MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnzi 11994
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzi.1 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
nnzi 𝑁 ∈ ℤ

Proof of Theorem nnzi
StepHypRef Expression
1 nnssz 11990 . 2 ℕ ⊆ ℤ
2 nnzi.1 . 2 𝑁 ∈ ℕ
31, 2sselii 3961 1 𝑁 ∈ ℤ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  cn 11626  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-neg 10861  df-nn 11627  df-z 11970
This theorem is referenced by:  1z  12000  2z  12002  3z  12003  4z  12004  faclbnd4lem1  13641  3dvds  15668  3dvdsdec  15669  divalglem6  15737  divalglem7  15738  divalglem8  15739  divalglem9  15740  ndvdsi  15751  6gcd4e2  15874  3lcm2e6  16060  prm23ge5  16140  pockthi  16231  modxai  16392  mod2xnegi  16395  gcdmodi  16398  strleun  16579  strle1  16580  lt6abl  18944  2logb9irr  25300  ppiublem1  25705  ppiublem2  25706  ppiub  25707  bpos1lem  25785  bposlem6  25792  bposlem8  25794  bposlem9  25795  lgsdir2lem5  25832  2lgsoddprmlem2  25912  ex-mod  28155  ex-dvds  28162  ex-gcd  28163  ex-lcm  28164  ballotlem1  31643  ballotlem2  31645  ballotlemfmpn  31651  ballotlemsdom  31668  ballotlemsel1i  31669  ballotlemsima  31672  ballotlemfrceq  31685  ballotlemfrcn0  31686  chtvalz  31799  hgt750lem  31821  inductionexd  40383  hoidmvlelem3  42756  fmtnoprmfac2lem1  43605  31prm  43637  mod42tp1mod8  43644  6even  43753  8even  43755  341fppr2  43776  8exp8mod9  43778  9fppr8  43779  nfermltl8rev  43784  nfermltlrev  43786  gbowge7  43805  gbege6  43807  stgoldbwt  43818  sbgoldbwt  43819  sbgoldbm  43826  mogoldbb  43827  sbgoldbo  43829  nnsum3primesle9  43836  nnsum4primeseven  43842  nnsum4primesevenALTV  43843  wtgoldbnnsum4prm  43844  bgoldbnnsum3prm  43846  bgoldbtbndlem1  43847  tgblthelfgott  43857  tgoldbach  43859  zlmodzxzequa  44479  zlmodzxznm  44480  zlmodzxzequap  44482  zlmodzxzldeplem3  44485  zlmodzxzldep  44487  ldepsnlinclem2  44489  ldepsnlinc  44491
  Copyright terms: Public domain W3C validator