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Theorem lgseisenlem1 27434
Description: Lemma for lgseisen 27438. If 𝑅(𝑢) = (𝑄 · 𝑢) mod 𝑃 and 𝑀(𝑢) = (-1↑𝑅(𝑢)) · 𝑅(𝑢), then for any even 1 ≤ 𝑢𝑃 − 1, 𝑀(𝑢) is also an even integer 1 ≤ 𝑀(𝑢) ≤ 𝑃 − 1. To simplify these statements, we divide all the even numbers by 2, so that it becomes the statement that 𝑀(𝑥 / 2) = (-1↑𝑅(𝑥 / 2)) · 𝑅(𝑥 / 2) / 2 is an integer between 1 and (𝑃 − 1) / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem1 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem lgseisenlem1
StepHypRef Expression
1 1zzd 12646 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈ ℤ)
2 lgseisen.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4 oddprm 16844 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
65nnzd 12638 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
7 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
9 neg1ne0 12380 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
11 2z 12647 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 / 2) ∈ ℤ)
14 expmulz 14146 . . . . . . . . . . . 12 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)))
158, 10, 12, 13, 14syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)))
16 lgseisen.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
17 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1918eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
20 prmz 16709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
22 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℤ)
24 zmulcl 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
2511, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
2621, 25zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
273eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
28 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
30 zmodfz 13930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
3126, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
3216, 31eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
33 elfznn0 13657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
3534nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
3635zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
38 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
39 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
4137, 38, 40divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑅 / 2)) = 𝑅)
4241oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = (-1↑𝑅))
43 neg1sqe1 14232 . . . . . . . . . . . . 13 (-1↑2) = 1
4443oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)) = (1↑(𝑅 / 2))
45 1exp 14129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 / 2) ∈ ℤ → (1↑(𝑅 / 2)) = 1)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1↑(𝑅 / 2)) = 1)
4744, 46eqtrid 2787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)) = 1)
4815, 42, 473eqtr3d 2783 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = 1)
4948oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
5037mullidd 11277 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
5149, 50eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = 𝑅)
5251oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
5334nn0red 12586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
5429nnrpd 13073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5534nn0ge0d 12588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ 𝑅)
5626zred 12720 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
57 modlt 13917 . . . . . . . . . . 11 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃)
5856, 54, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃)
5916, 58eqbrtrid 5183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 < 𝑃)
60 modid 13933 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑅𝑅 < 𝑃)) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
6153, 54, 55, 59, 60syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
6261adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
6352, 62eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 𝑅)
6463oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (𝑅 / 2))
6564, 13eqeltrd 2839 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
6629nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ)
6766mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6867oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (-𝑅 + 𝑃))
6953renegcld 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℝ)
7069recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℂ)
7166, 70addcomd 11461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (-𝑅 + 𝑃))
7266, 36negsubd 11624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (𝑃𝑅))
7368, 71, 723eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (𝑃𝑅))
7473oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝑃𝑅) mod 𝑃))
75 modcyc 13943 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
7669, 54, 1, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
7729nnred 12279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
7877, 53resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑅) ∈ ℝ)
7953, 77, 59ltled 11407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅𝑃)
8077, 53subge0d 11851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (0 ≤ (𝑃𝑅) ↔ 𝑅𝑃))
8179, 80mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑃𝑅))
82 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
83 elfznn 13590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
85 nnmulcl 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
8682, 84, 85sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
87 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
8984nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
90 prmuz2 16730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
91 uz2m1nn 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
9227, 90, 913syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
9392nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
94 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℝ)
96 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 2
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < 2)
98 lemuldiv2 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
9989, 93, 95, 97, 98syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
10088, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
101 prmz 16709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
10227, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
103 peano2zm 12658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
104 fznn 13629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
105102, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
10686, 100, 105mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
107 fzm1ndvds 16356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
10829, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
109 lgseisen.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃𝑄)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃𝑄)
111 prmrp 16746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
11227, 19, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
113110, 112mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
114 coprmdvds 16687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
115102, 21, 25, 114syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
116113, 115mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
117108, 116mtod 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)))
118 dvdsval3 16291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0))
11929, 26, 118syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0))
120117, 119mtbid 324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)
12116eqeq1i 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 = 0 ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)
122120, 121sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑅 = 0)
12392nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
124 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 = (ℤ‘0)
125123, 124eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
126 elfzp12 13640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
12832, 127mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
129128ord 864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
130122, 129mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
131 1e0p1 12773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
132131oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
133130, 132eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
134 elfznn 13590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ)
136135nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
13777, 136ltsubrpd 13107 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑅) < 𝑃)
138 modid 13933 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑃𝑅) ∧ (𝑃𝑅) < 𝑃)) → ((𝑃𝑅) mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
