Theorem psgninv 21521

Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgninv	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem psgninv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21520	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
8	5, 6, 7	ghminv 19137	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
9	4, 8	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
10	1, 5, 6	symginv 19316	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
12	11	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (𝑁‘◡𝐹))
13		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21516	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15	3	cnmsgnbas 21517	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	5, 15	ghmf 19134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
18	17	ffvelcdmda 7023	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
19		cnex 11094	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
20	19	difexi 5270	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21		ax-1cn 11071	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11082	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
23		eldifsn 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
24	21, 22, 23	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25		neg1cn 12117	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		neg1ne0 12119	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≠ 0
27		eldifsn 4737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
28	25, 26, 27	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29		prssi 4772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
30	24, 28, 29	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31		ressabs 17161	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
32	20, 30, 31	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
33	32	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34		cnfldbas 21297	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
35		cnfld0 21331	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
36		cndrng 21337	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
37	34, 35, 36	drngui 20652	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
39	37, 13, 38	invrfval 20309	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
40	33, 39, 7	subginv 19048	. . . . 5 ⊢ (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
41	14, 18, 40	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
42	30, 18	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		eldifsn 4737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
44	42, 43	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
45		cnfldinv 21341	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
47	41, 46	eqtr3d 2770	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
48	9, 12, 47	3eqtr3d 2776	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
49		fvex 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
50	49	elpr 4600	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
51		1div1e1 11819	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
52		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / 1))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) = 1)
54	51, 52, 53	3eqtr4a 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
55		divneg2 11852	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
56	21, 21, 22, 55	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
57	51	negeqi 11360	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
58	56, 57	eqtr3i 2758	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
59		oveq2 7360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / -1))
60		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (𝑁‘𝐹) = -1)
61	58, 59, 60	3eqtr4a 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
62	54, 61	jaoi 857	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
63	50, 62	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
64	18, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
65	48, 64	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4575  {cpr 4577  ^◡ccnv 5618  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014  -cneg 11352   / cdiv 11781  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  inv_gcminusg 18849  SubGrpcsubg 19035   GrpHom cghm 19126  SymGrpcsymg 19283  pmSgncpsgn 19403  mulGrpcmgp 20060  inv_rcinvr 20307  ℂ_fldccnfld 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-addf 11092  ax-mulf 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-splice 14659  df-reverse 14668  df-s2 14757  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-efmnd 18779  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-oppg 19260  df-symg 19284  df-pmtr 19356  df-psgn 19405  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20648  df-cnfld 21294

This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21524  evpmodpmf1o  21535  madjusmdetlem4  33864