Theorem ex-gcd 30552

Description: Example for df-gcd 16462. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12268	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12549	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12277	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12549	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16490	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 698	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12270	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12260	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12334	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11336	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7374	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12558	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16480	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12326	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7374	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16493	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16494	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16493	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12259	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11144	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12284	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11267	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15256	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2771	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2771	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2763	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2763	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   ≤ cle 11178  -cneg 11376  3c3 12235  6c6 12238  9c9 12241  ℤcz 12522  abscabs 15194   gcd cgcd 16461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30553