Theorem ex-gcd 30143

Description: Example for df-gcd 16443. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12308	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12593	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12317	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12593	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16471	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 689	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12310	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12300	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12379	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11413	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12602	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16461	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12371	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16474	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16475	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16474	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12299	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11223	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12324	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11344	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15250	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2759	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2759	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116   + caddc 11119   ≤ cle 11256  -cneg 11452  3c3 12275  6c6 12278  9c9 12281  ℤcz 12565  abscabs 15188   gcd cgcd 16442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-gcd 16443

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30144