Theorem dmlogdmgm 26078

Description: If 𝐴 is in the continuous domain of the logarithm, then it is in the domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmlogdmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmlogdmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4057	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0ge0d 12226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝐴)
4	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	nn0red 12224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	negrebd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8	7	ellogdm 25699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
9	8	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
10	9	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	6, 10	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	11	rpgt0d 12704	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
13	6	lt0neg2d 11475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
14	12, 13	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 < 0)
15		0red 10909	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16	5, 15	ltnled 11052	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
17	14, 16	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ -𝐴)
18	3, 17	pm2.65da 813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
19		eldmgm 26076	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
20	1, 18, 19	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  -∞cmnf 10938   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  (,]cioc 13009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-rp 12660  df-ioc 13013

This theorem is referenced by:  rpdmgm  26079