Proof of Theorem lgseisenlem1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | neg1cn 11739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -1 ∈
ℂ |
2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ∈
ℂ) |
3 | | neg1ne0 11741 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -1 ≠
0 |
4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ≠
0) |
5 | | 2z 12002 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℤ |
6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℤ) |
7 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 / 2) ∈
ℤ) |
8 | | expmulz 13463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ)) →
(-1↑(2 · (𝑅 /
2))) = ((-1↑2)↑(𝑅
/ 2))) |
9 | 2, 4, 6, 7, 8 | syl22anc 834 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2
· (𝑅 / 2))) =
((-1↑2)↑(𝑅 /
2))) |
10 | | lgseisen.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) |
11 | | lgseisen.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
12 | 11 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
13 | 12 | eldifad 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ) |
14 | | prmz 16007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈
ℤ) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ) |
16 | | elfzelz 12896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ) |
17 | 16 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℤ) |
18 | | zmulcl 12019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑥
∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ) |
19 | 5, 17, 18 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈
ℤ) |
20 | 15, 19 | zmulcld 12081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) |
21 | | lgseisen.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
22 | 21 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
23 | 22 | eldifad 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ) |
24 | | prmnn 16006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ) |
26 | | zmodfz 13249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
27 | 20, 25, 26 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
28 | 10, 27 | eqeltrid 2914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
29 | | elfznn0 12988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈
ℕ0) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈
ℕ0) |
31 | 30 | nn0zd 12073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ) |
32 | 31 | zcnd 12076 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ) |
33 | 32 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℂ) |
34 | | 2cnd 11703 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℂ) |
35 | | 2ne0 11729 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ≠
0 |
36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠
0) |
37 | 33, 34, 36 | divcan2d 11406 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (2 ·
(𝑅 / 2)) = 𝑅) |
38 | 37 | oveq2d 7161 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2
· (𝑅 / 2))) =
(-1↑𝑅)) |
39 | | neg1sqe1 13547 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(-1↑2) = 1 |
40 | 39 | oveq1i 7155 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((-1↑2)↑(𝑅
/ 2)) = (1↑(𝑅 /
2)) |
41 | | 1exp 13446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 / 2) ∈ ℤ →
(1↑(𝑅 / 2)) =
1) |
42 | 41 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1↑(𝑅 / 2)) = 1) |
43 | 40, 42 | syl5eq 2865 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑2)↑(𝑅 / 2))
= 1) |
44 | 9, 38, 43 | 3eqtr3d 2861 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = 1) |
45 | 44 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
46 | 33 | mulid2d 10647 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1 ·
𝑅) = 𝑅) |
47 | 45, 46 | eqtrd 2853 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = 𝑅) |
48 | 47 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃)) |
49 | 30 | nn0red 11944 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ) |
50 | 25 | nnrpd 12417 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈
ℝ+) |
51 | 30 | nn0ge0d 11946 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ 𝑅) |
52 | 20 | zred 12075 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
53 | | modlt 13236 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
→ ((𝑄 · (2
· 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃) |
54 | 52, 50, 53 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃) |
55 | 10, 54 | eqbrtrid 5092 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 < 𝑃) |
56 | | modid 13252 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
∧ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑃)) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
57 | 49, 50, 51, 55, 56 | syl22anc 834 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
58 | 57 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
59 | 48, 58 | eqtrd 2853 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 𝑅) |
60 | 59 | oveq1d 7160 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (𝑅 / 2)) |
61 | 60, 7 | eqeltrd 2910 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
62 | 25 | nncnd 11642 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ) |
63 | 62 | mulid2d 10647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑃) = 𝑃) |
64 | 63 | oveq2d 7161 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (-𝑅 + 𝑃)) |
65 | 49 | renegcld 11055 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℝ) |
66 | 65 | recnd 10657 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℂ) |
67 | 62, 66 | addcomd 10830 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (-𝑅 + 𝑃)) |
68 | 62, 32 | negsubd 10991 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (𝑃 − 𝑅)) |
69 | 64, 67, 68 | 3eqtr2d 2859 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (𝑃 − 𝑅)) |
