MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem1 27114
Description: Lemma for lgseisen 27118. If ๐‘…(๐‘ข) = (๐‘„ ยท ๐‘ข) mod ๐‘ƒ and ๐‘€(๐‘ข) = (-1โ†‘๐‘…(๐‘ข)) ยท ๐‘…(๐‘ข), then for any even 1 โ‰ค ๐‘ข โ‰ค ๐‘ƒ โˆ’ 1, ๐‘€(๐‘ข) is also an even integer 1 โ‰ค ๐‘€(๐‘ข) โ‰ค ๐‘ƒ โˆ’ 1. To simplify these statements, we divide all the even numbers by 2, so that it becomes the statement that ๐‘€(๐‘ฅ / 2) = (-1โ†‘๐‘…(๐‘ฅ / 2)) ยท ๐‘…(๐‘ฅ / 2) / 2 is an integer between 1 and (๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
lgseisen.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
lgseisen.4 ๐‘… = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)
lgseisen.5 ๐‘€ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘„
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘€(๐‘ฅ)

Proof of Theorem lgseisenlem1
StepHypRef Expression
1 1zzd 12597 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
2 lgseisen.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
32adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
4 oddprm 16747 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
53, 4syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
65nnzd 12589 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
7 neg1cn 12330 . . . . . . . . . . . . 13 -1 โˆˆ โ„‚
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
9 neg1ne0 12332 . . . . . . . . . . . . 13 -1 โ‰  0
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ -1 โ‰  0)
11 2z 12598 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„ค
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
13 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค)
14 expmulz 14078 . . . . . . . . . . . 12 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (๐‘… / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)))
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 835 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (๐‘… / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)))
16 lgseisen.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ๐‘… = ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ)
17 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
1918eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„™)
20 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘„ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
22 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
24 zmulcl 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
2511, 23, 24sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
2621, 25zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
273eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
28 prmnn 16615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
30 zmodfz 13862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3126, 29, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3216, 31eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
33 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
3534nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
3635zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
38 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
39 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
4137, 38, 40divcan2d 11996 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘… / 2)) = ๐‘…)
4241oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (๐‘… / 2))) = (-1โ†‘๐‘…))
43 neg1sqe1 14164 . . . . . . . . . . . . 13 (-1โ†‘2) = 1
4443oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)) = (1โ†‘(๐‘… / 2))
45 1exp 14061 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(๐‘… / 2)) = 1)
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1โ†‘(๐‘… / 2)) = 1)
4744, 46eqtrid 2782 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘2)โ†‘(๐‘… / 2)) = 1)
4815, 42, 473eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = 1)
4948oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = (1 ยท ๐‘…))
5037mullidd 11236 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 ยท ๐‘…) = ๐‘…)
5149, 50eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = ๐‘…)
5251oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ))
5334nn0red 12537 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
5429nnrpd 13018 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
5534nn0ge0d 12539 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘…)
5626zred 12670 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
57 modlt 13849 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) < ๐‘ƒ)
5856, 54, 57syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) < ๐‘ƒ)
5916, 58eqbrtrid 5182 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… < ๐‘ƒ)
60 modid 13865 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6153, 54, 55, 59, 60syl22anc 835 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6261adantr 479 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6352, 62eqtrd 2770 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6463oveq1d 7426 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) = (๐‘… / 2))
6564, 13eqeltrd 2831 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง (๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค)
6629nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
6766mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (1 ยท ๐‘ƒ) = ๐‘ƒ)
6867oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) = (-๐‘… + ๐‘ƒ))
6953renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -๐‘… โˆˆ โ„)
7069recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -๐‘… โˆˆ โ„‚)
7166, 70addcomd 11420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ + -๐‘…) = (-๐‘… + ๐‘ƒ))
7266, 36negsubd 11581 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ + -๐‘…) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
7368, 71, 723eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
7473oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) mod ๐‘ƒ))
75 modcyc 13875 . . . . . . . . . . 11 ((-๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (-๐‘… mod ๐‘ƒ))
7669, 54, 1, 75syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-๐‘… + (1 ยท ๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (-๐‘… mod ๐‘ƒ))
7729nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
7877, 53resubcld 11646 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
7953, 77, 59ltled 11366 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐‘ƒ)
8077, 53subge0d 11808 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โ†” ๐‘… โ‰ค ๐‘ƒ))
8179, 80mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
82 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 โˆˆ โ„•
83 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
8483adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
85 nnmulcl 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
8682, 84, 85sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
87 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
8887adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
8984nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
90 prmuz2 16637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
91 uz2m1nn 12911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
9227, 90, 913syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
9392nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
