Theorem m1expaddsub 18184

Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expaddsub	⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1expcl 13090	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 11730	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
3	2	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
4		m1expcl 13090	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 11730	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
6	5	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
7		neg1cn 11393	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		neg1ne0 11395	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
9		expne0i 13099	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
10	7, 8, 9	mp3an12 1575	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ≠ 0)
11	10	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
12	3, 6, 11	divrecd 11058	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))))
13		m1expcl2 13089	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ {-1, 1})
14		elpri 4356	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑌) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1))
15		ax-1cn 10247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		ax-1ne0 10258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
17		divneg2 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
18	15, 15, 16, 17	mp3an 1585	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
19		1div1e1 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
20	19	negeqi 10528	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
21	18, 20	eqtr3i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
22		oveq2 6850	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / -1))
23		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (-1↑𝑌) = -1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
25		oveq2 6850	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / 1))
26		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (-1↑𝑌) = 1)
27	19, 25, 26	3eqtr4a 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
28	24, 27	jaoi 883	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
29	13, 14, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
30	29	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
31	30	oveq2d 6858	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
32	12, 31	eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
33		expsub 13115	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
34	7, 8, 33	mpanl12 693	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
35		expaddz 13111	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
36	7, 8, 35	mpanl12 693	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
37	32, 34, 36	3eqtr4d 2809	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  {cpr 4336  (class class class)co 6842  ℂcc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   − cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  ℤcz 11624  ↑cexp 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-seq 13009  df-exp 13068

This theorem is referenced by:  psgnuni  18185  41prothprmlem2  42143