Theorem ex-gcd 28821

Description: Example for df-gcd 16202. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12062	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12344	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12071	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12344	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16230	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 689	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12064	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12054	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12133	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11167	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12353	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16220	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12125	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16233	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16234	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16233	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12053	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 10977	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12078	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11098	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15008	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2774	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2774	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2766	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2766	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   ≤ cle 11010  -cneg 11206  3c3 12029  6c6 12032  9c9 12035  ℤcz 12319  abscabs 14945   gcd cgcd 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202

This theorem is referenced by:  ex-lcm  28822