Theorem ex-gcd 29690

Description: Example for df-gcd 16432. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12297	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12582	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12306	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12582	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16460	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12299	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12289	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12368	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11402	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7415	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12591	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16450	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12360	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7415	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16463	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16464	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16463	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12288	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11212	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12313	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11333	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15239	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2769	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2769	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2761	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2761	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℝcr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   ≤ cle 11245  -cneg 11441  3c3 12264  6c6 12267  9c9 12270  ℤcz 12554  abscabs 15177   gcd cgcd 16431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432

This theorem is referenced by:  ex-lcm  29691