MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgninv 21134
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
psgninv.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))
Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
3 eqid 2732 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 21133 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
6 eqid 2732 . . . . 5 (invgβ€˜π‘†) = (invgβ€˜π‘†)
7 eqid 2732 . . . . 5 (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 19098 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
94, 8sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
101, 5, 6symginv 19269 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑃 β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1110adantl 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ) = ◑𝐹)
1211fveq2d 6895 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜((invgβ€˜π‘†)β€˜πΉ)) = (π‘β€˜β—‘πΉ))
13 eqid 2732 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))
1413cnmsgnsubg 21129 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
153cnmsgnbas 21130 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
165, 15ghmf 19095 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
1817ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1})
19 cnex 11190 . . . . . . . . 9 β„‚ ∈ V
2019difexi 5328 . . . . . . . 8 (β„‚ βˆ– {0}) ∈ V
21 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
22 ax-1ne0 11178 . . . . . . . . . 10 1 β‰  0
23 eldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0))
2421, 22, 23mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
25 neg1cn 12325 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ β„‚
26 neg1ne0 12327 . . . . . . . . . 10 -1 β‰  0
27 eldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (-1 ∈ β„‚ ∧ -1 β‰  0))
2825, 26, 27mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})
29 prssi 4824 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ∧ -1 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
3024, 28, 29mp2an 690 . . . . . . . 8 {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
31 ressabs 17193 . . . . . . . 8 (((β„‚ βˆ– {0}) ∈ V ∧ {1, -1} βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
3220, 30, 31mp2an 690 . . . . . . 7 (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
3332eqcomi 2741 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})) β†Ύs {1, -1})
34 cnfldbas 20947 . . . . . . . 8 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
35 cnfld0 20968 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
36 cndrng 20973 . . . . . . . 8 β„‚fld ∈ DivRing
3734, 35, 36drngui 20362 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– {0}) = (Unitβ€˜β„‚fld)
38 eqid 2732 . . . . . . 7 (invrβ€˜β„‚fld) = (invrβ€˜β„‚fld)
3937, 13, 38invrfval 20202 . . . . . 6 (invrβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0})))
4033, 39, 7subginv 19012 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrpβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs (β„‚ βˆ– {0}))) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1}) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4114, 18, 40sylancr 587 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)))
4230, 18sselid 3980 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
43 eldifsn 4790 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
4442, 43sylib 217 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0))
45 cnfldinv 20975 . . . . 5 (((π‘β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜πΉ) β‰  0) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4644, 45syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invrβ€˜β„‚fld)β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
4741, 46eqtr3d 2774 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((invgβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))β€˜(π‘β€˜πΉ)) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
489, 12, 473eqtr3d 2780 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (1 / (π‘β€˜πΉ)))
49 fvex 6904 . . . . 5 (π‘β€˜πΉ) ∈ V
5049elpr 4651 . . . 4 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} ↔ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
51 1div1e1 11903 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
52 oveq2 7416 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / 1))
53 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = 1)
5451, 52, 533eqtr4a 2798 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
55 divneg2 11937 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) β†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
5621, 21, 22, 55mp3an 1461 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5751negeqi 11452 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5856, 57eqtr3i 2762 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
59 oveq2 7416 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (1 / -1))
60 id 22 . . . . . 6 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
6158, 59, 603eqtr4a 2798 . . . . 5 ((π‘β€˜πΉ) = -1 β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6254, 61jaoi 855 . . . 4 (((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6350, 62sylbi 216 . . 3 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6418, 63syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (1 / (π‘β€˜πΉ)) = (π‘β€˜πΉ))
6548, 64eqtrd 2772 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜β—‘πΉ) = (π‘β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  β—‘ccnv 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  -cneg 11444   / cdiv 11870  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  invgcminusg 18819  SubGrpcsubg 18999   GrpHom cghm 19088  SymGrpcsymg 19233  pmSgncpsgn 19356  mulGrpcmgp 19986  invrcinvr 20200  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21137  evpmodpmf1o  21148  madjusmdetlem4  32805
  Copyright terms: Public domain W3C validator