Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expaddsub ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

StepHypRef Expression
1 m1expcl 13436 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℤ)
21zcnd 12066 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
32adantr 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
4 m1expcl 13436 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℤ)
54zcnd 12066 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
65adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
7 neg1cn 11729 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
8 neg1ne0 11731 . . . . . 6 -1 ≠ 0
9 expne0i 13445 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
107, 8, 9mp3an12 1448 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ≠ 0)
1110adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
123, 6, 11divrecd 11396 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))))
13 m1expcl2 13435 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ {-1, 1})
14 elpri 4562 . . . . . 6 ((-1↑𝑌) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1))
15 ax-1cn 10572 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 ax-1ne0 10583 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
17 divneg2 11341 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
1815, 15, 16, 17mp3an 1458 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
19 1div1e1 11307 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
2019negeqi 10856 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
2118, 20eqtr3i 2846 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
22 oveq2 7138 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / -1))
23 id 22 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = -1 → (-1↑𝑌) = -1)
2421, 22, 233eqtr4a 2882 . . . . . . 7 ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
25 oveq2 7138 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / 1))
26 id 22 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = 1 → (-1↑𝑌) = 1)
2719, 25, 263eqtr4a 2882 . . . . . . 7 ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
2824, 27jaoi 854 . . . . . 6 (((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
2913, 14, 283syl 18 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
3029adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
3130oveq2d 7146 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
3212, 31eqtrd 2856 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
33 expsub 13461 . . 3 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
347, 8, 33mpanl12 701 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
35 expaddz 13457 . . 3 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
367, 8, 35mpanl12 701 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
3732, 34, 363eqtr4d 2866 1 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  {cpr 4542  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   − cmin 10847  -cneg 10848   / cdiv 11274  ℤcz 11959  ↑cexp 13413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-seq 13353  df-exp 13414 This theorem is referenced by:  psgnuni  18605  41prothprmlem2  43930
 Copyright terms: Public domain W3C validator