70 | 69 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃)) |
71 | | 1zzd 12001 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈
ℤ) |
72 | | modcyc 13262 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+
∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
73 | 65, 50, 71, 72 | syl3anc 1363 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
74 | 25 | nnred 11641 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ) |
75 | 74, 49 | resubcld 11056 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ) |
76 | 49, 74, 55 | ltled 10776 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ≤ 𝑃) |
77 | 74, 49 | subge0d 11218 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (0 ≤ (𝑃 − 𝑅) ↔ 𝑅 ≤ 𝑃)) |
78 | 76, 77 | mpbird 258 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑃 − 𝑅)) |
79 | | 2nn 11698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 2 ∈
ℕ |
80 | | elfznn 12924 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ) |
81 | 80 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ) |
82 | | nnmulcl 11649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑥
∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ) |
83 | 79, 81, 82 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈
ℕ) |
84 | | elfzle2 12899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
85 | 84 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
86 | 81 | nnred 11641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
87 | | prmuz2 16028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘2)) |
88 | | uz2m1nn 12311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑃 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ) |
89 | 23, 87, 88 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ) |
90 | 89 | nnred 11641 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ) |
91 | | 2re 11699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 2 ∈
ℝ |
92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈
ℝ) |
93 | | 2pos 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 0 <
2 |
94 | 93 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
2) |
95 | | lemuldiv2 11509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
96 | 86, 90, 92, 94, 95 | syl112anc 1366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
97 | 85, 96 | mpbird 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)) |
98 | | prmz 16007 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℤ) |
99 | 23, 98 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ) |
100 | | peano2zm 12013 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈
ℤ) |
101 | | fznn 12963 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℤ
→ ((2 · 𝑥)
∈ (1...(𝑃 − 1))
↔ ((2 · 𝑥)
∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))) |
102 | 99, 100, 101 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2
· 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))) |
103 | 83, 97, 102 | mpbir2and 709 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
104 | | fzm1ndvds 15660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2
· 𝑥) ∈
(1...(𝑃 − 1))) →
¬ 𝑃 ∥ (2 ·
𝑥)) |
105 | 25, 103, 104 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)) |
106 | | lgseisen.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄) |
107 | 106 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ≠ 𝑄) |
108 | | prmrp 16044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄)) |
109 | 23, 13, 108 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄)) |
110 | 107, 109 | mpbird 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1) |
111 | | coprmdvds 15985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2
· 𝑥) ∈ ℤ)
→ ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
112 | 99, 15, 19, 111 | syl3anc 1363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
113 | 110, 112 | mpan2d 690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
114 | 105, 113 | mtod 199 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥))) |
115 | | dvdsval3 15599 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)) |
116 | 25, 20, 115 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)) |
117 | 114, 116 | mtbid 325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0) |
118 | 10 | eqeq1i 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑅 = 0 ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0) |
119 | 117, 118 | sylnibr 330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑅 = 0) |
120 | 89 | nnnn0d 11943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈
ℕ0) |
121 | | nn0uz 12268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
122 | 120, 121 | eleqtrdi 2920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
123 | | elfzp12 12974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))) |
124 | 122, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))) |
125 | 28, 124 | mpbid 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))) |
126 | 125 | ord 858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))) |
127 | 119, 126 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))) |
128 | | 1e0p1 12128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 1 = (0 +
1) |
129 | 128 | oveq1i 7155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(1...(𝑃 − 1))
= ((0 + 1)...(𝑃 −
1)) |
130 | 127, 129 | eleqtrrdi 2921 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
131 | | elfznn 12924 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ) |
132 | 130, 131 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ) |
133 | 132 | nnrpd 12417 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈
ℝ+) |
134 | 74, 133 | ltsubrpd 12451 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) < 𝑃) |
135 | | modid 13252 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝑃 − 𝑅) ∧ (𝑃 − 𝑅) < 𝑃)) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
