Proof of Theorem lgseisenlem1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | neg1cn 11496 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -1 ∈
ℂ |
2 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ∈
ℂ) |
3 | | neg1ne0 11498 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ -1 ≠
0 |
4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ≠
0) |
5 | | 2z 11761 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℤ |
6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℤ) |
7 | | simpr 479 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 / 2) ∈
ℤ) |
8 | | expmulz 13224 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ)) →
(-1↑(2 · (𝑅 /
2))) = ((-1↑2)↑(𝑅
/ 2))) |
9 | 2, 4, 6, 7, 8 | syl22anc 829 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2
· (𝑅 / 2))) =
((-1↑2)↑(𝑅 /
2))) |
10 | | lgseisen.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) |
11 | | lgseisen.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
12 | 11 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
13 | 12 | eldifad 3804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ) |
14 | | prmz 15794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈
ℤ) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ) |
16 | | elfzelz 12659 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ) |
17 | 16 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℤ) |
18 | | zmulcl 11778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑥
∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ) |
19 | 5, 17, 18 | sylancr 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈
ℤ) |
20 | 15, 19 | zmulcld 11840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) |
21 | | lgseisen.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
22 | 21 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
23 | 22 | eldifad 3804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ) |
24 | | prmnn 15793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ) |
26 | | zmodfz 13011 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
27 | 20, 25, 26 | syl2anc 579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
28 | 10, 27 | syl5eqel 2863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
29 | | elfznn0 12751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈
ℕ0) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈
ℕ0) |
31 | 30 | nn0zd 11832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ) |
32 | 31 | zcnd 11835 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ) |
33 | 32 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℂ) |
34 | | 2cnd 11453 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℂ) |
35 | | 2ne0 11486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ≠
0 |
36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠
0) |
37 | 33, 34, 36 | divcan2d 11153 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (2 ·
(𝑅 / 2)) = 𝑅) |
38 | 37 | oveq2d 6938 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2
· (𝑅 / 2))) =
(-1↑𝑅)) |
39 | | neg1sqe1 13278 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(-1↑2) = 1 |
40 | 39 | oveq1i 6932 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((-1↑2)↑(𝑅
/ 2)) = (1↑(𝑅 /
2)) |
41 | | 1exp 13207 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 / 2) ∈ ℤ →
(1↑(𝑅 / 2)) =
1) |
42 | 41 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1↑(𝑅 / 2)) = 1) |
43 | 40, 42 | syl5eq 2826 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑2)↑(𝑅 / 2))
= 1) |
44 | 9, 38, 43 | 3eqtr3d 2822 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = 1) |
45 | 44 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
46 | 33 | mulid2d 10395 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1 ·
𝑅) = 𝑅) |
47 | 45, 46 | eqtrd 2814 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = 𝑅) |
48 | 47 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃)) |
49 | 30 | nn0red 11703 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ) |
50 | 25 | nnrpd 12179 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈
ℝ+) |
51 | 30 | nn0ge0d 11705 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ 𝑅) |
52 | 20 | zred 11834 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ) |
53 | | modlt 12998 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
→ ((𝑄 · (2
· 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃) |
54 | 52, 50, 53 | syl2anc 579 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃) |
55 | 10, 54 | syl5eqbr 4921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 < 𝑃) |
56 | | modid 13014 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+)
∧ (0 ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑃)) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
57 | 49, 50, 51, 55, 56 | syl22anc 829 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
58 | 57 | adantr 474 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅) |
59 | 48, 58 | eqtrd 2814 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 𝑅) |
60 | 59 | oveq1d 6937 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (𝑅 / 2)) |
61 | 60, 7 | eqeltrd 2859 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
62 | 25 | nncnd 11392 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ) |
63 | 62 | mulid2d 10395 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑃) = 𝑃) |
64 | 63 | oveq2d 6938 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (-𝑅 + 𝑃)) |
65 | 49 | renegcld 10802 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℝ) |
66 | 65 | recnd 10405 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℂ) |
67 | 62, 66 | addcomd 10578 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (-𝑅 + 𝑃)) |
68 | 62, 32 | negsubd 10740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (𝑃 − 𝑅)) |
69 | 64, 67, 68 | 3eqtr2d 2820 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (𝑃 − 𝑅)) |
70 | 69 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃)) |
71 | | 1zzd 11760 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈
