MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnsubg 21349
Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m ๐‘€ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs (โ„‚ โˆ– {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg {1, -1} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€)

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 ๐‘€ = ((mulGrpโ€˜โ„‚fld) โ†พs (โ„‚ โˆ– {0}))
2 elpri 4649 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1))
3 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
4 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
53, 4eqeltrdi 2839 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 id 22 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ = -1)
7 neg1cn 12330 . . . . 5 -1 โˆˆ โ„‚
86, 7eqeltrdi 2839 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
95, 8jaoi 853 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
102, 9syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 ax-1ne0 11181 . . . . . 6 1 โ‰  0
1211a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ 1 โ‰  0)
133, 12eqnetrd 3006 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
14 neg1ne0 12332 . . . . . 6 -1 โ‰  0
1514a1i 11 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ -1 โ‰  0)
166, 15eqnetrd 3006 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
1713, 16jaoi 853 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
182, 17syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
19 elpri 4649 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ {1, -1} โ†’ (๐‘ฆ = 1 โˆจ ๐‘ฆ = -1))
20 oveq12 7420 . . . . 5 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท 1))
214mulridi 11222 . . . . . 6 (1 ยท 1) = 1
22 1ex 11214 . . . . . . 7 1 โˆˆ V
2322prid1 4765 . . . . . 6 1 โˆˆ {1, -1}
2421, 23eqeltri 2827 . . . . 5 (1 ยท 1) โˆˆ {1, -1}
2520, 24eqeltrdi 2839 . . . 4 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
26 oveq12 7420 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท 1))
277mulridi 11222 . . . . . 6 (-1 ยท 1) = -1
28 negex 11462 . . . . . . 7 -1 โˆˆ V
2928prid2 4766 . . . . . 6 -1 โˆˆ {1, -1}
3027, 29eqeltri 2827 . . . . 5 (-1 ยท 1) โˆˆ {1, -1}
3126, 30eqeltrdi 2839 . . . 4 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = 1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
32 oveq12 7420 . . . . 5 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (1 ยท -1))
337mullidi 11223 . . . . . 6 (1 ยท -1) = -1
3433, 29eqeltri 2827 . . . . 5 (1 ยท -1) โˆˆ {1, -1}
3532, 34eqeltrdi 2839 . . . 4 ((๐‘ฅ = 1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
36 oveq12 7420 . . . . 5 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (-1 ยท -1))
37 neg1mulneg1e1 12429 . . . . . 6 (-1 ยท -1) = 1
3837, 23eqeltri 2827 . . . . 5 (-1 ยท -1) โˆˆ {1, -1}
3936, 38eqeltrdi 2839 . . . 4 ((๐‘ฅ = -1 โˆง ๐‘ฆ = -1) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
4025, 31, 35, 39ccase 1034 . . 3 (((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โˆง (๐‘ฆ = 1 โˆจ ๐‘ฆ = -1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
412, 19, 40syl2an 594 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ {1, -1}) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ {1, -1})
42 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / 1))
43 1div1e1 11908 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
4443, 23eqeltri 2827 . . . . 5 (1 / 1) โˆˆ {1, -1}
4542, 44eqeltrdi 2839 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
46 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) = (1 / -1))
47 divneg2 11942 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
484, 4, 11, 47mp3an 1459 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
4943negeqi 11457 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5048, 49eqtr3i 2760 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
5150, 29eqeltri 2827 . . . . 5 (1 / -1) โˆˆ {1, -1}
5246, 51eqeltrdi 2839 . . . 4 (๐‘ฅ = -1 โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
5345, 52jaoi 853 . . 3 ((๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = -1) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
542, 53syl 17 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {1, -1} โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ {1, -1})
551, 10, 18, 41, 23, 54cnmsubglem 21208 1 {1, -1} โˆˆ (SubGrpโ€˜๐‘€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  -cneg 11449   / cdiv 11875   โ†พs cress 17177  SubGrpcsubg 19036  mulGrpcmgp 20028  โ„‚fldccnfld 21144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-cnfld 21145
This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  21351  psgninv  21354  zrhpsgnmhm  21356
  Copyright terms: Public domain W3C validator