Theorem m1expaddsub 19429

Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expaddsub	⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1expcl 14011	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12599	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
4		m1expcl 14011	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12599	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
7		neg1cn 12132	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		neg1ne0 12134	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
9		expne0i 14019	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
10	7, 8, 9	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ≠ 0)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
12	3, 6, 11	divrecd 11922	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))))
13		m1expcl2 14010	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ {-1, 1})
14		elpri 4604	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑌) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1))
15		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		ax-1ne0 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
17		divneg2 11867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
18	15, 15, 16, 17	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
19		1div1e1 11834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
20	19	negeqi 11375	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
21	18, 20	eqtr3i 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
22		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / -1))
23		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (-1↑𝑌) = -1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
25		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / 1))
26		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (-1↑𝑌) = 1)
27	19, 25, 26	3eqtr4a 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
28	24, 27	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
29	13, 14, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
31	30	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
32	12, 31	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
33		expsub 14035	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
34	7, 8, 33	mpanl12 702	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
35		expaddz 14031	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
36	7, 8, 35	mpanl12 702	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
37	32, 34, 36	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {cpr 4582  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  -cneg 11367   / cdiv 11796  ℤcz 12490  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  psgnuni  19430  41prothprmlem2  47885