Theorem islindf3 21806

Description: In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islindf3.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islindf3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Proof of Theorem islindf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		islindf3.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	lindff1 21800	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
4	3	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
5		ssv 3946	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) ⊆ V
6		f1ss 6741	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑊) ⊆ V) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
7	4, 5, 6	sylancl 587	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
8		lindfrn 21801	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	8	adantlr 716	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
10	7, 9	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
11		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
12		simprr 773	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		f1f1orn 6791	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹)
14		f1of1 6779	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
16	15	ad2antrl 729	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
17		f1linds 21805	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
18	11, 12, 16, 17	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹 LIndF 𝑊)
19	10, 18	impbida 801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ran crn 5632  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223  NzRingcnzr 20489  LModclmod 20855   LIndF clindf 21784  LIndSclinds 21785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-nzr 20490  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lindf 21786  df-linds 21787

This theorem is referenced by:  lindflbs  33439  extdgfialglem1  33836  aacllem  50276