MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3z 12537
Description: 3 is an integer. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
3z 3 ∈ ℤ

Proof of Theorem 3z
StepHypRef Expression
1 3nn 12233 . 2 3 ∈ ℕ
21nnzi 12528 1 3 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  3c3 12210  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-z 12501
This theorem is referenced by:  fz0to4untppr  13545  4fvwrd4  13562  fzo13pr  13657  fzo0to3tp  13659  expnass  14113  ef01bndlem  16067  sin01bnd  16068  sin01gt0  16073  3dvds  16214  3dvdsdec  16215  3dvds2dec  16216  n2dvds3  16254  3lcm2e6woprm  16492  lcmf2a3a4e12  16524  3prm  16571  oddprmge3  16577  ge2nprmge4  16578  2logb9irr  26148  2irrexpqALT  26153  dcubic1lem  26196  dcubic2  26197  dcubic  26199  cubic2  26201  cubic  26202  quart  26214  ppiublem1  26553  ppiublem2  26554  ppiub  26555  chtub  26563  bposlem4  26638  bposlem5  26639  bposlem6  26640  bposlem8  26642  lgsdir2lem5  26680  2lgsoddprmlem3  26765  dchrvmasumiflem1  26852  mulog2sumlem2  26886  pntlemo  26958  pntlem3  26960  pntleml  26962  istrkg3ld  27406  axlowdimlem7  27900  axlowdimlem16  27909  axlowdimlem17  27910  usgrexmplef  28210  wlk2v2e  29104  ex-bc  29399  ex-dvds  29403  ex-gcd  29404  ex-ind-dvds  29408  cyc3conja  32009  prodfzo03  33219  hgt750lemd  33264  lcm3un  40475  3lexlogpow2ineq1  40518  aks4d1p1p7  40534  aks4d1p1  40536  2np3bcnp1  40555  3cubeslem4  41015  jm2.23  41323  jm2.20nn  41324  inductionexd  42434  lhe4.4ex1a  42616  wallispilem4  44316  smfmullem2  45040  smfmullem4  45042  fmtnoge3  45729  fmtnoprmfac2lem1  45765  31prm  45796  lighneallem4b  45808  41prothprmlem2  45817  41prothprm  45818  6even  45910  2exp340mod341  45932  4fppr1  45934  9fppr8  45936  nfermltl8rev  45941  nfermltl2rev  45942  sbgoldbalt  45980  sbgoldbo  45986  nnsum3primesle9  45993  nnsum4primesodd  45995  nnsum4primesoddALTV  45996  nnsum4primeseven  45999  nnsum4primesevenALTV  46000  linevalexample  46483  zlmodzxzequa  46584  zlmodzxznm  46585  zlmodzxzequap  46587  zlmodzxzldeplem3  46590  zlmodzxzldep  46592  ldepsnlinclem2  46594  ldepsnlinc  46596
  Copyright terms: Public domain W3C validator