Theorem nnzi 12720

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzi.1	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nnzi	⊢ 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nnzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12715	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		nnzi.1	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	sselii 3928	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ℕcn 12335  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694

This theorem is used by:  1z  12726  2z  12728  3z  12729  4z  12730  5eluz3  13010  faclbnd4lem1  14437  3dvds  16501  3dvdsdec  16502  divalglem6  16568  divalglem7  16569  divalglem8  16570  divalglem9  16571  ndvdsi  16582  6gcd4e2  16711  3lcm2e6  16908  prm23ge5  16993  pockthi  17085  modxai  17246  mod2xnegi  17249  gcdmodi  17252  strleun  17335  strle1  17336  lt6abl  20109  2logb9irr  27123  ppiublem1  27529  ppiublem2  27530  ppiub  27531  bpos1lem  27609  bposlem6  27616  bposlem8  27618  bposlem9  27619  lgsdir2lem5  27656  2lgsoddprmlem2  27736  ex-mod  31050  ex-dvds  31057  ex-gcd  31058  ex-lcm  31059  ballotlem1  35119  ballotlem2  35121  ballotlemfmpn  35127  ballotlemsdom  35144  ballotlemsel1i  35145  ballotlemsima  35148  ballotlemfrceq  35161  ballotlemfrcn0  35162  chtvalz  35258  hgt750lem  35280  gcdcomnni  43038  gcdnegnni  43039  neggcdnni  43040  gcdaddmzz2nni  43044  12gcd5e1  43053  60gcd7e1  43055  420gcd8e4  43056  lcmeprodgcdi  43057  lcmineqlem23  43101  lcmineqlem  43102  3lexlogpow5ineq1  43104  inductionexd  45154  hoidmvlelem3  47606  goldratmolem2  47932  fmtnoprmfac2lem1  48650  31prm  48681  mod42tp1mod8  48686  nprmdvdsfacm1lem4  48707  nprmdvdsfacm1  48708  ppivalnnnprmge6  48710  6even  48808  8even  48810  341fppr2  48831  8exp8mod9  48833  9fppr8  48834  nfermltl8rev  48839  nfermltlrev  48841  gbowge7  48860  gbege6  48862  stgoldbwt  48873  sbgoldbwt  48874  sbgoldbm  48881  mogoldbb  48882  sbgoldbo  48884  nnsum3primesle9  48891  nnsum4primeseven  48897  nnsum4primesevenALTV  48898  wtgoldbnnsum4prm  48899  bgoldbnnsum3prm  48901  bgoldbtbndlem1  48902  tgblthelfgott  48912  tgoldbach  48914  gpg5nbgrvtx13starlem2  49169  gpg5nbgr3star  49178  pgnioedg1  49205  pgnioedg2  49206  pgnioedg3  49207  pgnioedg4  49208  pgnbgreunbgrlem1  49210  pgnbgreunbgrlem4  49216  grlimedgnedg  49228  zlmodzxzequa  49607  zlmodzxznm  49608  zlmodzxzequap  49610  zlmodzxzldeplem3  49613  zlmodzxzldep  49615  ldepsnlinclem2  49617  ldepsnlinc  49619  veronesev1lem  50972  veronesev2lem  50973  veronesev3lem  50974  veronesev4lem  50975  veronesev5lem  50976  veronesev6lem  50977