ℤ) |
72 | | modcyc 13024 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+
∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
73 | 65, 50, 71, 72 | syl3anc 1439 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
74 | 25 | nnred 11391 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ) |
75 | 74, 49 | resubcld 10803 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ) |
76 | 49, 74, 55 | ltled 10524 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ≤ 𝑃) |
77 | 74, 49 | subge0d 10965 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (0 ≤ (𝑃 − 𝑅) ↔ 𝑅 ≤ 𝑃)) |
78 | 76, 77 | mpbird 249 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑃 − 𝑅)) |
79 | | 2nn 11448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 2 ∈
ℕ |
80 | | elfznn 12687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ) |
81 | 80 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ) |
82 | | nnmulcl 11399 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑥
∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ) |
83 | 79, 81, 82 | sylancr 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈
ℕ) |
84 | | elfzle2 12662 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
85 | 84 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
86 | 81 | nnred 11391 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
87 | | prmuz2 15813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
(ℤ≥‘2)) |
88 | | uz2m1nn 12070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑃 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ) |
89 | 23, 87, 88 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ) |
90 | 89 | nnred 11391 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ) |
91 | | 2re 11449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 2 ∈
ℝ |
92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈
ℝ) |
93 | | 2pos 11485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 0 <
2 |
94 | 93 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
2) |
95 | | lemuldiv2 11258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
96 | 86, 90, 92, 94, 95 | syl112anc 1442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
97 | 85, 96 | mpbird 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)) |
98 | | prmz 15794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℤ) |
99 | 23, 98 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ) |
100 | | peano2zm 11772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈
ℤ) |
101 | | fznn 12726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℤ
→ ((2 · 𝑥)
∈ (1...(𝑃 − 1))
↔ ((2 · 𝑥)
∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))) |
102 | 99, 100, 101 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2
· 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))) |
103 | 83, 97, 102 | mpbir2and 703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
104 | | fzm1ndvds 15451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2
· 𝑥) ∈
(1...(𝑃 − 1))) →
¬ 𝑃 ∥ (2 ·
𝑥)) |
105 | 25, 103, 104 | syl2anc 579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)) |
106 | | lgseisen.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄) |
107 | 106 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ≠ 𝑄) |
108 | | prmrp 15828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄)) |
109 | 23, 13, 108 | syl2anc 579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄)) |
110 | 107, 109 | mpbird 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1) |
111 | | coprmdvds 15772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2
· 𝑥) ∈ ℤ)
→ ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
112 | 99, 15, 19, 111 | syl3anc 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
113 | 110, 112 | mpan2d 684 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))) |
114 | 105, 113 | mtod 190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥))) |
115 | | dvdsval3 15391 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)) |
116 | 25, 20, 115 | syl2anc 579 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)) |
117 | 114, 116 | mtbid 316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0) |
118 | 10 | eqeq1i 2783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑅 = 0 ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0) |
119 | 117, 118 | sylnibr 321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑅 = 0) |
120 | 89 | nnnn0d 11702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈
ℕ0) |
121 | | nn0uz 12028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
122 | 120, 121 | syl6eleq 2869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0)) |
123 | | elfzp12 12737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑃 − 1) ∈
(ℤ≥‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))) |
124 | 122, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))) |
125 | 28, 124 | mpbid 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))) |
126 | 125 | ord 853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))) |
127 | 119, 126 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))) |
128 | | 1e0p1 11888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 1 = (0 +
1) |
129 | 128 | oveq1i 6932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(1...(𝑃 − 1))
= ((0 + 1)...(𝑃 −
1)) |
130 | 127, 129 | syl6eleqr 2870 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) |
131 | | elfznn 12687 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ) |
132 | 130, 131 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ) |
133 | 132 | nnrpd 12179 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈
ℝ+) |
134 | 74, 133 | ltsubrpd 12213 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 𝑅) < 𝑃) |
135 | | modid 13014 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑃 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝑃 − 𝑅) ∧ (𝑃 − 𝑅) < 𝑃)) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
