Theorem psgninv 21507

Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgninv.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psgninv	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Proof of Theorem psgninv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2		psgninv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21506	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		psgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑆) = (invg‘𝑆)
7		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
8	5, 6, 7	ghminv 19120	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
9	4, 8	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
10	1, 5, 6	symginv 19299	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘𝑆)‘𝐹) = ◡𝐹)
12	11	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘((invg‘𝑆)‘𝐹)) = (𝑁‘◡𝐹))
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21502	. . . . 5 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15	3	cnmsgnbas 21503	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
16	5, 15	ghmf 19117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
17	4, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
18	17	ffvelcdmda 7022	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
19		cnex 11109	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ V
20	19	difexi 5272	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ V
21		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		ax-1ne0 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
23		eldifsn 4740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
24	21, 22, 23	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
25		neg1cn 12131	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		neg1ne0 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≠ 0
27		eldifsn 4740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
28	25, 26, 27	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
29		prssi 4775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
30	24, 28, 29	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
31		ressabs 17177	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
32	20, 30, 31	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
33	32	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
34		cnfldbas 21283	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
35		cnfld0 21317	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
36		cndrng 21323	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
37	34, 35, 36	drngui 20638	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
38		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
39	37, 13, 38	invrfval 20292	. . . . . 6 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
40	33, 39, 7	subginv 19030	. . . . 5 ⊢ (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
41	14, 18, 40	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)))
42	30, 18	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		eldifsn 4740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
44	42, 43	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0))
45		cnfldinv 21327	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁‘𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
47	41, 46	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁‘𝐹)) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
48	9, 12, 47	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (1 / (𝑁‘𝐹)))
49		fvex 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
50	49	elpr 4604	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
51		1div1e1 11833	. . . . . 6 ⊢ (1 / 1) = 1
52		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / 1))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝑁‘𝐹) = 1)
54	51, 52, 53	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
55		divneg2 11866	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
56	21, 21, 22, 55	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
57	51	negeqi 11374	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 1) = -1
58	56, 57	eqtr3i 2754	. . . . . 6 ⊢ (1 / -1) = -1
59		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (1 / -1))
60		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (𝑁‘𝐹) = -1)
61	58, 59, 60	3eqtr4a 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = -1 → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
62	54, 61	jaoi 857	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
63	50, 62	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
64	18, 63	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (1 / (𝑁‘𝐹)) = (𝑁‘𝐹))
65	48, 64	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑁‘◡𝐹) = (𝑁‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581  ^◡ccnv 5622  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029  -cneg 11366   / cdiv 11795  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  inv_gcminusg 18831  SubGrpcsubg 19017   GrpHom cghm 19109  SymGrpcsymg 19266  pmSgncpsgn 19386  mulGrpcmgp 20043  inv_rcinvr 20290  ℂ_fldccnfld 21279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14773  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-oppg 19243  df-symg 19267  df-pmtr 19339  df-psgn 19388  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-drng 20634  df-cnfld 21280

This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  21510  evpmodpmf1o  21521  madjusmdetlem4  33799