Theorem ex-gcd 30717

Description: Example for df-gcd 16543. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12321	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12609	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12330	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12609	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16571	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 704	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12323	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12313	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12391	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11390	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12618	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16561	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12383	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16574	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16575	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16574	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12312	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11198	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12340	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11321	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15337	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2796	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2796	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2788	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2788	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   + caddc 11091   ≤ cle 11232  -cneg 11430  3c3 12287  6c6 12290  9c9 12293  ℤcz 12582  abscabs 15275   gcd cgcd 16542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-gcd 16543

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30718