Theorem ex-gcd 30448

Description: Example for df-gcd 16416. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12224	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12506	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 12233	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12506	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 16444	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 12226	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 12216	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 12290	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 11315	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 7366	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 12515	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 16434	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 12282	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 7366	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 16447	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 16448	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 16447	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 12215	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 11124	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 12240	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 11246	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 15213	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2764	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2764	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2756	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2756	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  0cc0 11016   + caddc 11019   ≤ cle 11157  -cneg 11355  3c3 12191  6c6 12194  9c9 12197  ℤcz 12478  abscabs 15151   gcd cgcd 16415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174  df-gcd 16416

This theorem is referenced by:  ex-lcm  30449