MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnzi 11603
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzi.1 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
nnzi 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nnzi
StepHypRef Expression
1 nnssz 11599 . 2 ℕ ⊆ ℤ
2 nnzi.1 . 2 𝑁 ∈ ℕ
31, 2sselii 3749 1 𝑁 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145  cn 11222  cz 11579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-z 11580
This theorem is referenced by:  1z  11609  2z  11611  3z  11612  4z  11613  faclbnd4lem1  13284  ef01bndlem  15120  sin01bnd  15121  3dvds  15261  3dvdsOLD  15262  3dvdsdec  15263  3dvdsdecOLD  15264  divalglem6  15329  divalglem7  15330  divalglem8  15331  divalglem9  15332  ndvdsi  15344  6gcd4e2  15463  3lcm2e6  15647  prm23ge5  15727  pockthi  15818  modxai  15979  mod2xnegi  15982  gcdmodi  15985  strlemor1OLD  16177  strleun  16180  strle1  16181  lt6abl  18503  ppiublem1  25148  ppiublem2  25149  ppiub  25150  bpos1lem  25228  bposlem6  25235  bposlem8  25237  bposlem9  25238  lgsdir2lem5  25275  2lgsoddprmlem2  25355  ex-mod  27648  ex-dvds  27655  ex-gcd  27656  ex-lcm  27657  ballotlem1  30888  ballotlem2  30890  ballotlemfmpn  30896  ballotlemsdom  30913  ballotlemsel1i  30914  ballotlemsima  30917  ballotlemfrceq  30930  ballotlemfrcn0  30931  chtvalz  31047  hgt750lem  31069  inductionexd  38979  hoidmvlelem3  41331  fmtnoprmfac2lem1  42006  31prm  42040  mod42tp1mod8  42047  6even  42148  8even  42150  gbowge7  42179  gbege6  42181  stgoldbwt  42192  sbgoldbwt  42193  sbgoldbm  42200  mogoldbb  42201  sbgoldbo  42203  nnsum3primesle9  42210  nnsum4primeseven  42216  nnsum4primesevenALTV  42217  wtgoldbnnsum4prm  42218  bgoldbnnsum3prm  42220  bgoldbtbndlem1  42221  tgblthelfgott  42231  tgoldbach  42233  tgblthelfgottOLD  42237  tgoldbachOLD  42240  zlmodzxzequa  42813  zlmodzxznm  42814  zlmodzxzequap  42816  zlmodzxzldeplem3  42819  zlmodzxzldep  42821  ldepsnlinclem2  42823  ldepsnlinc  42825
  Copyright terms: Public domain W3C validator