MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-gcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-gcd 28150
Description: Example for df-gcd 15834. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 11715 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 11995 . . 3 6 ∈ ℤ
3 9nn 11724 . . . 4 9 ∈ ℕ
43nnzi 11995 . . 3 9 ∈ ℤ
5 neggcd 15861 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
62, 4, 5mp2an 688 . 2 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7 6cn 11717 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
8 3cn 11707 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
9 6p3e9 11786 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
107, 8, 9addcomli 10821 . . . . 5 (3 + 6) = 9
1110eqcomi 2835 . . . 4 9 = (3 + 6)
1211oveq2i 7159 . . 3 (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13 3z 12004 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 gcdcom 15852 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
152, 13, 14mp2an 688 . . . . 5 (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16 3p3e6 11778 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
1716eqcomi 2835 . . . . . 6 6 = (3 + 3)
1817oveq2i 7159 . . . . 5 (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
1915, 18eqtri 2849 . . . 4 (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20 gcdadd 15864 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
212, 13, 20mp2an 688 . . . 4 (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22 gcdid 15865 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5 (3 gcd 3) = (abs‘3)
24 gcdadd 15864 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
2513, 13, 24mp2an 688 . . . . 5 (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26 3re 11706 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
27 0re 10632 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 3pos 11731 . . . . . . 7 0 < 3
2927, 26, 28ltleii 10752 . . . . . 6 0 ≤ 3
30 absid 14646 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
3126, 29, 30mp2an 688 . . . . 5 (abs‘3) = 3
3223, 25, 313eqtr3i 2857 . . . 4 (3 gcd (3 + 3)) = 3
3319, 21, 323eqtr3i 2857 . . 3 (6 gcd (3 + 6)) = 3
3412, 33eqtri 2849 . 2 (6 gcd 9) = 3
356, 34eqtri 2849 1 (-6 gcd 9) = 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529  cle 10665  -cneg 10860  3c3 11682  6c6 11685  9c9 11688  cz 11970  abscabs 14583   gcd cgcd 15833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-gcd 15834
This theorem is referenced by:  ex-lcm  28151
  Copyright terms: Public domain W3C validator