94 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 โˆˆ โ„
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
96 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 2
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 < 2)
98 lemuldiv2 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
9989, 93, 95, 97, 98syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ๐‘ฅ โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
10088, 99mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
101 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
10227, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
103 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
104 fznn 13573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))))
10686, 100, 105mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
107 fzm1ndvds 16269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ))
10829, 106, 107syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ))
109 lgseisen.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
110109adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„)
111 prmrp 16653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1 โ†” ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„))
11227, 19, 111syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1 โ†” ๐‘ƒ โ‰  ๐‘„))
113110, 112mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)
114 coprmdvds 16594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ)))
115102, 21, 25, 114syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ)))
116113, 115mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (2 ยท ๐‘ฅ)))
117108, 116mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)))
118 dvdsval3 16205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0))
11929, 26, 118syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0))
120117, 119mtbid 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0)
12116eqeq1i 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘… = 0 โ†” ((๐‘„ ยท (2 ยท ๐‘ฅ)) mod ๐‘ƒ) = 0)
122120, 121sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘… = 0)
12392nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
124 nn0uz 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
125123, 124eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
126 elfzp12 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))))
12832, 127mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… = 0 โˆจ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
129128ord 860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (ยฌ ๐‘… = 0 โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
130122, 129mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
131 1e0p1 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
132131oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) = ((0 + 1)...(๐‘ƒ โˆ’ 1))
133130, 132eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
134 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
136135nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
13777, 136ltsubrpd 13052 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) < ๐‘ƒ)
138 modid 13865 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) โˆง (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) < ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
13978, 54, 81, 137, 138syl22anc 835 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
14074, 76, 1393eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-๐‘… mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
141140adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘… mod ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
142 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
144135adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
14535peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„ค)
146 dvdsval2 16204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง (๐‘… + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘… + 1) โ†” ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
14711, 39, 145, 146mp3an12i 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (2 โˆฅ (๐‘… + 1) โ†” ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
148147biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘… + 1))
14935adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
15082a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
151 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 < 2)
153 ndvdsp1 16358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„• โˆง 1 < 2) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘… โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘… + 1)))
154149, 150, 152, 153syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘… โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘… + 1)))
155148, 154mt2d 136 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘…)
156 oexpneg 16292 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘…) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = -(1โ†‘๐‘…))
157143, 144, 155, 156syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = -(1โ†‘๐‘…))
158 1exp 14061 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘…) = 1)
159149, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (1โ†‘๐‘…) = 1)
160159negeqd 11458 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ -(1โ†‘๐‘…) = -1)
161157, 160eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = -1)
162161oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = (-1 ยท ๐‘…))
16336adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
164163mulm1d 11670 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1 ยท ๐‘…) = -๐‘…)
165162, 164eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) = -๐‘…)
166165oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = (-๐‘… mod ๐‘ƒ))
16766adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
168167, 163, 143pnpcan2d 11613 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)) = (๐‘ƒ โˆ’ ๐‘…))
169141, 166, 1683eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)))
170169oveq1d 7426 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) = (((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)) / 2))
171 peano2cn 11390 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„‚)
172167, 171syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ + 1) โˆˆ โ„‚)
173 peano2cn 11390 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
174163, 173syl 17 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
175 2cnd 12294 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
17639a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
177172, 174, 175, 176divsubdird 12033 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ + 1) โˆ’ (๐‘… + 1)) / 2) = (((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆ’ ((๐‘… + 1) / 2)))
178170, 177eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) = (((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆ’ ((๐‘… + 1) / 2)))
179167, 143, 175subadd23d 11597 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) = (๐‘ƒ + (2 โˆ’ 1)))
180 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆ’ 1) = 1
181180oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ + (2 โˆ’ 1)) = (๐‘ƒ + 1)
