Theorem ex-gcd 30393

Description: Example for df-gcd 16497. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12355	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12640	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12364	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12640	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16525	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 690	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12357	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12347	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12426	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11458	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7437	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12649	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16515	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12418	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2735	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7437	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16528	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16529	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16528	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12346	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11268	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12371	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11389	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15303	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2762	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2754	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2754	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5155  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℝcr 11159  0cc0 11160   + caddc 11163   ≤ cle 11301  -cneg 11497  3c3 12322  6c6 12325  9c9 12328  ℤcz 12612  abscabs 15241   gcd cgcd 16496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9487  df-inf 9488  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-rp 13031  df-seq 14024  df-exp 14084  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-dvds 16259  df-gcd 16497

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30394