Theorem islindf3 21786

Description: In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islindf3.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islindf3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Proof of Theorem islindf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		islindf3.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	lindff1 21780	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
4	3	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
5		ssv 3983	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) ⊆ V
6		f1ss 6779	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑊) ⊆ V) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
8		lindfrn 21781	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
10	7, 9	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
11		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
12		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		f1f1orn 6829	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹)
14		f1of1 6817	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
16	15	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
17		f1linds 21785	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
18	11, 12, 16, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹 LIndF 𝑊)
19	10, 18	impbida 800	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ran crn 5655  –1-1→wf1 6528  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274  NzRingcnzr 20472  LModclmod 20817   LIndF clindf 21764  LIndSclinds 21765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-nzr 20473  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lindf 21766  df-linds 21767

This theorem is referenced by:  lindflbs  33394  aacllem  49665