Theorem ex-gcd 30845

Description: Example for df-gcd 16578. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12348	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12636	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12357	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12636	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16606	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 705	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12340	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12418	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11420	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2775	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12645	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16596	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12410	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2775	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16609	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16610	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16609	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12339	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11228	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12367	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11351	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15373	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2797	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2797	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2789	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2789	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118   + caddc 11121   ≤ cle 11262  -cneg 11460  3c3 12314  6c6 12317  9c9 12320  ℤcz 12609  abscabs 15311   gcd cgcd 16577

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-gcd 16578

This theorem is used by:  ex-lcm  30846