MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem1 27111
Description: Lemma for lgseisen 27115. If ๐‘…(๐‘ข) = (๐‘„ ยท ๐‘ข) mod ๐‘ƒ and ๐‘€(๐‘ข) = (-1โ†‘๐‘…(๐‘ข)) ยท ๐‘…(๐‘ข), then for any even 1 โ‰ค ๐‘ข โ‰ค ๐‘ƒ โˆ’ 1, ๐‘€(๐‘ข) is also an even integer 1 โ‰ค ๐‘€(๐‘ข) โ‰ค ๐‘ƒ โˆ’ 1. To simplify these statements, we divide all the even numbers by 2, so that it becomes the statement that ๐‘€(๐‘ฅ / 2) = (-1โ†‘๐‘…(๐‘ฅ / 2)) ยท ๐‘…(๐‘ฅ / 2) / 2 is an integer between 1 and (๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
lgseisen.4 ๐‘… = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)
lgseisen.5 ๐‘€ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘„
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lgseisenlem1
StepHypRef Expression
1 1zzd 12598 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
2 lgseisen.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
32adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
4 oddprm 16748 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
53, 4syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
65nnzd 12590 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
7 neg1cn 12331 . . . . . . . . . . . . 13 -1 โˆˆ โ„‚
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
9 neg1ne0 12333 . . . . . . . . . . . . 13 -1 โ‰  0
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ -1 โ‰  0)
11 2z 12599 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„ค
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค)
14 expmulz 14079 . . . . . . . . . . . 12 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (๐‘… / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)))
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (๐‘… / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)))
16 lgseisen.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘… = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)
17 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
1918eldifad 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
20 prmz 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
22 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
24 zmulcl 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
2511, 23, 24sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
2621, 25zmulcld 12677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
273eldifad 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
28 prmnn 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
30 zmodfz 13863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3126, 29, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3216, 31eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
33 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
3534nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
38 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
39 2ne0 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
4137, 38, 40divcan2d 11997 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘… / 2)) = ๐‘…)
4241oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (๐‘… / 2))) = (-1โ†‘๐‘…))
43 neg1sqe1 14165 . . . . . . . . . . . . 13 (-1โ†‘2) = 1
4443oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)) = (1โ†‘(๐‘… / 2))
45 1exp 14062 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(๐‘… / 2)) = 1)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1โ†‘(๐‘… / 2)) = 1)
4744, 46eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)) = 1)
4815, 42, 473eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = 1)
4948oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = (1 ยท ๐‘…))
5037mullidd 11237 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 ยท ๐‘…) = ๐‘…)
5149, 50eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = ๐‘…)
5251oveq1d 7427 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ))
5334nn0red 12538 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
5429nnrpd 13019 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
5534nn0ge0d 12540 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘…)
5626zred 12671 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
57 modlt 13850 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) < ๐‘ƒ)
5856, 54, 57syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) < ๐‘ƒ)
5916, 58eqbrtrid 5184 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… < ๐‘ƒ)
60 modid 13866 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6153, 54, 55, 59, 60syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6261adantr 480 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6352, 62eqtrd 2771 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6463oveq1d 7427 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) = (๐‘… / 2))
6564, 13eqeltrd 2832 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค)
6629nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
6766mullidd 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
6867oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) = (-๐‘… + ๐‘ƒ))
6953renegcld 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -๐‘… โˆˆ โ„)
7069recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -๐‘… โˆˆ โ„‚)
7166, 70addcomd 11421 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ + -๐‘…) = (-๐‘… + ๐‘ƒ))
7266, 36negsubd 11582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ + -๐‘…) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
7368, 71, 723eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
7473oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) mod ๐‘ƒ))
75 modcyc 13876 . . . . . . . . . . 11 ((-๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (-๐‘… mod ๐‘ƒ))
7669, 54, 1, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (-๐‘… mod ๐‘ƒ))
7729nnred 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
7877, 53resubcld 11647 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
7953, 77, 59ltled 11367 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐‘ƒ)
8077, 53subge0d 11809 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โ†” ๐‘… โ‰ค ๐‘ƒ))
8179, 80mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
82 2nn 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โˆˆ โ„•
83 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
85 nnmulcl 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
8682, 84, 85sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
87 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
8984nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
90 prmuz2 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
91 uz2m1nn 12912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
9227, 90, 913syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
9392nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
94 2re 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 โˆˆ โ„
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
96 2pos 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 2
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 < 2)
98 lemuldiv2 12100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
9989, 93, 95, 97, 98syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
10088, 99mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
101 prmz 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
10227, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
103 peano2zm 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
104 fznn 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
10686, 100, 105mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
107 fzm1ndvds 16270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ))
10829, 106, 107syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ))
109 lgseisen.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
111 prmrp 16654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1 โ†” ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„))
11227, 19, 111syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1 โ†” ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„))
113110, 112mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)
114 coprmdvds 16595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ)))
115102, 21, 25, 114syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ)))
116113, 115mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ)))
117108, 116mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))
118 dvdsval3 16206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0))
11929, 26, 118syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0))
120117, 119mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0)
12116eqeq1i 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘… = 0 โ†” ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0)
122120, 121sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘… = 0)
12392nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
124 nn0uz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
125123, 124eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
126 elfzp12 13585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
12832, 127mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
129128ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (ยฌ ๐‘… = 0 โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
130122, 129mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
131 1e0p1 12724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
132131oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) = ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))
133130, 132eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
134 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
136135nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
13777, 136ltsubrpd 13053 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) < ๐‘ƒ)
138 modid 13866 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) < ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
13978, 54, 81, 137, 138syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
14074, 76, 1393eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-๐‘… mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
141140adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘… mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
142 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
