Proof of Theorem lgseisenlem1
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 1zzd 12648 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈
ℤ) |
| 2 | | lgseisen.1 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
| 3 | 2 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
| 4 | | oddprm 16848 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ ((𝑃 − 1) / 2)
∈ ℕ) |
| 5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℕ) |
| 6 | 5 | nnzd 12640 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
| 7 | | neg1cn 12380 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ -1 ∈
ℂ |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ∈
ℂ) |
| 9 | | neg1ne0 12382 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ -1 ≠
0 |
| 10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ≠
0) |
| 11 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℤ) |
| 13 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 / 2) ∈
ℤ) |
| 14 | | expmulz 14149 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ)) →
(-1↑(2 · (𝑅 /
2))) = ((-1↑2)↑(𝑅
/ 2))) |
| 15 | 8, 10, 12, 13, 14 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2
· (𝑅 / 2))) =
((-1↑2)↑(𝑅 /
2))) |
| 16 | | lgseisen.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) |
| 17 | | lgseisen.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
| 19 | 18 | eldifad 3963 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ) |
| 20 | | prmz 16712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈
ℤ) |
| 21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ) |
| 22 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ) |
| 23 | 22 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℤ) |
| 24 | | zmulcl 12666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑥
∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ) |
| 25 | 11, 23, 24 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈
ℤ) |
| 26 | 21, 25 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) |
| 27 | 3 | eldifad 3963 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ) |
| 28 | | prmnn 16711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
| 29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ) |
| 30 | | zmodfz 13933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
| 31 | 26, 29, 30 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
| 32 | 16, 31 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
| 33 | | elfznn0 13660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈
ℕ0) |
| 34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈
ℕ0) |
| 35 | 34 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ) |
| 36 | 35 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 37 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℂ) |
| 38 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℂ) |
| 39 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ≠
0 |
| 40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠
0) |
| 41 | 37, 38, 40 | divcan2d 12045 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (2 ·
(𝑅 / 2)) = 𝑅) |
| 42 | 41 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2
· (𝑅 / 2))) =
(-1↑𝑅)) |
| 43 | | neg1sqe1 14235 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(-1↑2) = 1 |
| 44 | 43 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((-1↑2)↑(𝑅
/ 2)) = (1↑(𝑅 /
2)) |
| 45 | | 1exp 14132 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 / 2) ∈ ℤ →
(1↑(𝑅 / 2)) =
1) |
| 46 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1↑(𝑅 / 2)) = 1) |
| 47 | 44, 46 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑2)↑(𝑅 / 2))
= 1) |
| 48 | 15, 42, 47 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = 1) |
| 49 | 48 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
| 50 | 37 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1 ·
𝑅) = 𝑅) |
| 51 | 49, 50 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = 𝑅) |
| 52 | 51 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃)) |
| 53 | 34 | nn0red 12588 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 54 | 29 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈
ℝ+) |
| 55 | 34 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ 𝑅) |
| 56 | 26 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 57 | | modlt 13920 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
→ ((𝑄 · (2
· 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃) |
| 58 | 56, 54, 57 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃) |
| 59 | 16, 58 | eqbrtrid 5178 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 < 𝑃) |
| 60 | | modid 13936 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
∧ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑃)) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
| 61 | 53, 54, 55, 59, 60 | syl22anc 839 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
| 62 | 61 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
| 63 | 52, 62 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 𝑅) |
| 64 | 63 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (𝑅 / 2)) |
| 65 | 64, 13 | eqeltrd 2841 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
| 66 | 29 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ) |
| 67 | 66 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑃) = 𝑃) |
| 68 | 67 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (-𝑅 + 𝑃)) |
| 69 | 53 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℝ) |
| 70 | 69 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℂ) |
| 71 | 66, 70 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (-𝑅 + 𝑃)) |
| 72 | 66, 36 | negsubd 11626 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (𝑃 − 𝑅)) |
| 73 | 68, 71, 72 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (𝑃 − 𝑅)) |
| 74 | 73 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃)) |
| 75 | | modcyc 13946 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+
∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
| 76 | 69, 54, 1, 75 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
| 77 | 29 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ) |
| 78 | 77, 53 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ) |
| 79 | 53, 77, 59 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ≤ 𝑃) |
| 80 | 77, 53 | subge0d 11853 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (0 ≤ (𝑃 − 𝑅) ↔ 𝑅 ≤ 𝑃)) |
| 81 | 79, 80 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑃 − 𝑅)) |
| 82 | | 2nn 12339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 2 ∈
ℕ |
| 83 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ) |
| 84 | 83 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ) |
| 85 | | nnmulcl 12290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑥
∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ) |
| 86 | 82, 84, 85 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈
ℕ) |
| 87 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
| 88 | 87 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
| 89 | 84 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 90 | | prmuz2 16733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 91 | | uz2m1nn 12965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑃 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ) |
