Theorem ex-gcd 30542

Description: Example for df-gcd 16455. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12261	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12542	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12270	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12542	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16483	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 693	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12263	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12253	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12327	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11329	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12551	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16473	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12319	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16486	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16487	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16486	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12252	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11137	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12277	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11260	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15249	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2760	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2760	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   ≤ cle 11171  -cneg 11369  3c3 12228  6c6 12231  9c9 12234  ℤcz 12515  abscabs 15187   gcd cgcd 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30543