Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpcn2 24889
 Description: Continuity of the complex power function, when the base is real. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn2.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cxpcn2.k 𝐾 = (𝐽t+)
Assertion
Ref Expression
cxpcn2 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐽
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cxpcn2
StepHypRef Expression
1 cxpcn2.k . . . 4 𝐾 = (𝐽t+)
2 cxpcn2.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22956 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 rpcn 12124 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
5 ax-1 6 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+))
6 eqid 2825 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
76ellogdm 24784 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
84, 5, 7sylanbrc 580 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
98ssriv 3831 . . . . 5 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10 cnex 10333 . . . . . 6 ℂ ∈ V
11 difss 3964 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
1210, 11ssexi 5028 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ V
13 restabs 21340 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ V) → ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+) = (𝐽t+))
143, 9, 12, 13mp3an 1591 . . . 4 ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+) = (𝐽t+)
151, 14eqtr4i 2852 . . 3 𝐾 = ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾t+)
163a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
17 resttopon 21336 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
1816, 11, 17sylancl 582 . . 3 (⊤ → (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
199a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
203toponrestid 21096 . . 3 𝐽 = (𝐽t ℂ)
21 ssidd 3849 . . 3 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
22 eqid 2825 . . . . 5 (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
236, 2, 22cxpcn 24888 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t 𝐽) Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)), 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2515, 18, 19, 20, 16, 21, 24cnmpt2res 21851 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
2625mptru 1666 1 (𝑥 ∈ ℝ+, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑐𝑦)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658  ⊤wtru 1659   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↦ cmpt2 6907  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  -∞cmnf 10389  ℝ+crp 12112  (,]cioc 12464   ↾t crest 16434  TopOpenctopn 16435  ℂfldccnfld 20106  TopOnctopon 21085   Cn ccn 21399   ×t ctx 21734  ↑𝑐ccxp 24701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-tan 15174  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-cxp 24703 This theorem is referenced by:  cxpcn3  24891
 Copyright terms: Public domain W3C validator