MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divscl 28134
Description: Surreal division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
divscl ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) โˆˆ No )

Proof of Theorem divscl
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recsex 28130 . . 3 ((๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
213adant1 1128 . 2 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
3 divsclw 28107 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) โˆˆ No )
42, 3mpdan 686 1 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) โˆˆ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  (class class class)co 7420   No csur 27586   0s c0s 27768   1s c1s 27769   ยทs cmuls 28019   /su cdivs 28100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-dc 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-nadd 8687  df-no 27589  df-slt 27590  df-bday 27591  df-sle 27691  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27770  df-1s 27771  df-made 27787  df-old 27788  df-left 27790  df-right 27791  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27947  df-subs 27948  df-muls 28020  df-divs 28101
This theorem is referenced by:  divscld  28135
  Copyright terms: Public domain W3C validator