182179, 181eqtr2di 2787 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ + 1) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2))
183182oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) / 2))
18492nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
185184adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
186185, 175, 175, 176divdird 12032 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + (2 / 2)))
187 2div2e1 12357 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
188187oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + (2 / 2)) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1)
189186, 188eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) + 2) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1))
190183, 189eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) / 2) = (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1))
1916adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
192191peano2zd 12673 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) + 1) โˆˆ โ„ค)
193190, 192eqeltrd 2831 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
194 simpr 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
195193, 194zsubcld 12675 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ƒ + 1) / 2) โˆ’ ((๐‘… + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
196178, 195eqeltrd 2831 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โˆง ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค)
197 zeo 12652 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
19835, 197syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((๐‘… / 2) โˆˆ โ„ค โˆจ ((๐‘… + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
19965, 196, 198mpjaodan 955 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค)
200 m1expcl 14056 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„ค)
20135, 200syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„ค)
202201, 35zmulcld 12676 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
203202, 29zmodcld 13861 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
204203nn0red 12537 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„)
205 fzm1ndvds 16269 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…)
20629, 133, 205syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…)
207 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 โ‰  0
208 divneg2 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
209142, 142, 207, 208mp3an 1459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = (1 / -1)
210 1div1e1 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 1) = 1
211210negeqi 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = -1
212209, 211eqtr3i 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / -1) = -1
213212oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / -1)โ†‘๐‘…) = (-1โ†‘๐‘…)
2147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
2159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ -1 โ‰  0)
216214, 215, 35exprecd 14123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((1 / -1)โ†‘๐‘…) = (1 / (-1โ†‘๐‘…)))
217213, 216eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) = (1 / (-1โ†‘๐‘…)))
218217oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) = ((-1โ†‘๐‘…) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘…))))
219201zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„‚)
220214, 215, 35expne0d 14121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (-1โ†‘๐‘…) โ‰  0)
221219, 220recidd 11989 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘…))) = 1)
222218, 221eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) = 1)
223222oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) ยท ๐‘…) = (1 ยท ๐‘…))
224219, 219, 36mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท (-1โ†‘๐‘…)) ยท ๐‘…) = ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)))
22536mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (1 ยท ๐‘…) = ๐‘…)
226223, 224, 2253eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)) = ๐‘…)
227226breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…))
228206, 227mtbird 324 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…)))
229 dvdsmultr2 16245 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (-1โ†‘๐‘…) โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…))))
230102, 201, 202, 229syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…))))
231228, 230mtod 197 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…))
232 dvdsval3 16205 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†” (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
23329, 202, 232syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โ†” (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
234231, 233mtbid 323 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ยฌ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0)
235 elnn0 12478 . . . . . . . . . 10 ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0 โ†” ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โˆจ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
236203, 235sylib 217 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โˆจ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
237236ord 860 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (ยฌ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„• โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) = 0))
238234, 237mt3d 148 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
239238nngt0d 12265 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 < (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ))
240204, 95, 239, 97divgt0d 12153 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 0 < ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
241 elnnz 12572 . . . . 5 (((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„• โ†” (((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2)))
242199, 240, 241sylanbrc 581 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ โ„•)
243242nnge1d 12264 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ 1 โ‰ค ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
244 zmodfz 13862 . . . . . 6 ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
245202, 29, 244syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
246 elfzle2 13509 . . . . 5 ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
247245, 246syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
248 lediv1 12083 . . . . 5 (((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
249204, 93, 95, 97, 248syl112anc 1372 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
250247, 249mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
2511, 6, 199, 243, 250elfzd 13496 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))) โ†’ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2) โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
252 lgseisen.5 . 2 ๐‘€ = (๐‘ฅ โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†ฆ ((((-1โ†‘๐‘…) ยท ๐‘…) mod ๐‘ƒ) / 2))
253251, 252fmptd 7114 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€:(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))โŸถ(1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  ...cfz 13488   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  lgseisenlem2  27115  lgseisenlem3  27116
  Copyright terms: Public domain W3C validator