Theorem dmlogdmgm 26761

Description: If 𝐴 is in the continuous domain of the logarithm, then it is in the domain of the Gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmlogdmgm	⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Proof of Theorem dmlogdmgm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4127	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0ge0d 12540	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ≤ -𝐴)
4	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2	nn0red 12538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	negrebd 11575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
8	7	ellogdm 26380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
9	8	simprbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
10	9	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
11	6, 10	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
12	11	rpgt0d 13024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 < 𝐴)
13	6	lt0neg2d 11789	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
14	12, 13	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → -𝐴 < 0)
15		0red 11222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
16	5, 15	ltnled 11366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
17	14, 16	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ -𝐴)
18	3, 17	pm2.65da 814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ -𝐴 ∈ ℕ0)
19		eldmgm 26759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
20	1, 18, 19	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3946   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  ℝcr 11112  0cc0 11113  -∞cmnf 11251   < clt 11253   ≤ cle 11254  -cneg 11450  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563  ℝ⁺crp 12979  (,]cioc 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-rp 12980  df-ioc 13334

This theorem is referenced by:  rpdmgm  26762