MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgninv 21600
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2737 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 21599 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2737 . . . . 5 (invg𝑆) = (invg𝑆)
7 eqid 2737 . . . . 5 (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 19241 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
94, 8sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
101, 5, 6symginv 19420 . . . . 5 (𝐹𝑃 → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1211fveq2d 6910 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = (𝑁𝐹))
13 eqid 2737 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1413cnmsgnsubg 21595 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
153cnmsgnbas 21596 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
165, 15ghmf 19238 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
1817ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ {1, -1})
19 cnex 11236 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
2019difexi 5330 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
22 ax-1ne0 11224 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
23 eldifsn 4786 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
2421, 22, 23mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25 neg1cn 12380 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
26 neg1ne0 12382 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
27 eldifsn 4786 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
2825, 26, 27mpbir2an 711 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29 prssi 4821 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
3024, 28, 29mp2an 692 . . . . . . . 8 {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31 ressabs 17294 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
3220, 30, 31mp2an 692 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
3332eqcomi 2746 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34 cnfldbas 21368 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
35 cnfld0 21405 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
36 cndrng 21411 . . . . . . . 8 fld ∈ DivRing
3734, 35, 36drngui 20735 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38 eqid 2737 . . . . . . 7 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
3937, 13, 38invrfval 20389 . . . . . 6 (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4033, 39, 7subginv 19151 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4114, 18, 40sylancr 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4230, 18sselid 3981 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43 eldifsn 4786 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
4442, 43sylib 218 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
45 cnfldinv 21415 . . . . 5 (((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4741, 46eqtr3d 2779 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
489, 12, 473eqtr3d 2785 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (1 / (𝑁𝐹)))
49 fvex 6919 . . . . 5 (𝑁𝐹) ∈ V
5049elpr 4650 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
51 1div1e1 11958 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
52 oveq2 7439 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / 1))
53 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (𝑁𝐹) = 1)
5451, 52, 533eqtr4a 2803 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
55 divneg2 11991 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
5621, 21, 22, 55mp3an 1463 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5751negeqi 11501 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5856, 57eqtr3i 2767 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
59 oveq2 7439 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / -1))
60 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (𝑁𝐹) = -1)
6158, 59, 603eqtr4a 2803 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6254, 61jaoi 858 . . . 4 (((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6350, 62sylbi 217 . . 3 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6418, 63syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6548, 64eqtrd 2777 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ccnv 5684  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493   / cdiv 11920  Basecbs 17247  s cress 17274  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138   GrpHom cghm 19230  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  mulGrpcmgp 20137  invrcinvr 20387  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21603  evpmodpmf1o  21614  madjusmdetlem4  33829
  Copyright terms: Public domain W3C validator