MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expaddsub 19491
Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expaddsub ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub
StepHypRef Expression
1 m1expcl 14101 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℤ)
21zcnd 12714 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℤ → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
32adantr 479 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑋) ∈ ℂ)
4 m1expcl 14101 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℤ)
54zcnd 12714 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
65adantl 480 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ∈ ℂ)
7 neg1cn 12373 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
8 neg1ne0 12375 . . . . . 6 -1 ≠ 0
9 expne0i 14109 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
107, 8, 9mp3an12 1447 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ≠ 0)
1110adantl 480 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑𝑌) ≠ 0)
123, 6, 11divrecd 12040 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))))
13 m1expcl2 14100 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℤ → (-1↑𝑌) ∈ {-1, 1})
14 elpri 4655 . . . . . 6 ((-1↑𝑌) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1))
15 ax-1cn 11212 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 ax-1ne0 11223 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
17 divneg2 11985 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
1815, 15, 16, 17mp3an 1457 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
19 1div1e1 11951 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
2019negeqi 11499 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
2118, 20eqtr3i 2755 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
22 oveq2 7431 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / -1))
23 id 22 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = -1 → (-1↑𝑌) = -1)
2421, 22, 233eqtr4a 2791 . . . . . . 7 ((-1↑𝑌) = -1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
25 oveq2 7431 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (1 / 1))
26 id 22 . . . . . . . 8 ((-1↑𝑌) = 1 → (-1↑𝑌) = 1)
2719, 25, 263eqtr4a 2791 . . . . . . 7 ((-1↑𝑌) = 1 → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
2824, 27jaoi 855 . . . . . 6 (((-1↑𝑌) = -1 ∨ (-1↑𝑌) = 1) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
2913, 14, 283syl 18 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℤ → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
3029adantl 480 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / (-1↑𝑌)) = (-1↑𝑌))
3130oveq2d 7439 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) · (1 / (-1↑𝑌))) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
3212, 31eqtrd 2765 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
33 expsub 14125 . . 3 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
347, 8, 33mpanl12 700 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = ((-1↑𝑋) / (-1↑𝑌)))
35 expaddz 14121 . . 3 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
367, 8, 35mpanl12 700 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋 + 𝑌)) = ((-1↑𝑋) · (-1↑𝑌)))
3732, 34, 363eqtr4d 2775 1 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (-1↑(𝑋𝑌)) = (-1↑(𝑋 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {cpr 4634  (class class class)co 7423  cc 11152  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157   · cmul 11159  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11917  cz 12605  cexp 14076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-seq 14017  df-exp 14077
This theorem is referenced by:  psgnuni  19492  41prothprmlem2  47127
  Copyright terms: Public domain W3C validator