Theorem psgninv 21600

Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgninv	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem psgninv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21599	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
8	5, 6, 7	ghminv 19241	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
9	4, 8	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
10	1, 5, 6	symginv 19420	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
12	11	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (𝑁‘◡𝐹))
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21595	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15	3	cnmsgnbas 21596	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	5, 15	ghmf 19238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
18	17	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
19		cnex 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
20	19	difexi 5330	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
23		eldifsn 4786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
24	21, 22, 23	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25		neg1cn 12380	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		neg1ne0 12382	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≠ 0
27		eldifsn 4786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
28	25, 26, 27	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29		prssi 4821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
30	24, 28, 29	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31		ressabs 17294	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
32	20, 30, 31	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
33	32	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34		cnfldbas 21368	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
35		cnfld0 21405	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
36		cndrng 21411	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
37	34, 35, 36	drngui 20735	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
39	37, 13, 38	invrfval 20389	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
40	33, 39, 7	subginv 19151	. . . . 5 ⊢ (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
41	14, 18, 40	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
42	30, 18	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		eldifsn 4786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
44	42, 43	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
45		cnfldinv 21415	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
47	41, 46	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
48	9, 12, 47	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
49		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
50	49	elpr 4650	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
51		1div1e1 11958	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
52		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / 1))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) = 1)
54	51, 52, 53	3eqtr4a 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
55		divneg2 11991	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
56	21, 21, 22, 55	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
57	51	negeqi 11501	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
58	56, 57	eqtr3i 2767	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
59		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / -1))
60		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (𝑁‘𝐹) = -1)
61	58, 59, 60	3eqtr4a 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
62	54, 61	jaoi 858	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
63	50, 62	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
64	18, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
65	48, 64	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  ^◡ccnv 5684  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493   / cdiv 11920  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138   GrpHom cghm 19230  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  mulGrpcmgp 20137  inv_rcinvr 20387  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21603  evpmodpmf1o  21614  madjusmdetlem4  33829