MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgninv 20412
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2797 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 20411 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2797 . . . . 5 (invg𝑆) = (invg𝑆)
7 eqid 2797 . . . . 5 (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 18110 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
94, 8sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
101, 5, 6symginv 18265 . . . . 5 (𝐹𝑃 → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1110adantl 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1211fveq2d 6549 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = (𝑁𝐹))
13 eqid 2797 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1413cnmsgnsubg 20407 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
153cnmsgnbas 20408 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
165, 15ghmf 18107 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
1817ffvelrnda 6723 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ {1, -1})
19 cnex 10471 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
2019difexi 5130 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21 ax-1cn 10448 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
22 ax-1ne0 10459 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
23 eldifsn 4632 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
2421, 22, 23mpbir2an 707 . . . . . . . . 9 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25 neg1cn 11605 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
26 neg1ne0 11607 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
27 eldifsn 4632 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
2825, 26, 27mpbir2an 707 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29 prssi 4667 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
3024, 28, 29mp2an 688 . . . . . . . 8 {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31 ressabs 16396 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
3220, 30, 31mp2an 688 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
3332eqcomi 2806 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34 cnfldbas 20235 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
35 cnfld0 20255 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
36 cndrng 20260 . . . . . . . 8 fld ∈ DivRing
3734, 35, 36drngui 19202 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38 eqid 2797 . . . . . . 7 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3937, 13, 38invrfval 19117 . . . . . 6 (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4033, 39, 7subginv 18044 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4114, 18, 40sylancr 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4230, 18sseldi 3893 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43 eldifsn 4632 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
4442, 43sylib 219 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
45 cnfldinv 20262 . . . . 5 (((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4741, 46eqtr3d 2835 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
489, 12, 473eqtr3d 2841 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (1 / (𝑁𝐹)))
49 fvex 6558 . . . . 5 (𝑁𝐹) ∈ V
5049elpr 4501 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
51 1div1e1 11184 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
52 oveq2 7031 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / 1))
53 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (𝑁𝐹) = 1)
5451, 52, 533eqtr4a 2859 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
55 divneg2 11218 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
5621, 21, 22, 55mp3an 1453 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5751negeqi 10732 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5856, 57eqtr3i 2823 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
59 oveq2 7031 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / -1))
60 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (𝑁𝐹) = -1)
6158, 59, 603eqtr4a 2859 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6254, 61jaoi 852 . . . 4 (((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6350, 62sylbi 218 . . 3 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6418, 63syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6548, 64eqtrd 2833 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  Vcvv 3440  cdif 3862  wss 3865  {csn 4478  {cpr 4480  ccnv 5449  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  cc 10388  0cc0 10390  1c1 10391  -cneg 10724   / cdiv 11151  Basecbs 16316  s cress 16317  invgcminusg 17866  SubGrpcsubg 18031   GrpHom cghm 18100  SymGrpcsymg 18240  pmSgncpsgn 18352  mulGrpcmgp 18933  invrcinvr 19115  fldccnfld 20231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-xor 1497  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-ot 4487  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-word 13712  df-lsw 13765  df-concat 13773  df-s1 13798  df-substr 13843  df-pfx 13873  df-splice 13952  df-reverse 13961  df-s2 14050  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-gim 18144  df-oppg 18219  df-symg 18241  df-pmtr 18305  df-psgn 18354  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-dvr 19127  df-drng 19198  df-cnfld 20232
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  20415  evpmodpmf1o  20426  madjusmdetlem4  30706
  Copyright terms: Public domain W3C validator