Theorem islindf3 21742

Description: In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islindf3.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islindf3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Proof of Theorem islindf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		islindf3.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	lindff1 21736	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
4	3	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
5		ssv 3974	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) ⊆ V
6		f1ss 6764	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑊) ⊆ V) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
7	4, 5, 6	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
8		lindfrn 21737	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	8	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
10	7, 9	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
11		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
12		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		f1f1orn 6814	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹)
14		f1of1 6802	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
16	15	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
17		f1linds 21741	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
18	11, 12, 16, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹 LIndF 𝑊)
19	10, 18	impbida 800	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ran crn 5642  –1-1→wf1 6511  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230  NzRingcnzr 20428  LModclmod 20773   LIndF clindf 21720  LIndSclinds 21721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-nzr 20429  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lindf 21722  df-linds 21723

This theorem is referenced by:  lindflbs  33357  aacllem  49794