144135adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
14535peano2zd 12674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„ค)
146 dvdsval2 16205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง (๐‘… + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘… + 1) โ†” ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
14711, 39, 145, 146mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘… + 1) โ†” ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
148147biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘… + 1))
14935adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
15082a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
151 1lt2 12388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 < 2)
153 ndvdsp1 16359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„• โˆง 1 < 2) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘… โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘… + 1)))
154149, 150, 152, 153syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘… โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘… + 1)))
155148, 154mt2d 136 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘…)
156 oexpneg 16293 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘…) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = -(1โ†‘๐‘…))
157143, 144, 155, 156syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = -(1โ†‘๐‘…))
158 1exp 14062 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘…) = 1)
159149, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1โ†‘๐‘…) = 1)
160159negeqd 11459 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ -(1โ†‘๐‘…) = -1)
161157, 160eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = -1)
162161oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = (-1 ยท ๐‘…))
16336adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
164163mulm1d 11671 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1 ยท ๐‘…) = -๐‘…)
165162, 164eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = -๐‘…)
166165oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (-๐‘… mod ๐‘ƒ))
16766adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
168167, 163, 143pnpcan2d 11614 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
169141, 166, 1683eqtr4d 2781 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)))
170169oveq1d 7427 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) = (((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)) / 2))
171 peano2cn 11391 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„‚)
172167, 171syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„‚)
173 peano2cn 11391 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
174163, 173syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
175 2cnd 12295 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
17639a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
177172, 174, 175, 176divsubdird 12034 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)) / 2) = (((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆ’ ((๐‘… + 1) / 2)))
178170, 177eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) = (((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆ’ ((๐‘… + 1) / 2)))
179167, 143, 175subadd23d 11598 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) = (๐‘ƒ + (2 โˆ’ 1)))
180 2m1e1 12343 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆ’ 1) = 1
181180oveq2i 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ƒ + 1)
182179, 181eqtr2di 2788 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ + 1) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2))
183182oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) / 2))
18492nncnd 12233 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
185184adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
186185, 175, 175, 176divdird 12033 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + (2 / 2)))
187 2div2e1 12358 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
188187oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + (2 / 2)) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1)
189186, 188eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1))
190183, 189eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1))
1916adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
192191peano2zd 12674 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1) โˆˆ โ„ค)
193190, 192eqeltrd 2832 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
194 simpr 484 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
195193, 194zsubcld 12676 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆ’ ((๐‘… + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
196178, 195eqeltrd 2832 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค)
197 zeo 12653 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
19835, 197syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
19965, 196, 198mpjaodan 956 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค)
200 m1expcl 14057 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„ค)
20135, 200syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„ค)
202201, 35zmulcld 12677 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
203202, 29zmodcld 13862 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
204203nn0red 12538 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
205 fzm1ndvds 16270 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…)
20629, 133, 205syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…)
207 ax-1ne0 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โ‰  0
208 divneg2 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
209142, 142, 207, 208mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = (1 / -1)
210 1div1e1 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 1) = 1
211210negeqi 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = -1
212209, 211eqtr3i 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / -1) = -1
213212oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / -1)โ†‘๐‘…) = (-1โ†‘๐‘…)
2147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
2159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -1 โ‰  0)
216214, 215, 35exprecd 14124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((1 / -1)โ†‘๐‘…) = (1 / (-1โ†‘๐‘…)))
217213, 216eqtr3id 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = (1 / (-1โ†‘๐‘…)))
218217oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) = ((-1โ†‘๐‘…) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘…))))
219201zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„‚)
220214, 215, 35expne0d 14122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โ‰  0)
221219, 220recidd 11990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘…))) = 1)
222218, 221eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) = 1)
223222oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) ยท ๐‘…) = (1 ยท ๐‘…))
224219, 219, 36mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) ยท ๐‘…) = ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)))
22536mullidd 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (1 ยท ๐‘…) = ๐‘…)
226223, 224, 2253eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)) = ๐‘…)
227226breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…))
228206, 227mtbird 324 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)))
229 dvdsmultr2 16246 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…))))
230102, 201, 202, 229syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…))))
231228, 230mtod 197 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…))
232 dvdsval3 16206 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†” (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
23329, 202, 232syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†” (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
234231, 233mtbid 323 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0)
235 elnn0 12479 . . . . . . . . . 10 ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0 โ†” ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โˆจ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
236203, 235sylib 217 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โˆจ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
237236ord 861 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (ยฌ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
238234, 237mt3d 148 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
239238nngt0d 12266 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 < (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ))
240204, 95, 239, 97divgt0d 12154 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 < ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
241 elnnz 12573 . . . . 5 (((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„• โ†” (((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2)))
242199, 240, 241sylanbrc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„•)
243242nnge1d 12265 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 1 โ‰ค ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
244 zmodfz 13863 . . . . . 6 ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
245202, 29, 244syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
246 elfzle2 13510 . . . . 5 ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
247245, 246syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
248 lediv1 12084 . . . . 5 (((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
249204, 93, 95, 97, 248syl112anc 1373 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
250247, 249mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
2511, 6, 199, 243, 250elfzd 13497 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
252 lgseisen.5 . 2 ๐‘€ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
253251, 252fmptd 7116 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   โˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979  ...cfz 13489   mod cmo 13839  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440  โ„™cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614
This theorem is referenced by:  lgseisenlem2  27112  lgseisenlem3  27113
  Copyright terms: Public domain W3C validator