136 | 75, 50, 78, 134, 135 | syl22anc 834 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
137 | 70, 73, 136 | 3eqtr3d 2861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
138 | 137 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
139 | | ax-1cn 10583 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℂ |
140 | 139 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
141 | 132 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℕ) |
142 | 31 | peano2zd 12078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 + 1) ∈ ℤ) |
143 | | dvdsval2 15598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑅 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥
(𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
144 | 5, 35, 142, 143 | mp3an12i 1456 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ)) |
145 | 144 | biimpar 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∥
(𝑅 + 1)) |
146 | 31 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℤ) |
147 | 79 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℕ) |
148 | | 1lt2 11796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 1 <
2 |
149 | 148 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 <
2) |
150 | | ndvdsp1 15750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 2 ∈
ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1))) |
151 | 146, 147,
149, 150 | syl3anc 1363 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥
𝑅 → ¬ 2 ∥
(𝑅 + 1))) |
152 | 145, 151 | mt2d 138 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ 2
∥ 𝑅) |
153 | | oexpneg 15682 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝑅
∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑅) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅)) |
154 | 140, 141,
152, 153 | syl3anc 1363 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(-1↑𝑅) =
-(1↑𝑅)) |
155 | | 1exp 13446 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑅 ∈ ℤ →
(1↑𝑅) =
1) |
156 | 146, 155 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(1↑𝑅) =
1) |
157 | 156 | negeqd 10868 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
-(1↑𝑅) =
-1) |
158 | 154, 157 | eqtrd 2853 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(-1↑𝑅) =
-1) |
159 | 158 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑𝑅) · 𝑅) = (-1 · 𝑅)) |
160 | 32 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℂ) |
161 | 160 | mulm1d 11080 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1
· 𝑅) = -𝑅) |
162 | 159, 161 | eqtrd 2853 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑𝑅) · 𝑅) = -𝑅) |
163 | 162 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
164 | 62 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈
ℂ) |
165 | 164, 160,
140 | pnpcan2d 11023 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) = (𝑃 − 𝑅)) |
166 | 138, 163,
165 | 3eqtr4d 2863 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1))) |
167 | 166 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2)) |
168 | | peano2cn 10800 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 + 1) ∈
ℂ) |
169 | 164, 168 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) ∈
ℂ) |
170 | | peano2cn 10800 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 + 1) ∈
ℂ) |
171 | 160, 170 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 + 1) ∈
ℂ) |
172 | | 2cnd 11703 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℂ) |
173 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠
0) |
174 | 169, 171,
172, 173 | divsubdird 11443 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2))) |
175 | 167, 174 | eqtrd 2853 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2))) |
176 | 164, 140,
172 | subadd23d 11007 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) + 2) = (𝑃 + (2 −
1))) |
177 | | 2m1e1 11751 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (2
− 1) = 1 |
178 | 177 | oveq2i 7156 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑃 + (2 − 1)) = (𝑃 + 1) |
179 | 176, 178 | syl6req 2870 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) = ((𝑃 − 1) + 2)) |
180 | 179 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) + 2) /
2)) |
181 | 89 | nncnd 11642 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ) |
182 | 181 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈
ℂ) |
183 | 182, 172,
172, 173 | divdird 11442 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + (2 /
2))) |
184 | | 2div2e1 11766 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (2 / 2) =
1 |
185 | 184 | oveq2i 7156 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)) =
(((𝑃 − 1) / 2) +
1) |
186 | 183, 185 | syl6eq 2869 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) +
1)) |
187 | 180, 186 | eqtrd 2853 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) +
1)) |
188 | | oddprm 16135 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ ((𝑃 − 1) / 2)
∈ ℕ) |
189 | 22, 188 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℕ) |
190 | 189 | nnzd 12074 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
191 | 190 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
192 | 191 | peano2zd 12078 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) + 1) ∈
ℤ) |
193 | 187, 192 | eqeltrd 2910 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈
ℤ) |
194 | | simpr 485 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ) |
195 | 193, 194 | zsubcld 12080 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)) ∈
ℤ) |
196 | 175, 195 | eqeltrd 2910 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
197 | | zeo 12056 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑅 ∈ ℤ → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨
((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
