Theorem ex-gcd 31063

Description: Example for df-gcd 16670. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ ( -6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12435	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12723	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12444	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12723	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16700	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → ( -6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 705	. 2 ⊢ ( -6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12437	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12427	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12505	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11505	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12732	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16690	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12497	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16703	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16704	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16703	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12426	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11313	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12454	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11436	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15468	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2783	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2783	1 ⊢ ( -6 gcd 9) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   + caddc 11206   ≤ cle 11347   -cneg 11545  3c3 12401  6c6 12404  9c9 12407  ℤcz 12696  abscabs 15406   gcd cgcd 16669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670

This theorem is used by:  ex-lcm  31064