lgseisenlem1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgseisenlem1		Structured version Visualization version GIF version

Theorem lgseisenlem1 26523

Description: Lemma for lgseisen 26527. If 𝑅(𝑢) = (𝑄 · 𝑢) mod 𝑃 and 𝑀(𝑢) = (-1↑𝑅(𝑢)) · 𝑅(𝑢), then for any even 1 ≤ 𝑢 ≤ 𝑃 − 1, 𝑀(𝑢) is also an even integer 1 ≤ 𝑀(𝑢) ≤ 𝑃 − 1. To simplify these statements, we divide all the even numbers by 2, so that it becomes the statement that 𝑀(𝑥 / 2) = (-1↑𝑅(𝑥 / 2)) · 𝑅(𝑥 / 2) / 2 is an integer between 1 and (𝑃 − 1) / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
lgseisen.4	⊢ 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))

**Assertion**
Ref	Expression
lgseisenlem1	⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑃 𝜑,𝑥 𝑥,𝑄 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥) 𝑀(𝑥)

**Proof of Theorem lgseisenlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 12351	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈ ℤ)
2		lgseisen.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4		oddprm 16511	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
7		neg1cn 12087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
9		neg1ne0 12089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
11		2z 12352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
13		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 / 2) ∈ ℤ)
14		expmulz 13829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)))
15	8, 10, 12, 13, 14	syl22anc 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)))
16		lgseisen.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
17		lgseisen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
19	18	eldifad 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
20		prmz 16380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
22		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℤ)
24		zmulcl 12369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
25	11, 23, 24	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
26	21, 25	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
27	3	eldifad 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
28		prmnn 16379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
30		zmodfz 13613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
31	26, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
32	16, 31	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
33		elfznn0 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ₀)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ₀)
35	34	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
38		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
39		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
41	37, 38, 40	divcan2d 11753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑅 / 2)) = 𝑅)
42	41	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = (-1↑𝑅))
43		neg1sqe1 13913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1↑2) = 1
44	43	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)) = (1↑(𝑅 / 2))
45		1exp 13812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 / 2) ∈ ℤ → (1↑(𝑅 / 2)) = 1)
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1↑(𝑅 / 2)) = 1)
47	44, 46	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)) = 1)
48	15, 42, 47	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = 1)
49	48	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
50	37	mulid2d 10993	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
51	49, 50	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = 𝑅)
52	51	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
53	34	nn0red 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
54	29	nnrpd 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
55	34	nn0ge0d 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ 𝑅)
56	26	zred 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
57		modlt 13600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃)
58	56, 54, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃)
59	16, 58	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 < 𝑃)
60		modid 13616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑃)) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
61	53, 54, 55, 59, 60	syl22anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
62	61	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
63	52, 62	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 𝑅)
64	63	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (𝑅 / 2))
65	64, 13	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
66	29	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ)
67	66	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
68	67	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (-𝑅 + 𝑃))
69	53	renegcld 11402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℝ)
70	69	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℂ)
71	66, 70	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (-𝑅 + 𝑃))
72	66, 36	negsubd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (𝑃 − 𝑅))
73	68, 71, 72	3eqtr2d 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (𝑃 − 𝑅))
74	73	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃))
75		modcyc 13626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
76	69, 54, 1, 75	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
77	29	nnred 11988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
78	77, 53	resubcld 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ)
79	53, 77, 59	ltled 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ≤ 𝑃)
80	77, 53	subge0d 11565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (0 ≤ (𝑃 − 𝑅) ↔ 𝑅 ≤ 𝑃))
81	79, 80	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑃 − 𝑅))
82		2nn 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ
83		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
85		nnmulcl 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
86	82, 84, 85	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
87		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
89	84	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
90		prmuz2 16401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
91		uz2m1nn 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
92	27, 90, 91	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
93	92	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
94		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℝ)
96		2pos 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < 2
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < 2)
98		lemuldiv2 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
99	89, 93, 95, 97, 98	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
100	88, 99	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
101		prmz 16380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
102	27, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
103		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
104		fznn 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
105	102, 103, 104	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
106	86, 100, 105	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
107		fzm1ndvds 16031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
108	29, 106, 107	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
109		lgseisen.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
111		prmrp 16417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
112	27, 19, 111	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
113	110, 112	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
114		coprmdvds 16358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
115	102, 21, 25, 114	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
116	113, 115	mpan2d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
117	108, 116	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)))
118		dvdsval3 15967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0))
119	29, 26, 118	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0))
120	117, 119	mtbid 324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)
121	16	eqeq1i 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 = 0 ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)
122	120, 121	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑅 = 0)
123	92	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ₀)
124		nn0uz 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
125	123, 124	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
126		elfzp12 13335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
128	32, 127	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
129	128	ord 861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
130	122, 129	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
131		1e0p1 12479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = (0 + 1)
132	131	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
133	130, 132	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
134		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ)
136	135	nnrpd 12770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
137	77, 136	ltsubrpd 12804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) < 𝑃)
138		modid 13616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) ∧ (0 ≤ (𝑃 − 𝑅) ∧ (𝑃 − 𝑅) < 𝑃)) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅))
139	78, 54, 81, 137, 138	syl22anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅))