136 | 75, 50, 78, 134, 135 | syl22anc 829 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 𝑅) mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
137 | 70, 73, 136 | 3eqtr3d 2822 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
138 | 137 | adantr 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃 − 𝑅)) |
139 | | ax-1cn 10330 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℂ |
140 | 139 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) |
141 | 132 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℕ) |
142 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈
ℤ) |
143 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ≠
0) |
144 | 31 | peano2zd 11837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 + 1) ∈ ℤ) |
145 | | dvdsval2 15390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑅 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥
(𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
146 | 142, 143,
144, 145 | syl3anc 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ)) |
147 | 146 | biimpar 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∥
(𝑅 + 1)) |
148 | 31 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℤ) |
149 | 79 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℕ) |
150 | | 1lt2 11553 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 1 <
2 |
151 | 150 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 <
2) |
152 | | ndvdsp1 15541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 2 ∈
ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1))) |
153 | 148, 149,
151, 152 | syl3anc 1439 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥
𝑅 → ¬ 2 ∥
(𝑅 + 1))) |
154 | 147, 153 | mt2d 134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ 2
∥ 𝑅) |
155 | | oexpneg 15473 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 𝑅
∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑅) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅)) |
156 | 140, 141,
154, 155 | syl3anc 1439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(-1↑𝑅) =
-(1↑𝑅)) |
157 | | 1exp 13207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑅 ∈ ℤ →
(1↑𝑅) =
1) |
158 | 148, 157 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(1↑𝑅) =
1) |
159 | 158 | negeqd 10616 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
-(1↑𝑅) =
-1) |
160 | 156, 159 | eqtrd 2814 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(-1↑𝑅) =
-1) |
161 | 160 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑𝑅) · 𝑅) = (-1 · 𝑅)) |
162 | 32 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈
ℂ) |
163 | 162 | mulm1d 10827 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1
· 𝑅) = -𝑅) |
164 | 161, 163 | eqtrd 2814 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((-1↑𝑅) · 𝑅) = -𝑅) |
165 | 164 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃)) |
166 | 62 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈
ℂ) |
167 | 166, 162,
140 | pnpcan2d 10772 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) = (𝑃 − 𝑅)) |
168 | 138, 165,
167 | 3eqtr4d 2824 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1))) |
169 | 168 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2)) |
170 | | peano2cn 10548 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 + 1) ∈
ℂ) |
171 | 166, 170 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) ∈
ℂ) |
172 | | peano2cn 10548 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 + 1) ∈
ℂ) |
173 | 162, 172 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 + 1) ∈
ℂ) |
174 | | 2cnd 11453 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈
ℂ) |
175 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠
0) |
176 | 171, 173,
174, 175 | divsubdird 11190 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2))) |
177 | 169, 176 | eqtrd 2814 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2))) |
178 | 166, 140,
174 | subadd23d 10756 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) + 2) = (𝑃 + (2 −
1))) |
179 | | 2m1e1 11508 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (2
− 1) = 1 |
180 | 179 | oveq2i 6933 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑃 + (2 − 1)) = (𝑃 + 1) |
181 | 178, 180 | syl6req 2831 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) = ((𝑃 − 1) + 2)) |
182 | 181 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) + 2) /
2)) |
183 | 89 | nncnd 11392 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ) |
184 | 183 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈
ℂ) |
185 | 184, 174,
174, 175 | divdird 11189 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + (2 /
2))) |
186 | | 2div2e1 11523 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (2 / 2) =
1 |
187 | 186 | oveq2i 6933 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)) =
(((𝑃 − 1) / 2) +
1) |
188 | 185, 187 | syl6eq 2830 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) +
1)) |
189 | 182, 188 | eqtrd 2814 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) +
1)) |
190 | | oddprm 15919 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ ((𝑃 − 1) / 2)
∈ ℕ) |
191 | 22, 190 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℕ) |
192 | 191 | nnzd 11833 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
193 | 192 | adantr 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
194 | 193 | peano2zd 11837 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) + 1) ∈
ℤ) |
195 | 189, 194 | eqeltrd 2859 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈
ℤ) |
196 | | simpr 479 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ) |
197 | 195, 196 | zsubcld 11839 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)) ∈
ℤ) |
198 | 177, 197 | eqeltrd 2859 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) →
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
199 | | zeo 11815 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑅 ∈ ℤ → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨
((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
