Theorem ex-gcd 30486

Description: Example for df-gcd 16529. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12353	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12639	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12362	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12639	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16557	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12355	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12424	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11451	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12648	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16547	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12416	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16560	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16561	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16560	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12344	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12369	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11382	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15332	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2771	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2771	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2763	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2763	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   ≤ cle 11294  -cneg 11491  3c3 12320  6c6 12323  9c9 12326  ℤcz 12611  abscabs 15270   gcd cgcd 16528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30487