Theorem psgninv 21743

Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgninv	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem psgninv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21742	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
8	5, 6, 7	ghminv 19299	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
9	4, 8	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
10	1, 5, 6	symginv 19478	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
12	11	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (𝑁‘◡𝐹))
13		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21738	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15	3	cnmsgnbas 21739	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	5, 15	ghmf 19296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
17	4, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
18	17	ffvelcdmda 7079	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
19		cnex 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
20	19	difexi 5300	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
23		eldifsn 4752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
24	21, 22, 23	mpbir2an 723	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25		neg1cn 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		neg1ne0 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≠ 0
27		eldifsn 4752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
28	25, 26, 27	mpbir2an 723	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29		prssi 4786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
30	24, 28, 29	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31		ressabs 17314	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
32	20, 30, 31	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
33	32	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34		cnfldbas 21537	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
35		cnfld0 21557	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
36		cndrng 21562	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
37	34, 35, 36	drngui 20844	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
39	37, 13, 38	invrfval 20478	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
40	33, 39, 7	subginv 19205	. . . . 5 ⊢ (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
41	14, 18, 40	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
42	30, 18	sselid 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		eldifsn 4752	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
44	42, 43	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
45		cnfldinv 21564	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
46	44, 45	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
47	41, 46	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
48	9, 12, 47	3eqtr3d 2805	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
49		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
50	49	elpr 4613	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
51		1div1e1 11911	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
52		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / 1))
53		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) = 1)
54	51, 52, 53	3eqtr4a 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
55		divneg2 11945	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
56	21, 21, 22, 55	mp3an 1489	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
57	51	negeqi 11456	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
58	56, 57	eqtr3i 2787	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
59		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / -1))
60		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (𝑁‘𝐹) = -1)
61	58, 59, 60	3eqtr4a 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
62	54, 61	jaoi 870	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
63	50, 62	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
64	18, 63	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
65	48, 64	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4588  {cpr 4590  ^◡ccnv 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  -cneg 11448   / cdiv 11877  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  inv_gcminusg 19007  SubGrpcsubg 19192   GrpHom cghm 19289  SymGrpcsymg 19445  pmSgncpsgn 19565  mulGrpcmgp 20222  inv_rcinvr 20476  ℂ_fldccnfld 21533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-word 14558  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14641  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-splice 14794  df-reverse 14803  df-s2 14892  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-efmnd 18934  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-gim 19335  df-oppg 19422  df-symg 19446  df-pmtr 19518  df-psgn 19567  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-drng 20840  df-cnfld 21534

This theorem is used by:  zrhpsgninv  21746  evpmodpmf1o  21757  madjusmdetlem4  34229