnsubg.m	⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))

Assertion

Ref	Expression
cnmsgnsubg	⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmsgnsubg.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2		elpri 4608	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4		ax-1cn 11133	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5	3, 4	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7		neg1cn 12182	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	6, 7	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	5, 8	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1ne0 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
13	3, 12	eqnetrd 3026	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14		neg1ne0 12184	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
16	6, 15	eqnetrd 3026	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
17	13, 16	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
18	2, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19		elpri 4608	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20		oveq12 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
21	4	mulridi 11188	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
22		1ex 11178	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
23	22	prid1 4723	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, -1}
24	21, 23	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) ∈ {1, -1}
25	20, 24	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26		oveq12 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
27	7	mulridi 11188	. . . . . 6 ⊢ (-1 · 1) = -1
28		negex 11430	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ V
29	28	prid2 4724	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ {1, -1}
30	27, 29	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (-1 · 1) ∈ {1, -1}
31	26, 30	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32		oveq12 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
33	7	mullidi 11189	. . . . . 6 ⊢ (1 · -1) = -1
34	33, 29	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (1 · -1) ∈ {1, -1}
35	32, 34	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36		oveq12 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37		neg1mulneg1e1 12435	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -1) = 1
38	37, 23	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) ∈ {1, -1}
39	36, 38	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
40	25, 31, 35, 39	ccase 1049	. . 3 ⊢ (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
41	2, 19, 40	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43		1div1e1 11883	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
44	43, 23	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (1 / 1) ∈ {1, -1}
45	42, 44	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46		oveq2 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47		divneg2 11917	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
48	4, 4, 11, 47	mp3an 1484	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
49	43	negeqi 11425	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
50	48, 49	eqtr3i 2789	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
51	50, 29	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (1 / -1) ∈ {1, -1}
52	46, 51	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
53	45, 52	jaoi 868	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
54	2, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
55	1, 10, 18, 41, 23, 54	cnmsubglem 21484	1 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   ∖ cdif 3903  {csn 4584  {cpr 4586  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  -cneg 11417   / cdiv 11846   ↾_s cress 17268  SubGrpcsubg 19164  mulGrpcmgp 20188  ℂ_fldccnfld 21426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-subg 19167  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-drng 20783  df-cnfld 21427

This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  21633  psgninv  21636  zrhpsgnmhm  21638