MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgninv 21471
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
psgninv.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))
Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
3 eqid 2726 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 21470 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
6 eqid 2726 . . . . 5 (invgβ€˜π‘†) = (invgβ€˜π‘†)
7 eqid 2726 . . . . 5 (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 19146 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
94, 8sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
101, 5, 6symginv 19320 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑃 β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1211fveq2d 6888 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = (π‘β€˜β—‘πΉ))
13 eqid 2726 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
1413cnmsgnsubg 21466 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
153cnmsgnbas 21467 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
165, 15ghmf 19143 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
1817ffvelcdmda 7079 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1})
19 cnex 11190 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
2019difexi 5321 . . . . . . . 8 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
21 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
22 ax-1ne0 11178 . . . . . . . . . 10 1 β‰  0
23 eldifsn 4785 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0))
2421, 22, 23mpbir2an 708 . . . . . . . . 9 1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
25 neg1cn 12327 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
26 neg1ne0 12329 . . . . . . . . . 10 -1 β‰  0
27 eldifsn 4785 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0))
2825, 26, 27mpbir2an 708 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
29 prssi 4819 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
3024, 28, 29mp2an 689 . . . . . . . 8 {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
31 ressabs 17201 . . . . . . . 8 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V ∧ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
3220, 30, 31mp2an 689 . . . . . . 7 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
3332eqcomi 2735 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1})
34 cnfldbas 21240 . . . . . . . 8 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
35 cnfld0 21277 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
36 cndrng 21283 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ DivRing
3734, 35, 36drngui 20591 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
38 eqid 2726 . . . . . . 7 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
3937, 13, 38invrfval 20289 . . . . . 6 (invrβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
4033, 39, 7subginv 19058 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1}) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4114, 18, 40sylancr 586 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4230, 18sselid 3975 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
43 eldifsn 4785 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
4442, 43sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
45 cnfldinv 21287 . . . . 5 (((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4741, 46eqtr3d 2768 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
489, 12, 473eqtr3d 2774 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
49 fvex 6897 . . . . 5 (π‘β€˜πΉ) ∈ V
5049elpr 4646 . . . 4 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} ↔ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
51 1div1e1 11905 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
52 oveq2 7412 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / 1))
53 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1)
5451, 52, 533eqtr4a 2792 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
55 divneg2 11939 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) β†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
5621, 21, 22, 55mp3an 1457 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5751negeqi 11454 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5856, 57eqtr3i 2756 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
59 oveq2 7412 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / -1))
60 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
6158, 59, 603eqtr4a 2792 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6254, 61jaoi 854 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6350, 62sylbi 216 . . 3 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6418, 63syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6548, 64eqtrd 2766 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623  {cpr 4625  β—‘ccnv 5668  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  -cneg 11446   / cdiv 11872  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  invgcminusg 18862  SubGrpcsubg 19045   GrpHom cghm 19136  SymGrpcsymg 19284  pmSgncpsgn 19407  mulGrpcmgp 20037  invrcinvr 20287  β„‚fldccnfld 21236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-gim 19182  df-oppg 19260  df-symg 19285  df-pmtr 19360  df-psgn 19409  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-cnfld 21237
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21474  evpmodpmf1o  21485  madjusmdetlem4  33340
  Copyright terms: Public domain W3C validator