MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn2 25487
Description: Continuity of the complex power function, when the base is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn2.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn2.k 𝐾 = (𝐽t+)
Assertion
Ref Expression
cxpcn2 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn2
StepHypRef Expression
1 cxpcn2.k . . . 4 𝐾 = (𝐽t+)
2 cxpcn2.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 23535 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 rpcn 12482 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
5 ax-1 6 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
6 eqid 2738 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
76ellogdm 25382 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
84, 5, 7sylanbrc 586 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
98ssriv 3881 . . . . 5 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10 cnex 10696 . . . . . 6 ℂ ∈ V
1110difexi 5196 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ V
12 restabs 21916 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ V) → ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+) = (𝐽t+))
133, 9, 11, 12mp3an 1462 . . . 4 ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+) = (𝐽t+)
141, 13eqtr4i 2764 . . 3 𝐾 = ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+)
153a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
16 difss 4022 . . . 4 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
17 resttopon 21912 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
1815, 16, 17sylancl 589 . . 3 (⊤ → (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
199a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
203toponrestid 21672 . . 3 𝐽 = (𝐽t ℂ)
21 ssidd 3900 . . 3 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
22 eqid 2738 . . . . 5 (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
236, 2, 22cxpcn 25486 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2514, 18, 19, 20, 15, 21, 24cnmpt2res 22428 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2625mptru 1549 1 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2114  Vcvv 3398  cdif 3840  wss 3843  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  -∞cmnf 10751  +crp 12472  (,]cioc 12822  t crest 16797  TopOpenctopn 16798  fldccnfld 20217  TopOnctopon 21661   Cn ccn 21975   ×t ctx 22311  𝑐ccxp 25299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-tan 15517  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-cxp 25301
This theorem is referenced by:  cxpcn3  25489
  Copyright terms: Public domain W3C validator