Theorem ex-gcd 30945

Description: Example for df-gcd 16591. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12358	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12646	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12367	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12646	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16619	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 705	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12360	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12428	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11430	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7428	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12655	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16609	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12420	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7428	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16622	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16623	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16622	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12349	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11238	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12377	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11361	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15387	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2793	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2793	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2785	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2785	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   + caddc 11131   ≤ cle 11272  -cneg 11470  3c3 12324  6c6 12327  9c9 12330  ℤcz 12619  abscabs 15325   gcd cgcd 16590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-gcd 16591

This theorem is used by:  ex-lcm  30946