MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindf3 21846
Description: In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islindf3.l 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islindf3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Proof of Theorem islindf3
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 islindf3.l . . . . . 6 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
31, 2lindff1 21840 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1→(Base‘𝑊))
433expa 1119 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1→(Base‘𝑊))
5 ssv 4008 . . . 4 (Base‘𝑊) ⊆ V
6 f1ss 6809 . . . 4 ((𝐹:dom 𝐹1-1→(Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑊) ⊆ V) → 𝐹:dom 𝐹1-1→V)
74, 5, 6sylancl 586 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹1-1→V)
8 lindfrn 21841 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
98adantlr 715 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
107, 9jca 511 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
11 simpll 767 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
12 simprr 773 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
13 f1f1orn 6859 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹1-1→V → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
14 f1of1 6847 . . . . 5 (𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝐹:dom 𝐹1-1→ran 𝐹)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹1-1→V → 𝐹:dom 𝐹1-1→ran 𝐹)
1615ad2antrl 728 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹:dom 𝐹1-1→ran 𝐹)
17 f1linds 21845 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:dom 𝐹1-1→ran 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
1811, 12, 16, 17syl3anc 1373 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹 LIndF 𝑊)
1910, 18impbida 801 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  NzRingcnzr 20512  LModclmod 20858   LIndF clindf 21824  LIndSclinds 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lindf 21826  df-linds 21827
This theorem is referenced by:  lindflbs  33407  aacllem  49320
  Copyright terms: Public domain W3C validator