140	74, 76, 139	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅))
141	140	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅))
142		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
144	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℕ)
145	35	peano2zd 12429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 + 1) ∈ ℤ)
146		dvdsval2 15966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑅 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
147	11, 39, 145, 146	mp3an12i 1464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
148	147	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑅 + 1))
149	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
150	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
151		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 2
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 < 2)
153		ndvdsp1 16120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1)))
154	149, 150, 152, 153	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1)))
155	148, 154	mt2d 136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑅)
156		oexpneg 16054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑅) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅))
157	143, 144, 155, 156	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅))
158		1exp 13812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (1↑𝑅) = 1)
159	149, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (1↑𝑅) = 1)
160	159	negeqd 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → -(1↑𝑅) = -1)
161	157, 160	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = -1)
162	161	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (-1 · 𝑅))
163	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
164	163	mulm1d 11427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
165	162, 164	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = -𝑅)
166	165	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
167	66	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
168	167, 163, 143	pnpcan2d 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) = (𝑃 − 𝑅))
169	141, 166, 168	3eqtr4d 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)))
170	169	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2))
171		peano2cn 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 + 1) ∈ ℂ)
172	167, 171	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) ∈ ℂ)
173		peano2cn 11147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
174	163, 173	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
175		2cnd 12051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
176	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
177	172, 174, 175, 176	divsubdird 11790	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)))
178	170, 177	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)))
179	167, 143, 175	subadd23d 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) + 2) = (𝑃 + (2 − 1)))
180		2m1e1 12099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
181	180	oveq2i 7286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 + (2 − 1)) = (𝑃 + 1)
182	179, 181	eqtr2di 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) = ((𝑃 − 1) + 2))
183	182	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) + 2) / 2))
184	92	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
185	184	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
186	185, 175, 175, 176	divdird 11789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)))
187		2div2e1 12114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 2) = 1
188	187	oveq2i 7286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1)
189	186, 188	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1))
190	183, 189	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1))
191	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
192	191	peano2zd 12429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) + 1) ∈ ℤ)
193	190, 192	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℤ)
194		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ)
195	193, 194	zsubcld 12431	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
196	178, 195	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
197		zeo 12406	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
198	35, 197	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
199	65, 196, 198	mpjaodan 956	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
200		m1expcl 13805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
201	35, 200	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
202	201, 35	zmulcld 12432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
203	202, 29	zmodcld 13612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ₀)
204	203	nn0red 12294	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ)
205		fzm1ndvds 16031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅)
206	29, 133, 205	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅)
207		ax-1ne0 10940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ≠ 0
208		divneg2 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
209	142, 142, 207, 208	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
210		1div1e1 11665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 1) = 1
211	210	negeqi 11214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(1 / 1) = -1
212	209, 211	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 / -1) = -1
213	212	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / -1)↑𝑅) = (-1↑𝑅)
214	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈ ℂ)
215	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠ 0)
216	214, 215, 35	exprecd 13872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((1 / -1)↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
217	213, 216	eqtr3id 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
218	217	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))))
219	201	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
220	214, 215, 35	expne0d 13870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ≠ 0)
221	219, 220	recidd 11746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1)
222	218, 221	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1)
223	222	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
224	219, 219, 36	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))
225	36	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
226	223, 224, 225	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) = 𝑅)
227	226	breq2d 5086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) ↔ 𝑃 ∥ 𝑅))
228	206, 227	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))
229		dvdsmultr2 16007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (-1↑𝑅) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))))
230	102, 201, 202, 229	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))))
231	228, 230	mtod 197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅))
232		dvdsval3 15967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
233	29, 202, 232	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
234	231, 233	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)
235		elnn0 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ₀ ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
236	203, 235	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
237	236	ord 861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
238	234, 237	mt3d 148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ)
239	238	nngt0d 12022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
240	204, 95, 239, 97	divgt0d 11910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
241		elnnz 12329	. . . . 5 ⊢ (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ ↔ (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
242	199, 240, 241	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ)
243	242	nnge1d 12021	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ≤ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
244		zmodfz 13613	. . . . . 6 ⊢ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
245	202, 29, 244	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
246		elfzle2 13260	. . . . 5 ⊢ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1))
247	245, 246	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1))
248		lediv1 11840	. . . . 5 ⊢ (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
249	204, 93, 95, 97, 248	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
250	247, 249	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
251	1, 6, 199, 243, 250	elfzd 13247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
252		lgseisen.5	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
253	251, 252	fmptd 6988	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 844 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∖ cdif 3884 {csn 4561 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 ⟶wf 6429 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 -cneg 11206 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ℝ⁺crp 12730 ...cfz 13239 mod cmo 13589 ↑cexp 13782 ∥ cdvds 15963 gcd cgcd 16201 ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-fz 13240 df-fl 13512 df-mod 13590 df-seq 13722 df-exp 13783 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-dvds 15964 df-gcd 16202 df-prm 16377

This theorem is referenced by: lgseisenlem2 26524 lgseisenlem3 26525

W3C validator