Theorem dmlogdmgm 27068

Description: If 𝐴 is in the continuous domain of the logarithm, then it is in the domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmlogdmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmlogdmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0ge0d 12592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝐴)
4	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	nn0red 12590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	negrebd 11620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8	7	ellogdm 26682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
9	8	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
10	9	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	6, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	11	rpgt0d 13081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
13	6	lt0neg2d 11834	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
14	12, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 < 0)
15		0red 11265	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16	5, 15	ltnled 11409	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
17	14, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ -𝐴)
18	3, 17	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
19		eldmgm 27066	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
20	1, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  -∞cmnf 11294   < clt 11296   ≤ cle 11297  -cneg 11494  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  (,]cioc 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-rp 13036  df-ioc 13393

This theorem is referenced by:  rpdmgm  27069