Theorem dmlogdmgm 26934

Description: If 𝐴 is in the continuous domain of the logarithm, then it is in the domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmlogdmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmlogdmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4094	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0ge0d 12506	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝐴)
4	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	nn0red 12504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	negrebd 11532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8	7	ellogdm 26548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
9	8	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
10	9	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	6, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	11	rpgt0d 12998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
13	6	lt0neg2d 11748	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
14	12, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 < 0)
15		0red 11177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16	5, 15	ltnled 11321	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
17	14, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ -𝐴)
18	3, 17	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
19		eldmgm 26932	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
20	1, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  -∞cmnf 11206   < clt 11208   ≤ cle 11209  -cneg 11406  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951  (,]cioc 13307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-rp 12952  df-ioc 13311

This theorem is referenced by:  rpdmgm  26935