Theorem psgninv 21697

Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgninv	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem psgninv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21696	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
7		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
8	5, 6, 7	ghminv 19289	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
9	4, 8	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
10	1, 5, 6	symginv 19468	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
12	11	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (𝑁‘◡𝐹))
13		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21692	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15	3	cnmsgnbas 21693	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	5, 15	ghmf 19286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
17	4, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
18	17	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
19		cnex 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
20	19	difexi 5298	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21		ax-1cn 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
23		eldifsn 4755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
24	21, 22, 23	mpbir2an 723	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25		neg1cn 12199	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		neg1ne0 12201	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≠ 0
27		eldifsn 4755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
28	25, 26, 27	mpbir2an 723	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29		prssi 4788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
30	24, 28, 29	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31		ressabs 17304	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
32	20, 30, 31	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
33	32	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34		cnfldbas 21491	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
35		cnfld0 21511	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
36		cndrng 21516	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
37	34, 35, 36	drngui 20815	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
39	37, 13, 38	invrfval 20467	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
40	33, 39, 7	subginv 19195	. . . . 5 ⊢ (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
41	14, 18, 40	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
42	30, 18	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		eldifsn 4755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
44	42, 43	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
45		cnfldinv 21518	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
46	44, 45	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
47	41, 46	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
48	9, 12, 47	3eqtr3d 2812	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
49		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
50	49	elpr 4616	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
51		1div1e1 11901	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
52		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / 1))
53		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) = 1)
54	51, 52, 53	3eqtr4a 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
55		divneg2 11935	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
56	21, 21, 22, 55	mp3an 1487	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
57	51	negeqi 11446	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
58	56, 57	eqtr3i 2794	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
59		oveq2 7416	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / -1))
60		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (𝑁‘𝐹) = -1)
61	58, 59, 60	3eqtr4a 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
62	54, 61	jaoi 870	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
63	50, 62	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
64	18, 63	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
65	48, 64	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591  {cpr 4593  ^◡ccnv 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097  -cneg 11438   / cdiv 11867  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  inv_gcminusg 18997  SubGrpcsubg 19182   GrpHom cghm 19279  SymGrpcsymg 19435  pmSgncpsgn 19555  mulGrpcmgp 20212  inv_rcinvr 20465  ℂ_fldccnfld 21487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-efmnd 18924  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-oppg 19412  df-symg 19436  df-pmtr 19508  df-psgn 19557  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20811  df-cnfld 21488

This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21700  evpmodpmf1o  21711  madjusmdetlem4  34161