MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgninv 21519
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
psgninv.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))
Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
3 eqid 2727 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 21518 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
6 eqid 2727 . . . . 5 (invgβ€˜π‘†) = (invgβ€˜π‘†)
7 eqid 2727 . . . . 5 (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 19182 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
94, 8sylan 578 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
101, 5, 6symginv 19362 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑃 β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1110adantl 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1211fveq2d 6904 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = (π‘β€˜β—‘πΉ))
13 eqid 2727 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
1413cnmsgnsubg 21514 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
153cnmsgnbas 21515 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
165, 15ghmf 19179 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
1817ffvelcdmda 7097 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1})
19 cnex 11225 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
2019difexi 5332 . . . . . . . 8 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
21 ax-1cn 11202 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
22 ax-1ne0 11213 . . . . . . . . . 10 1 β‰  0
23 eldifsn 4793 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0))
2421, 22, 23mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
25 neg1cn 12362 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
26 neg1ne0 12364 . . . . . . . . . 10 -1 β‰  0
27 eldifsn 4793 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0))
2825, 26, 27mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
29 prssi 4827 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
3024, 28, 29mp2an 690 . . . . . . . 8 {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
31 ressabs 17235 . . . . . . . 8 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V ∧ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
3220, 30, 31mp2an 690 . . . . . . 7 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
3332eqcomi 2736 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1})
34 cnfldbas 21288 . . . . . . . 8 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
35 cnfld0 21325 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
36 cndrng 21331 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ DivRing
3734, 35, 36drngui 20635 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
38 eqid 2727 . . . . . . 7 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
3937, 13, 38invrfval 20333 . . . . . 6 (invrβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
4033, 39, 7subginv 19093 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1}) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4114, 18, 40sylancr 585 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4230, 18sselid 3978 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
43 eldifsn 4793 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
4442, 43sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
45 cnfldinv 21335 . . . . 5 (((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4741, 46eqtr3d 2769 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
489, 12, 473eqtr3d 2775 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
49 fvex 6913 . . . . 5 (π‘β€˜πΉ) ∈ V
5049elpr 4654 . . . 4 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} ↔ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
51 1div1e1 11940 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
52 oveq2 7432 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / 1))
53 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1)
5451, 52, 533eqtr4a 2793 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
55 divneg2 11974 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) β†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
5621, 21, 22, 55mp3an 1457 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5751negeqi 11489 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5856, 57eqtr3i 2757 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
59 oveq2 7432 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / -1))
60 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
6158, 59, 603eqtr4a 2793 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6254, 61jaoi 855 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6350, 62sylbi 216 . . 3 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6418, 63syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6548, 64eqtrd 2767 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4630  {cpr 4632  β—‘ccnv 5679  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  β„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145  -cneg 11481   / cdiv 11907  Basecbs 17185   β†Ύs cress 17214  invgcminusg 18896  SubGrpcsubg 19080   GrpHom cghm 19172  SymGrpcsymg 19326  pmSgncpsgn 19449  mulGrpcmgp 20079  invrcinvr 20331  β„‚fldccnfld 21284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-word 14503  df-lsw 14551  df-concat 14559  df-s1 14584  df-substr 14629  df-pfx 14659  df-splice 14738  df-reverse 14747  df-s2 14837  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-efmnd 18826  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-gim 19218  df-oppg 19302  df-symg 19327  df-pmtr 19402  df-psgn 19451  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-drng 20631  df-cnfld 21285
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21522  evpmodpmf1o  21533  madjusmdetlem4  33436
  Copyright terms: Public domain W3C validator