Theorem divscl 28062

Description: Surreal division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divscl	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem divscl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recsex 28058	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )
2	1	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) → ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s )
3		divsclw 28035	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
4	2, 3	mpdan 684	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062  (class class class)co 7402   No csur 27514   0_s c0s 27696   1_s c1s 27697   ·_s cmuls 27947   /_su cdivs 28028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-dc 10438

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-nadd 8662  df-no 27517  df-slt 27518  df-bday 27519  df-sle 27619  df-sslt 27655  df-scut 27657  df-0s 27698  df-1s 27699  df-made 27715  df-old 27716  df-left 27718  df-right 27719  df-norec 27796  df-norec2 27807  df-adds 27818  df-negs 27875  df-subs 27876  df-muls 27948  df-divs 28029

This theorem is referenced by:  divscld  28063