| 92 | 27, 90, 91 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ) |
| 93 | 92 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ) |
| 94 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 95 | 94 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈
ℝ) |
| 96 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 0 <
2 |
| 97 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
2) |
| 98 | | lemuldiv2 12149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
| 99 | 89, 93, 95, 97, 98 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
| 100 | 88, 99 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)) |
| 101 | | prmz 16712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℤ) |
| 102 | 27, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ) |
| 103 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈
ℤ) |
| 104 | | fznn 13632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℤ
→ ((2 · 𝑥)
∈ (1...(𝑃 − 1))
↔ ((2 · 𝑥)
∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))) |
| 105 | 102, 103,
104 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2
· 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))) |
| 106 | 86, 100, 105 | mpbir2and 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
| 107 | | fzm1ndvds 16359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2
· 𝑥) ∈
(1...(𝑃 − 1))) →
¬ 𝑃 ∥ (2 ·
𝑥)) |
| 108 | 29, 106, 107 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)) |
| 109 | | lgseisen.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄) |
| 110 | 109 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ≠ 𝑄) |
| 111 | | prmrp 16749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄)) |
| 112 | 27, 19, 111 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄)) |
| 113 | 110, 112 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1) |
| 114 | | coprmdvds 16690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2
· 𝑥) ∈ ℤ)
→ ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
| 115 | 102, 21, 25, 114 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
| 116 | 113, 115 | mpan2d 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
| 117 | 108, 116 | mtod 198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥))) |
| 118 | | dvdsval3 16294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)) |
| 119 | 29, 26, 118 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)) |
| 120 | 117, 119 | mtbid 324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0) |
| 121 | 16 | eqeq1i 2742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑅 = 0 ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0) |
| 122 | 120, 121 | sylnibr 329 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑅 = 0) |
| 123 | 92 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈
ℕ0) |
| 124 | | nn0uz 12920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
| 125 | 123, 124 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
| 126 | | elfzp12 13643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))) |
| 127 | 125, 126 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))) |
| 128 | 32, 127 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))) |
| 129 | 128 | ord 865 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))) |
| 130 | 122, 129 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))) |
| 131 | | 1e0p1 12775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 = (0 +
1) |
| 132 | 131 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(1...(𝑃 − 1))
= ((0 + 1)...(𝑃 −
1)) |
| 133 | 130, 132 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
| 134 | | elfznn 13593 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ) |
| 135 | 133, 134 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ) |
| 136 | 135 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈
ℝ+) |
| 137 | 77, 136 | ltsubrpd 13109 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) < 𝑃) |
| 138 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝑃 − 𝑅) ∧ (𝑃 − 𝑅) < 𝑃)) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
| 139 | 78, 54, 81, 137, 138 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
| 140 | 74, 76, 139 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
| 141 | 140 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
| 142 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 143 | 142 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
| 144 | 135 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℕ) |
| 145 | 35 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 + 1) ∈ ℤ) |
| 146 | | dvdsval2 16293 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑅 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥
(𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
| 147 | 11, 39, 145, 146 | mp3an12i 1467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ)) |
| 148 | 147 | biimpar 477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∥
(𝑅 + 1)) |
| 149 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℤ) |
| 150 | 82 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℕ) |
| 151 | | 1lt2 12437 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 <
2 |
| 152 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 <
2) |
| 153 | | ndvdsp1 16448 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 2 ∈
ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1))) |
| 154 | 149, 150,
152, 153 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥
𝑅 → ¬ 2 ∥
(𝑅 + 1))) |
| 155 | 148, 154 | mt2d 136 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ 2
∥ 𝑅) |
| 156 | | oexpneg 16382 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝑅
∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑅) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅)) |
| 157 | 143, 144,
155, 156 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(-1↑𝑅) =
-(1↑𝑅)) |
| 158 | | 1exp 14132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑅 ∈ ℤ →
(1↑𝑅) =
1) |
| 159 | 149, 158 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(1↑𝑅) =
1) |
| 160 | 159 | negeqd 11502 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
-(1↑𝑅) =
-1) |
| 161 | 157, 160 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(-1↑𝑅) =
-1) |
| 162 | 161 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑𝑅) · 𝑅) = (-1 · 𝑅)) |
| 163 | 36 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℂ) |
| 164 | 163 | mulm1d 11715 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1
· 𝑅) = -𝑅) |
| 165 | 162, 164 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑𝑅) · 𝑅) = -𝑅) |
| 166 | 165 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
| 167 | 66 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈
ℂ) |
| 168 | 167, 163,
143 | pnpcan2d 11658 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) = (𝑃 − 𝑅)) |
| 169 | 141, 166,
168 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1))) |
| 170 | 169 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2)) |
| 171 | | peano2cn 11433 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 + 1) ∈
ℂ) |
| 172 | 167, 171 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) ∈
ℂ) |
| 173 | | peano2cn 11433 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 + 1) ∈
ℂ) |
| 174 | 163, 173 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 + 1) ∈
ℂ) |
