Theorem m1expaddsub 19568

Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expaddsub	⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1expcl 14122	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12701	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
4		m1expcl 14122	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12701	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
7		neg1cn 12203	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		neg1ne0 12205	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
9		expne0i 14130	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
10	7, 8, 9	mp3an12 1477	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ≠ 0)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
12	3, 6, 11	divrecd 11994	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))))
13		m1expcl2 14121	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ {-1, 1})
14		elpri 4618	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑌) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1))
15		ax-1cn 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		ax-1ne0 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
17		divneg2 11939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
18	15, 15, 16, 17	mp3an 1487	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
19		1div1e1 11905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
20	19	negeqi 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
21	18, 20	eqtr3i 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
22		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / -1))
23		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (-1↑𝑌) = -1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
25		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / 1))
26		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (-1↑𝑌) = 1)
27	19, 25, 26	3eqtr4a 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
28	24, 27	jaoi 870	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
29	13, 14, 28	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
30	29	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
31	30	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
32	12, 31	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
33		expsub 14146	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
34	7, 8, 33	mpanl12 714	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
35		expaddz 14142	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
36	7, 8, 35	mpanl12 714	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
37	32, 34, 36	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {cpr 4596  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   − cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11871  ℤcz 12591  ↑cexp 14097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-seq 14038  df-exp 14098

This theorem is referenced by:  psgnuni  19569  41prothprmlem2  48259