Theorem relogcn 26383

Description: The real logarithm function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
relogcn	⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)

Proof of Theorem relogcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogf1o 26312	. . 3 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
2		f1of 6833	. . 3 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ
4		ax-resscn 11170	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		fss 6734	. . . . 5 ⊢ (((log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℂ)
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℂ
7		rpssre 12986	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
8		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (1 / 𝑥) ∈ V
9		dvrelog 26382	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
10	8, 9	dmmpti 6694	. . . . 5 ⊢ dom (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = ℝ+
11		dvcn 25672	. . . . 5 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = ℝ+) → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ))
12	10, 11	mpan2 688	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ))
13	4, 6, 7, 12	mp3an 1460	. . 3 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ)
14		cncfcdm 24639	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ)) → ((log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ) ↔ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ))
15	4, 13, 14	mp2an 689	. 2 ⊢ ((log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ) ↔ (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
16	3, 15	mpbir 230	1 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  dom cdm 5676   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  ℝcr 11112  1c1 11114   / cdiv 11876  ℝ⁺crp 12979  –cn→ccncf 24617   D cdv 25613  logclog 26300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302

This theorem is referenced by:  logcn  26392  logccv  26408  loglesqrt  26503  logdivsqrle  33961