Theorem ex-gcd 30527

Description: Example for df-gcd 16464. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12270	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12551	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12279	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12551	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16492	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 693	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12272	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12262	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12336	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11338	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7378	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12560	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16482	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12328	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16495	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16496	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16495	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12261	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12286	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11269	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15258	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2767	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2767	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2759	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2759	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   ≤ cle 11180  -cneg 11378  3c3 12237  6c6 12240  9c9 12243  ℤcz 12524  abscabs 15196   gcd cgcd 16463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30528