Theorem ex-gcd 28722

Description: Example for df-gcd 16130. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 11992	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12274	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12001	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12274	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16158	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 688	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 11994	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 11984	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12063	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11097	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12283	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16148	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12055	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16161	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16162	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16161	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 11983	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 10908	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12008	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11028	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 14936	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2774	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2774	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2766	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2766	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   ≤ cle 10941  -cneg 11136  3c3 11959  6c6 11962  9c9 11965  ℤcz 12249  abscabs 14873   gcd cgcd 16129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130

This theorem is referenced by:  ex-lcm  28723