Theorem ex-gcd 30786

Description: Example for df-gcd 16554. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12331	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12619	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12340	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12619	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16582	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 704	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12333	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12323	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12401	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11403	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12628	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16572	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12393	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16585	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16586	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16585	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12322	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11211	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12350	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11334	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15349	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2794	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2794	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2786	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2786	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   + caddc 11104   ≤ cle 11245  -cneg 11443  3c3 12297  6c6 12300  9c9 12303  ℤcz 12592  abscabs 15287   gcd cgcd 16553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30787