MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgninv 21618
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2735 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 21617 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2735 . . . . 5 (invg𝑆) = (invg𝑆)
7 eqid 2735 . . . . 5 (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 19254 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
94, 8sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
101, 5, 6symginv 19435 . . . . 5 (𝐹𝑃 → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1211fveq2d 6911 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = (𝑁𝐹))
13 eqid 2735 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1413cnmsgnsubg 21613 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
153cnmsgnbas 21614 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
165, 15ghmf 19251 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
1817ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ {1, -1})
19 cnex 11234 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
2019difexi 5336 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
22 ax-1ne0 11222 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
23 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
2421, 22, 23mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25 neg1cn 12378 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
26 neg1ne0 12380 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
27 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
2825, 26, 27mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29 prssi 4826 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
3024, 28, 29mp2an 692 . . . . . . . 8 {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31 ressabs 17295 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
3220, 30, 31mp2an 692 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
3332eqcomi 2744 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34 cnfldbas 21386 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
35 cnfld0 21423 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
36 cndrng 21429 . . . . . . . 8 fld ∈ DivRing
3734, 35, 36drngui 20752 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38 eqid 2735 . . . . . . 7 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3937, 13, 38invrfval 20406 . . . . . 6 (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4033, 39, 7subginv 19164 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4114, 18, 40sylancr 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4230, 18sselid 3993 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43 eldifsn 4791 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
4442, 43sylib 218 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
45 cnfldinv 21433 . . . . 5 (((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4741, 46eqtr3d 2777 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
489, 12, 473eqtr3d 2783 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (1 / (𝑁𝐹)))
49 fvex 6920 . . . . 5 (𝑁𝐹) ∈ V
5049elpr 4655 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
51 1div1e1 11956 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
52 oveq2 7439 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / 1))
53 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (𝑁𝐹) = 1)
5451, 52, 533eqtr4a 2801 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
55 divneg2 11989 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
5621, 21, 22, 55mp3an 1460 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5751negeqi 11499 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5856, 57eqtr3i 2765 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
59 oveq2 7439 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / -1))
60 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (𝑁𝐹) = -1)
6158, 59, 603eqtr4a 2801 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6254, 61jaoi 857 . . . 4 (((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6350, 62sylbi 217 . . 3 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6418, 63syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6548, 64eqtrd 2775 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  ccnv 5688  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  -cneg 11491   / cdiv 11918  Basecbs 17245  s cress 17274  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151   GrpHom cghm 19243  SymGrpcsymg 19401  pmSgncpsgn 19522  mulGrpcmgp 20152  invrcinvr 20404  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-cnfld 21383
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21621  evpmodpmf1o  21632  madjusmdetlem4  33791
  Copyright terms: Public domain W3C validator