Theorem ex-gcd 31040

Description: Example for df-gcd 16645. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12413	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12701	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12422	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12701	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16675	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 705	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12415	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12405	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12483	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11483	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12710	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16665	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12475	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16678	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16679	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16678	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12404	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11291	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12432	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11414	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15443	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2792	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2792	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2784	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2784	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184   ≤ cle 11325  -cneg 11523  3c3 12379  6c6 12382  9c9 12385  ℤcz 12674  abscabs 15381   gcd cgcd 16644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645

This theorem is used by:  ex-lcm  31041