13978, 54, 81, 137, 138syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃𝑅) mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
14074, 76, 1393eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
141140adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
142 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
144135adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℕ)
14535peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 + 1) ∈ ℤ)
146 dvdsval2 16290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑅 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
14711, 39, 145, 146mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
148147biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑅 + 1))
14935adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
15082a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
151 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 < 2)
153 ndvdsp1 16445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1)))
154149, 150, 152, 153syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1)))
155148, 154mt2d 136 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑅)
156 oexpneg 16379 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑅) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅))
157143, 144, 155, 156syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅))
158 1exp 14129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℤ → (1↑𝑅) = 1)
159149, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (1↑𝑅) = 1)
160159negeqd 11500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → -(1↑𝑅) = -1)
161157, 160eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = -1)
162161oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (-1 · 𝑅))
16336adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
164163mulm1d 11713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
165162, 164eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = -𝑅)
166165oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
16766adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
168167, 163, 143pnpcan2d 11656 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) = (𝑃𝑅))
169141, 166, 1683eqtr4d 2785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)))
170169oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2))
171 peano2cn 11431 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 + 1) ∈ ℂ)
172167, 171syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) ∈ ℂ)
173 peano2cn 11431 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
174163, 173syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
175 2cnd 12342 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
17639a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
177172, 174, 175, 176divsubdird 12080 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)))
178170, 177eqtrd 2775 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)))
179167, 143, 175subadd23d 11640 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) + 2) = (𝑃 + (2 − 1)))
180 2m1e1 12390 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
181180oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑃 + (2 − 1)) = (𝑃 + 1)
182179, 181eqtr2di 2792 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) = ((𝑃 − 1) + 2))
183182oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) + 2) / 2))
18492nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
185184adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
186185, 175, 175, 176divdird 12079 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)))
187 2div2e1 12405 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
188187oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1)
189186, 188eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1))
190183, 189eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1))
1916adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
192191peano2zd 12723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) + 1) ∈ ℤ)
193190, 192eqeltrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℤ)
194 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ)
195193, 194zsubcld 12725 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
196178, 195eqeltrd 2839 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
197 zeo 12702 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℤ → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19835, 197syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19965, 196, 198mpjaodan 960 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
200 m1expcl 14124 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
20135, 200syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
202201, 35zmulcld 12726 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
203202, 29zmodcld 13929 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
204203nn0red 12586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ)
205 fzm1ndvds 16356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑅)
20629, 133, 205syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑅)
207 ax-1ne0 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ≠ 0
208 divneg2 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
209142, 142, 207, 208mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = (1 / -1)
210 1div1e1 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 1) = 1
211210negeqi 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = -1
212209, 211eqtr3i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / -1) = -1
213212oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / -1)↑𝑅) = (-1↑𝑅)
2147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈ ℂ)
2159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠ 0)
216214, 215, 35exprecd 14191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((1 / -1)↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
217213, 216eqtr3id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
218217oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))))
219201zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
220214, 215, 35expne0d 14189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ≠ 0)
221219, 220recidd 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1)
222218, 221eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1)
223222oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
224219, 219, 36mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))
22536mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
226223, 224, 2253eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) = 𝑅)
227226breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) ↔ 𝑃𝑅))
228206, 227mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))
229 dvdsmultr2 16332 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (-1↑𝑅) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))))
230102, 201, 202, 229syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))))
231228, 230mtod 198 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅))
232 dvdsval3 16291 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
23329, 202, 232syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
234231, 233mtbid 324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)
235 elnn0 12526 . . . . . . . . . 10 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
236203, 235sylib 218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
237236ord 864 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
238234, 237mt3d 148 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ)
239238nngt0d 12313 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
240204, 95, 239, 97divgt0d 12201 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
241 elnnz 12621 . . . . 5 (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ ↔ (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
242199, 240, 241sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ)
243242nnge1d 12312 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ≤ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
244 zmodfz 13930 . . . . . 6 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
245202, 29, 244syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
246 elfzle2 13565 . . . . 5 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1))
247245, 246syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1))
248 lediv1 12131 . . . . 5 (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
249204, 93, 95, 97, 248syl112anc 1373 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
250247, 249mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
2511, 6, 199, 243, 250elfzd 13552 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
252 lgseisen.5 . 2 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
253251, 252fmptd 7134 1 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544   mod cmo 13906  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706
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