| 175 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℂ) |
| 176 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠
0) |
| 177 | 172, 174,
175, 176 | divsubdird 12082 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2))) |
| 178 | 170, 177 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2))) |
| 179 | 167, 143,
175 | subadd23d 11642 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) + 2) = (𝑃 + (2 −
1))) |
| 180 | | 2m1e1 12392 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (2
− 1) = 1 |
| 181 | 180 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 + (2 − 1)) = (𝑃 + 1) |
| 182 | 179, 181 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) = ((𝑃 − 1) + 2)) |
| 183 | 182 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) + 2) /
2)) |
| 184 | 92 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ) |
| 185 | 184 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈
ℂ) |
| 186 | 185, 175,
175, 176 | divdird 12081 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + (2 /
2))) |
| 187 | | 2div2e1 12407 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2 / 2) =
1 |
| 188 | 187 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)) =
(((𝑃 − 1) / 2) +
1) |
| 189 | 186, 188 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) +
1)) |
| 190 | 183, 189 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) +
1)) |
| 191 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
| 192 | 191 | peano2zd 12725 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) + 1) ∈
ℤ) |
| 193 | 190, 192 | eqeltrd 2841 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈
ℤ) |
| 194 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ) |
| 195 | 193, 194 | zsubcld 12727 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)) ∈
ℤ) |
| 196 | 178, 195 | eqeltrd 2841 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
| 197 | | zeo 12704 |
. . . . 5
⊢ (𝑅 ∈ ℤ → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨
((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
| 198 | 35, 197 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨
((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
| 199 | 65, 196, 198 | mpjaodan 961 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
| 200 | | m1expcl 14127 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 ∈ ℤ →
(-1↑𝑅) ∈
ℤ) |
| 201 | 35, 200 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈
ℤ) |
| 202 | 201, 35 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) |
| 203 | 202, 29 | zmodcld 13932 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈
ℕ0) |
| 204 | 203 | nn0red 12588 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ) |
| 205 | | fzm1ndvds 16359 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) |
| 206 | 29, 133, 205 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) |
| 207 | | ax-1ne0 11224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ≠
0 |
| 208 | | divneg2 11991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 /
-1)) |
| 209 | 142, 142,
207, 208 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ -(1 / 1)
= (1 / -1) |
| 210 | | 1div1e1 11958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (1 / 1) =
1 |
| 211 | 210 | negeqi 11501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ -(1 / 1)
= -1 |
| 212 | 209, 211 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (1 / -1)
= -1 |
| 213 | 212 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((1 /
-1)↑𝑅) =
(-1↑𝑅) |
| 214 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈
ℂ) |
| 215 | 9 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠
0) |
| 216 | 214, 215,
35 | exprecd 14194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((1 /
-1)↑𝑅) = (1 /
(-1↑𝑅))) |
| 217 | 213, 216 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅))) |
| 218 | 217 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅)))) |
| 219 | 201 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈
ℂ) |
| 220 | 214, 215,
35 | expne0d 14192 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ≠ 0) |
| 221 | 219, 220 | recidd 12038 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1) |
| 222 | 218, 221 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1) |
| 223 | 222 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
| 224 | 219, 219,
36 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))) |
| 225 | 36 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑅) = 𝑅) |
| 226 | 223, 224,
225 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) = 𝑅) |
| 227 | 226 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) ↔ 𝑃 ∥ 𝑅)) |
| 228 | 206, 227 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))) |
| 229 | | dvdsmultr2 16335 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧
(-1↑𝑅) ∈ ℤ
∧ ((-1↑𝑅) ·
𝑅) ∈ ℤ) →
(𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))) |
| 230 | 102, 201,
202, 229 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))) |
| 231 | 228, 230 | mtod 198 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅)) |
| 232 | | dvdsval3 16294 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧
((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
| 233 | 29, 202, 232 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
| 234 | 231, 233 | mtbid 324 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 0) |
| 235 | | elnn0 12528 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0
↔ ((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
| 236 | 203, 235 | sylib 218 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
| 237 | 236 | ord 865 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
| 238 | 234, 237 | mt3d 148 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ) |
| 239 | 238 | nngt0d 12315 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃)) |
| 240 | 204, 95, 239, 97 | divgt0d 12203 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
| 241 | | elnnz 12623 |
. . . . 5
⊢
(((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ ↔
(((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 <
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2))) |
| 242 | 199, 240,
241 | sylanbrc 583 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ) |
| 243 | 242 | nnge1d 12314 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ≤
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
| 244 | | zmodfz 13933 |
. . . . . 6
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) ∈ ℤ
∧ 𝑃 ∈ ℕ)
→ (((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
| 245 | 202, 29, 244 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
| 246 | | elfzle2 13568 |
. . . . 5
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1)) |
| 247 | 245, 246 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1)) |
| 248 | | lediv1 12133 |
. . . . 5
⊢
(((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
| 249 | 204, 93, 95, 97, 248 | syl112anc 1376 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
| 250 | 247, 249 | mpbid 232 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
| 251 | 1, 6, 199, 243, 250 | elfzd 13555 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) |
| 252 | | lgseisen.5 |
. 2
⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
| 253 | 251, 252 | fmptd 7134 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) /
2))) |