200 | 31, 199 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨
((𝑅 + 1) / 2) ∈
ℤ)) |
201 | 61, 198, 200 | mpjaodan 944 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ) |
202 | | m1expcl 13201 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 ∈ ℤ →
(-1↑𝑅) ∈
ℤ) |
203 | 31, 202 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈
ℤ) |
204 | 203, 31 | zmulcld 11840 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) |
205 | 204, 25 | zmodcld 13010 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈
ℕ0) |
206 | 205 | nn0red 11703 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ) |
207 | | fzm1ndvds 15451 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) |
208 | 25, 130, 207 | syl2anc 579 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑅) |
209 | | ax-1ne0 10341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ≠
0 |
210 | | divneg2 11099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 /
-1)) |
211 | 139, 139,
209, 210 | mp3an 1534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ -(1 / 1)
= (1 / -1) |
212 | | 1div1e1 11065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (1 / 1) =
1 |
213 | 212 | negeqi 10615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ -(1 / 1)
= -1 |
214 | 211, 213 | eqtr3i 2804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (1 / -1)
= -1 |
215 | 214 | oveq1i 6932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((1 /
-1)↑𝑅) =
(-1↑𝑅) |
216 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈
ℂ) |
217 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠
0) |
218 | 216, 217,
31 | exprecd 13335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((1 /
-1)↑𝑅) = (1 /
(-1↑𝑅))) |
219 | 215, 218 | syl5eqr 2828 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅))) |
220 | 219 | oveq2d 6938 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅)))) |
221 | 203 | zcnd 11835 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈
ℂ) |
222 | 216, 217,
31 | expne0d 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ≠ 0) |
223 | 221, 222 | recidd 11146 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1) |
224 | 220, 223 | eqtrd 2814 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1) |
225 | 224 | oveq1d 6937 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = (1 · 𝑅)) |
226 | 221, 221,
32 | mulassd 10400 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))) |
227 | 32 | mulid2d 10395 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑅) = 𝑅) |
228 | 225, 226,
227 | 3eqtr3d 2822 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) = 𝑅) |
229 | 228 | breq2d 4898 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) ↔ 𝑃 ∥ 𝑅)) |
230 | 208, 229 | mtbird 317 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))) |
231 | | dvdsmultr2 15428 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧
(-1↑𝑅) ∈ ℤ
∧ ((-1↑𝑅) ·
𝑅) ∈ ℤ) →
(𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))) |
232 | 99, 203, 204, 231 | syl3anc 1439 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))) |
233 | 230, 232 | mtod 190 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅)) |
234 | | dvdsval3 15391 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧
((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
235 | 25, 204, 234 | syl2anc 579 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
236 | 233, 235 | mtbid 316 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 0) |
237 | | elnn0 11644 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0
↔ ((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
238 | 205, 237 | sylib 210 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
239 | 238 | ord 853 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)) |
240 | 236, 239 | mt3d 143 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ) |
241 | 240 | nngt0d 11424 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
(((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃)) |
242 | 206, 92, 241, 94 | divgt0d 11313 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 <
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
243 | | elnnz 11738 |
. . . . 5
⊢
(((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ ↔
(((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 <
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2))) |
244 | 201, 242,
243 | sylanbrc 578 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ) |
245 | 244 | nnge1d 11423 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ≤
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
246 | | zmodfz 13011 |
. . . . . 6
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) ∈ ℤ
∧ 𝑃 ∈ ℕ)
→ (((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
247 | 204, 25, 246 | syl2anc 579 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1))) |
248 | | elfzle2 12662 |
. . . . 5
⊢
((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1)) |
249 | 247, 248 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1)) |
250 | | lediv1 11242 |
. . . . 5
⊢
(((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
251 | 206, 90, 92, 94, 250 | syl112anc 1442 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
252 | 249, 251 | mpbid 224 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
253 | | elfz 12649 |
. . . 4
⊢
((((((-1↑𝑅)
· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 1
∈ ℤ ∧ ((𝑃
− 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (1 ≤
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))) |
254 | 201, 71, 192, 253 | syl3anc 1439 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (1 ≤
((((-1↑𝑅) ·
𝑅) mod 𝑃) / 2) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))) |
255 | 245, 252,
254 | mpbir2and 703 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) |
256 | | lgseisen.5 |
. 2
⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)) |
257 | 255, 256 | fmptd 6648 |
1
⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) /
2))) |