Theorem ex-gcd 30419

Description: Example for df-gcd 16424. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12235	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12517	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12244	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12517	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16452	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12237	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12227	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12301	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11326	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7364	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12526	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16442	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12293	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16455	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16456	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16455	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12226	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12251	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11257	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15221	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2760	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2760	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2752	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2752	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   + caddc 11031   ≤ cle 11169  -cneg 11366  3c3 12202  6c6 12205  9c9 12208  ℤcz 12489  abscabs 15159   gcd cgcd 16423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30420