Theorem ex-gcd 30393

Description: Example for df-gcd 16472. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12282	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12564	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12291	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12564	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16500	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12284	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12274	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12348	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11373	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12573	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16490	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12340	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16503	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16504	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16503	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12273	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11183	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12298	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11304	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15269	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2761	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2753	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2753	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   ≤ cle 11216  -cneg 11413  3c3 12249  6c6 12252  9c9 12255  ℤcz 12536  abscabs 15207   gcd cgcd 16471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30394