MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1expaddsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem m1expaddsub 19408
Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expaddsub ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)))
Proof of Theorem m1expaddsub
StepHypRef Expression
1 m1expcl 14049 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
21zcnd 12664 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
32adantr 480 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
4 m1expcl 14049 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„ค)
54zcnd 12664 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
65adantl 481 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
7 neg1cn 12323 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
8 neg1ne0 12325 . . . . . 6 -1 โ‰  0
9 expne0i 14057 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0 โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)
107, 8, 9mp3an12 1447 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)
1110adantl 481 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โ‰  0)
123, 6, 11divrecd 11990 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘Œ))))
13 m1expcl2 14048 . . . . . 6 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ {-1, 1})
14 elpri 4642 . . . . . 6 ((-1โ†‘๐‘Œ) โˆˆ {-1, 1} โ†’ ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘Œ) = 1))
15 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
16 ax-1ne0 11175 . . . . . . . . . 10 1 โ‰  0
17 divneg2 11935 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โ†’ -(1 / 1) = (1 / -1))
1815, 15, 16, 17mp3an 1457 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
19 1div1e1 11901 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
2019negeqi 11450 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
2118, 20eqtr3i 2754 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
22 oveq2 7409 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (1 / -1))
23 id 22 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) = -1)
2421, 22, 233eqtr4a 2790 . . . . . . 7 ((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
25 oveq2 7409 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = 1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (1 / 1))
26 id 22 . . . . . . . 8 ((-1โ†‘๐‘Œ) = 1 โ†’ (-1โ†‘๐‘Œ) = 1)
2719, 25, 263eqtr4a 2790 . . . . . . 7 ((-1โ†‘๐‘Œ) = 1 โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
2824, 27jaoi 854 . . . . . 6 (((-1โ†‘๐‘Œ) = -1 โˆจ (-1โ†‘๐‘Œ) = 1) โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
2913, 14, 283syl 18 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
3029adantl 481 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 / (-1โ†‘๐‘Œ)) = (-1โ†‘๐‘Œ))
3130oveq2d 7417 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (1 / (-1โ†‘๐‘Œ))) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
3212, 31eqtrd 2764 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
33 expsub 14073 . . 3 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)))
347, 8, 33mpanl12 699 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) / (-1โ†‘๐‘Œ)))
35 expaddz 14069 . . 3 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โ‰  0) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
367, 8, 35mpanl12 699 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)) = ((-1โ†‘๐‘‹) ยท (-1โ†‘๐‘Œ)))
3732, 34, 363eqtr4d 2774 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ)) = (-1โ†‘(๐‘‹ + ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  {cpr 4622  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  โ„คcz 12555  โ†‘cexp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by:  psgnuni  19409  41prothprmlem2  46771
  Copyright terms: Public domain W3C validator