MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindf3 21774
Description: In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islindf3.l 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islindf3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))))

Proof of Theorem islindf3
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islindf3.l . . . . . 6 𝐿 = (Scalarβ€˜π‘Š)
31, 2lindff1 21768 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’(Baseβ€˜π‘Š))
433expa 1115 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’(Baseβ€˜π‘Š))
5 ssv 4006 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† V
6 f1ss 6804 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹–1-1β†’(Baseβ€˜π‘Š) ∧ (Baseβ€˜π‘Š) βŠ† V) β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V)
74, 5, 6sylancl 584 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V)
8 lindfrn 21769 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
98adantlr 713 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
107, 9jca 510 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF π‘Š) β†’ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š)))
11 simpll 765 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 simprr 771 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))) β†’ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))
13 f1f1orn 6855 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
14 f1of1 6843 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹–1-1-ontoβ†’ran 𝐹 β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’ran 𝐹)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’ran 𝐹)
1615ad2antrl 726 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))) β†’ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’ran 𝐹)
17 f1linds 21773 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1β†’ran 𝐹) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
1811, 12, 16, 17syl3anc 1368 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))) β†’ 𝐹 LIndF π‘Š)
1910, 18impbida 799 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) β†’ (𝐹 LIndF π‘Š ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1β†’V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ran crn 5683  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245  NzRingcnzr 20465  LModclmod 20757   LIndF clindf 21752  LIndSclinds 21753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-nzr 20466  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lindf 21754  df-linds 21755
This theorem is referenced by:  lindflbs  33127  aacllem  48330
  Copyright terms: Public domain W3C validator