Theorem m1expaddsub 19763

Description: Addition and subtraction of parities are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
m1expaddsub	⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = ( -1↑(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem m1expaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1expcl 14269	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ( -1↑𝑋) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12844	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → ( -1↑𝑋) ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑋) ∈ ℂ)
4		m1expcl 14269	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12844	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ∈ ℂ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑌) ∈ ℂ)
7		neg1cn 12345	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		neg1ne0 12347	. . . . . 6 ⊢ -1 ≠ 0
9		expne0i 14277	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑌) ≠ 0)
10	7, 8, 9	mp3an12 1481	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ≠ 0)
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑌) ≠ 0)
12	3, 6, 11	divrecd 12136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)) = (( -1↑𝑋) · (1 / ( -1↑𝑌))))
13		m1expcl2 14268	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → ( -1↑𝑌) ∈ { -1, 1})
14		elpri 4608	. . . . . 6 ⊢ (( -1↑𝑌) ∈ { -1, 1} → (( -1↑𝑌) = -1 ∨ ( -1↑𝑌) = 1))
15		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		ax-1ne0 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
17		divneg2 12081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
18	15, 15, 16, 17	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
19		1div1e1 12047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 1) = 1
20	19	negeqi 11589	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 1) = -1
21	18, 20	eqtr3i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / -1) = -1
22		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = -1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = (1 / -1))
23		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = -1 → ( -1↑𝑌) = -1)
24	21, 22, 23	3eqtr4a 2824	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑌) = -1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
25		oveq2 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = 1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = (1 / 1))
26		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1↑𝑌) = 1 → ( -1↑𝑌) = 1)
27	19, 25, 26	3eqtr4a 2824	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑌) = 1 → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
28	24, 27	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((( -1↑𝑌) = -1 ∨ ( -1↑𝑌) = 1) → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
29	13, 14, 28	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
30	29	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 / ( -1↑𝑌)) = ( -1↑𝑌))
31	30	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑋) · (1 / ( -1↑𝑌))) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
32	12, 31	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
33		expsub 14293	. . 3 ⊢ ((( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)))
34	7, 8, 33	mpanl12 715	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = (( -1↑𝑋) / ( -1↑𝑌)))
35		expaddz 14289	. . 3 ⊢ ((( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ)) → ( -1↑(𝑋 + 𝑌)) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
36	7, 8, 35	mpanl12 715	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 + 𝑌)) = (( -1↑𝑋) · ( -1↑𝑌)))
37	32, 34, 36	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ( -1↑(𝑋 − 𝑌)) = ( -1↑(𝑋 + 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {cpr 4590  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℤcz 12733  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  psgnuni  19764  41prothprmlem2  48976