MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expaddsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem m1expaddsub 19360
Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expaddsub ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)))
Proof of Theorem m1expaddsub
StepHypRef Expression
1 m1expcl 14048 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
21zcnd 12663 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
32adantr 481 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
4 m1expcl 14048 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
54zcnd 12663 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
65adantl 482 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
7 neg1cn 12322 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
8 neg1ne0 12324 . . . . . 6 -1 โ‰  0
9 expne0i 14056 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0 โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)
107, 8, 9mp3an12 1451 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)
1110adantl 482 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)
123, 6, 11divrecd 11989 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘Œ))))
13 m1expcl2 14047 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ {-1, 1})
14 elpri 4649 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘Œ) = 1))
15 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
16 ax-1ne0 11175 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  0
17 divneg2 11934 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
1815, 15, 16, 17mp3an 1461 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
19 1div1e1 11900 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
2019negeqi 11449 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
2118, 20eqtr3i 2762 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
22 oveq2 7413 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (1 / -1))
23 id 22 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) = -1)
2421, 22, 233eqtr4a 2798 . . . . . . 7 ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
25 oveq2 7413 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = 1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (1 / 1))
26 id 22 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = 1 โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) = 1)
2719, 25, 263eqtr4a 2798 . . . . . . 7 ((-1โ†‘๐‘Œ) = 1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
2824, 27jaoi 855 . . . . . 6 (((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘Œ) = 1) โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
2913, 14, 283syl 18 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
3029adantl 482 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
3130oveq2d 7421 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘Œ))) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
3212, 31eqtrd 2772 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
33 expsub 14072 . . 3 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)))
347, 8, 33mpanl12 700 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)))
35 expaddz 14068 . . 3 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
367, 8, 35mpanl12 700 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
3732, 34, 363eqtr4d 2782 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  {cpr 4629  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„คcz 12554  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  psgnuni  19361  41prothprmlem2  46272
  Copyright terms: Public domain W3C validator