Theorem ex-gcd 30544

Description: Example for df-gcd 16434. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12246	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12527	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12255	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12527	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16462	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 693	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12248	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12238	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12312	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11337	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7379	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12536	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16452	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12304	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16465	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16466	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16465	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12237	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12262	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11268	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15231	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2760	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2760	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   ≤ cle 11179  -cneg 11377  3c3 12213  6c6 12216  9c9 12219  ℤcz 12500  abscabs 15169   gcd cgcd 16433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30545