Theorem ex-gcd 30476

Description: Example for df-gcd 16532. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12355	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12641	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12364	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12641	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16560	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12357	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12347	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12426	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11453	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12650	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16550	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12418	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16563	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16564	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16563	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12346	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11263	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12371	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11384	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15335	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2773	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2773	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2765	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2765	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   ≤ cle 11296  -cneg 11493  3c3 12322  6c6 12325  9c9 12328  ℤcz 12613  abscabs 15273   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30477