Theorem ex-gcd 30489

Description: Example for df-gcd 16541. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12382	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12667	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12391	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12667	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16569	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12384	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12374	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12453	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11482	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7459	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12676	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16559	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12445	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16572	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16573	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16572	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12373	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11292	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12398	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11413	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15345	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2776	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2776	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2768	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2768	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   ≤ cle 11325  -cneg 11521  3c3 12349  6c6 12352  9c9 12355  ℤcz 12639  abscabs 15283   gcd cgcd 16540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30490