MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnzi 11667
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzi.1 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
nnzi 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nnzi
StepHypRef Expression
1 nnssz 11663 . 2 ℕ ⊆ ℤ
2 nnzi.1 . 2 𝑁 ∈ ℕ
31, 2sselii 3795 1 𝑁 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2156  cn 11305  cz 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-z 11644
This theorem is referenced by:  1z  11673  2z  11675  3z  11676  4z  11677  faclbnd4lem1  13300  ef01bndlem  15134  sin01bnd  15135  3dvds  15275  3dvdsdec  15276  divalglem6  15341  divalglem7  15342  divalglem8  15343  divalglem9  15344  ndvdsi  15355  6gcd4e2  15474  3lcm2e6  15657  prm23ge5  15737  pockthi  15828  modxai  15989  mod2xnegi  15992  gcdmodi  15995  strlemor1OLD  16180  strleun  16183  strle1  16184  lt6abl  18497  ppiublem1  25141  ppiublem2  25142  ppiub  25143  bpos1lem  25221  bposlem6  25228  bposlem8  25230  bposlem9  25231  lgsdir2lem5  25268  2lgsoddprmlem2  25348  ex-mod  27637  ex-dvds  27644  ex-gcd  27645  ex-lcm  27646  ballotlem1  30873  ballotlem2  30875  ballotlemfmpn  30881  ballotlemsdom  30898  ballotlemsel1i  30899  ballotlemsima  30902  ballotlemfrceq  30915  ballotlemfrcn0  30916  chtvalz  31032  hgt750lem  31054  inductionexd  38953  hoidmvlelem3  41293  fmtnoprmfac2lem1  42053  31prm  42087  mod42tp1mod8  42094  6even  42195  8even  42197  gbowge7  42226  gbege6  42228  stgoldbwt  42239  sbgoldbwt  42240  sbgoldbm  42247  mogoldbb  42248  sbgoldbo  42250  nnsum3primesle9  42257  nnsum4primeseven  42263  nnsum4primesevenALTV  42264  wtgoldbnnsum4prm  42265  bgoldbnnsum3prm  42267  bgoldbtbndlem1  42268  tgblthelfgott  42278  tgoldbach  42280  zlmodzxzequa  42853  zlmodzxznm  42854  zlmodzxzequap  42856  zlmodzxzldeplem3  42859  zlmodzxzldep  42861  ldepsnlinclem2  42863  ldepsnlinc  42865
  Copyright terms: Public domain W3C validator