Theorem ex-gcd 29700

Description: Example for df-gcd 16433. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12298	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12583	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12307	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12583	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16461	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12300	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12290	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12369	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11403	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7417	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12592	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16451	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12361	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7417	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16464	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16465	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16464	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12289	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11213	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12314	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11334	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15240	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2769	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2769	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2761	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2761	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   ≤ cle 11246  -cneg 11442  3c3 12265  6c6 12268  9c9 12271  ℤcz 12555  abscabs 15178   gcd cgcd 16432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433

This theorem is referenced by:  ex-lcm  29701