198 | 31, 197 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨
((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
199 | 61, 196, 198 | mpjaodan 952 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
200 | | m1expcl 13440 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 ∈ ℤ →
(-1↑𝑅) ∈
ℤ) |
201 | 31, 200 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈
ℤ) |
202 | 201, 31 | zmulcld 12081 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) |
203 | 202, 25 | zmodcld 13248 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈
ℕ0) |
204 | 203 | nn0red 11944 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ) |
205 | | fzm1ndvds 15660 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) |
206 | 25, 130, 205 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) |
207 | | ax-1ne0 10594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ≠
0 |
208 | | divneg2 11352 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 /
-1)) |
209 | 139, 139,
207, 208 | mp3an 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ -(1 / 1)
= (1 / -1) |
210 | | 1div1e1 11318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (1 / 1) =
1 |
211 | 210 | negeqi 10867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ -(1 / 1)
= -1 |
212 | 209, 211 | eqtr3i 2843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (1 / -1)
= -1 |
213 | 212 | oveq1i 7155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((1 /
-1)↑𝑅) =
(-1↑𝑅) |
214 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈
ℂ) |
215 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠
0) |
216 | 214, 215,
31 | exprecd 13506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((1 /
-1)↑𝑅) = (1 /
(-1↑𝑅))) |
217 | 213, 216 | syl5eqr 2867 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅))) |
218 | 217 | oveq2d 7161 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅)))) |
219 | 201 | zcnd 12076 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈
ℂ) |
220 | 214, 215,
31 | expne0d 13504 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ≠ 0) |
221 | 219, 220 | recidd 11399 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1) |
222 | 218, 221 | eqtrd 2853 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1) |
223 | 222 | oveq1d 7160 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
224 | 219, 219,
32 | mulassd 10652 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))) |
225 | 32 | mulid2d 10647 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑅) = 𝑅) |
226 | 223, 224,
225 | 3eqtr3d 2861 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) = 𝑅) |
227 | 226 | breq2d 5069 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) ↔ 𝑃 ∥ 𝑅)) |
228 | 206, 227 | mtbird 326 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))) |
229 | | dvdsmultr2 15637 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧
(-1↑𝑅) ∈ ℤ
∧ ((-1↑𝑅) ·
𝑅) ∈ ℤ) →
(𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))) |
230 | 99, 201, 202, 229 | syl3anc 1363 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))) |
231 | 228, 230 | mtod 199 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅)) |
232 | | dvdsval3 15599 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧
((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
233 | 25, 202, 232 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
234 | 231, 233 | mtbid 325 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 0) |
235 | | elnn0 11887 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0
↔ ((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
236 | 203, 235 | sylib 219 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
237 | 236 | ord 858 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
238 | 234, 237 | mt3d 150 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ) |
239 | 238 | nngt0d 11674 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃)) |
240 | 204, 92, 239, 94 | divgt0d 11563 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
241 | | elnnz 11979 |
. . . . 5
⊢
(((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ ↔
(((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 <
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2))) |
242 | 199, 240,
241 | sylanbrc 583 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ) |
243 | 242 | nnge1d 11673 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ≤
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
244 | | zmodfz 13249 |
. . . . . 6
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) ∈ ℤ
∧ 𝑃 ∈ ℕ)
→ (((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
245 | 202, 25, 244 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
246 | | elfzle2 12899 |
. . . . 5
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1)) |
247 | 245, 246 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1)) |
248 | | lediv1 11493 |
. . . . 5
⊢
(((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
249 | 204, 90, 92, 94, 248 | syl112anc 1366 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
250 | 247, 249 | mpbid 233 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
251 | | elfz 12886 |
. . . 4
⊢
((((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 1
∈ ℤ ∧ ((𝑃
− 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (1 ≤
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))) |
252 | 199, 71, 190, 251 | syl3anc 1363 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (1 ≤
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))) |
253 | 243, 250,
252 | mpbir2and 709 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) |
254 | | lgseisen.5 |
. 2
⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
255 | 253, 254 | fmptd 6870 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) /
2))) |