Theorem m1expaddsub 19724

Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expaddsub	⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = ( -1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1expcl 14239	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ( -1↑𝑋) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12814	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ( -1↑𝑋) ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑋) ∈ ℂ)
4		m1expcl 14239	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12814	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ∈ ℂ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑌) ∈ ℂ)
7		neg1cn 12315	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		neg1ne0 12317	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
9		expne0i 14247	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑌) ≠ 0)
10	7, 8, 9	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ≠ 0)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑌) ≠ 0)
12	3, 6, 11	divrecd 12106	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)) = (( -1↑𝑋) · (1 / ( -1↑𝑌))))
13		m1expcl2 14238	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ∈ { -1, 1})
14		elpri 4607	. . . . . 6 ⊢ (( -1↑𝑌) ∈ { -1, 1} → (( -1↑𝑌) = -1 ∨ ( -1↑𝑌) = 1))
15		ax-1cn 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		ax-1ne0 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
17		divneg2 12051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
18	15, 15, 16, 17	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
19		1div1e1 12017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
20	19	negeqi 11560	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
21	18, 20	eqtr3i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
22		oveq2 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = -1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = (1 / -1))
23		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = -1 → ( -1↑𝑌) = -1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2824	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑌) = -1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
25		oveq2 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = 1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = (1 / 1))
26		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = 1 → ( -1↑𝑌) = 1)
27	19, 25, 26	3eqtr4a 2824	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑌) = 1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
28	24, 27	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((( -1↑𝑌) = -1 ∨ ( -1↑𝑌) = 1) → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
29	13, 14, 28	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
30	29	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
31	30	oveq2d 7443	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑋) · (1 / ( -1↑𝑌))) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
32	12, 31	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
33		expsub 14263	. . 3 ⊢ ((( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)))
34	7, 8, 33	mpanl12 715	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)))
35		expaddz 14259	. . 3 ⊢ ((( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → ( -1↑(𝑋 + 𝑌)) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
36	7, 8, 35	mpanl12 715	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 + 𝑌)) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
37	32, 34, 36	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = ( -1↑(𝑋 + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  {cpr 4589  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   − cmin 11551   -cneg 11552   / cdiv 11983  ℤcz 12703  ↑cexp 14214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-seq 14155  df-exp 14215

This theorem is used by:  psgnuni  19725  41prothprmlem2  48842