MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expaddsub 19531
Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expaddsub ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub
StepHypRef Expression
1 m1expcl 14124 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℤ)
21zcnd 12721 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
4 m1expcl 14124 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℤ)
54zcnd 12721 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
65adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
7 neg1cn 12378 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
8 neg1ne0 12380 . . . . . 6 -1 ≠ 0
9 expne0i 14132 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
107, 8, 9mp3an12 1450 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ≠ 0)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
123, 6, 11divrecd 12044 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))))
13 m1expcl2 14123 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ {-1, 1})
14 elpri 4654 . . . . . 6 ((-1↑𝑌) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1))
15 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 ax-1ne0 11222 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
17 divneg2 11989 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
1815, 15, 16, 17mp3an 1460 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
19 1div1e1 11956 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
2019negeqi 11499 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
2118, 20eqtr3i 2765 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
22 oveq2 7439 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / -1))
23 id 22 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = -1 → (-1↑𝑌) = -1)
2421, 22, 233eqtr4a 2801 . . . . . . 7 ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
25 oveq2 7439 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / 1))
26 id 22 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = 1 → (-1↑𝑌) = 1)
2719, 25, 263eqtr4a 2801 . . . . . . 7 ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
2824, 27jaoi 857 . . . . . 6 (((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
2913, 14, 283syl 18 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
3029adantl 481 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
3130oveq2d 7447 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
3212, 31eqtrd 2775 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
33 expsub 14148 . . 3 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
347, 8, 33mpanl12 702 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
35 expaddz 14144 . . 3 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
367, 8, 35mpanl12 702 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
3732, 34, 363eqtr4d 2785 1 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {cpr 4633  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cz 12611  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  psgnuni  19532  41prothprmlem2  47543
  Copyright terms: Public domain W3C validator