MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgninv 21009
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
psgninv.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
3 eqid 2733 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 21008 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
6 eqid 2733 . . . . 5 (invgβ€˜π‘†) = (invgβ€˜π‘†)
7 eqid 2733 . . . . 5 (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 19023 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
94, 8sylan 581 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
101, 5, 6symginv 19192 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑃 β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1110adantl 483 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1211fveq2d 6850 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = (π‘β€˜β—‘πΉ))
13 eqid 2733 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
1413cnmsgnsubg 21004 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
153cnmsgnbas 21005 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
165, 15ghmf 19020 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
1817ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1})
19 cnex 11140 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
2019difexi 5289 . . . . . . . 8 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
21 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
22 ax-1ne0 11128 . . . . . . . . . 10 1 β‰  0
23 eldifsn 4751 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0))
2421, 22, 23mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
25 neg1cn 12275 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
26 neg1ne0 12277 . . . . . . . . . 10 -1 β‰  0
27 eldifsn 4751 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0))
2825, 26, 27mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
29 prssi 4785 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
3024, 28, 29mp2an 691 . . . . . . . 8 {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
31 ressabs 17138 . . . . . . . 8 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V ∧ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
3220, 30, 31mp2an 691 . . . . . . 7 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
3332eqcomi 2742 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1})
34 cnfldbas 20823 . . . . . . . 8 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
35 cnfld0 20844 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
36 cndrng 20849 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ DivRing
3734, 35, 36drngui 20225 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
38 eqid 2733 . . . . . . 7 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
3937, 13, 38invrfval 20110 . . . . . 6 (invrβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
4033, 39, 7subginv 18943 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1}) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4114, 18, 40sylancr 588 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4230, 18sselid 3946 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
43 eldifsn 4751 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
4442, 43sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
45 cnfldinv 20851 . . . . 5 (((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4741, 46eqtr3d 2775 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
489, 12, 473eqtr3d 2781 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
49 fvex 6859 . . . . 5 (π‘β€˜πΉ) ∈ V
5049elpr 4613 . . . 4 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} ↔ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
51 1div1e1 11853 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
52 oveq2 7369 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / 1))
53 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1)
5451, 52, 533eqtr4a 2799 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
55 divneg2 11887 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) β†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
5621, 21, 22, 55mp3an 1462 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5751negeqi 11402 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5856, 57eqtr3i 2763 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
59 oveq2 7369 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / -1))
60 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
6158, 59, 603eqtr4a 2799 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6254, 61jaoi 856 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6350, 62sylbi 216 . . 3 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6418, 63syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6548, 64eqtrd 2773 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590  {cpr 4592  β—‘ccnv 5636  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060  -cneg 11394   / cdiv 11820  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  invgcminusg 18757  SubGrpcsubg 18930   GrpHom cghm 19013  SymGrpcsymg 19156  pmSgncpsgn 19279  mulGrpcmgp 19904  invrcinvr 20108  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21012  evpmodpmf1o  21023  madjusmdetlem4  32475
  Copyright terms: Public domain W3C validator