Theorem m1expaddsub 19410

Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expaddsub	⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1expcl 13993	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
4		m1expcl 13993	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12578	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
7		neg1cn 12110	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		neg1ne0 12112	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
9		expne0i 14001	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
10	7, 8, 9	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ≠ 0)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
12	3, 6, 11	divrecd 11900	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))))
13		m1expcl2 13992	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ {-1, 1})
14		elpri 4597	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑌) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1))
15		ax-1cn 11064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		ax-1ne0 11075	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
17		divneg2 11845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
18	15, 15, 16, 17	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
19		1div1e1 11812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
20	19	negeqi 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
21	18, 20	eqtr3i 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
22		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / -1))
23		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (-1↑𝑌) = -1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
25		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / 1))
26		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (-1↑𝑌) = 1)
27	19, 25, 26	3eqtr4a 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
28	24, 27	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
29	13, 14, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
31	30	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
32	12, 31	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
33		expsub 14017	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
34	7, 8, 33	mpanl12 702	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
35		expaddz 14013	. . 3 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
36	7, 8, 35	mpanl12 702	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
37	32, 34, 36	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 − 𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {cpr 4575  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11774  ℤcz 12468  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  psgnuni  19411  41prothprmlem2  47728