Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-gcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-gcd 28355
 Description: Example for df-gcd 15907. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 11776 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 12058 . . 3 6 ∈ ℤ
3 9nn 11785 . . . 4 9 ∈ ℕ
43nnzi 12058 . . 3 9 ∈ ℤ
5 neggcd 15935 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
62, 4, 5mp2an 691 . 2 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7 6cn 11778 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
8 3cn 11768 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
9 6p3e9 11847 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
107, 8, 9addcomli 10883 . . . . 5 (3 + 6) = 9
1110eqcomi 2767 . . . 4 9 = (3 + 6)
1211oveq2i 7167 . . 3 (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13 3z 12067 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 gcdcom 15925 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
152, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16 3p3e6 11839 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
1716eqcomi 2767 . . . . . 6 6 = (3 + 3)
1817oveq2i 7167 . . . . 5 (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
1915, 18eqtri 2781 . . . 4 (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20 gcdadd 15938 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
212, 13, 20mp2an 691 . . . 4 (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22 gcdid 15939 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5 (3 gcd 3) = (abs‘3)
24 gcdadd 15938 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
2513, 13, 24mp2an 691 . . . . 5 (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26 3re 11767 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
27 0re 10694 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 3pos 11792 . . . . . . 7 0 < 3
2927, 26, 28ltleii 10814 . . . . . 6 0 ≤ 3
30 absid 14717 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
3126, 29, 30mp2an 691 . . . . 5 (abs‘3) = 3
3223, 25, 313eqtr3i 2789 . . . 4 (3 gcd (3 + 3)) = 3
3319, 21, 323eqtr3i 2789 . . 3 (6 gcd (3 + 6)) = 3
3412, 33eqtri 2781 . 2 (6 gcd 9) = 3
356, 34eqtri 2781 1 (-6 gcd 9) = 3
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588   + caddc 10591   ≤ cle 10727  -cneg 10922  3c3 11743  6c6 11746  9c9 11749  ℤcz 12033  abscabs 14654   gcd cgcd 15906 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-dvds 15669  df-gcd 15907 This theorem is referenced by:  ex-lcm  28356
 Copyright terms: Public domain W3C validator