Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem36 41863
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1 𝑄
stoweidlem36.2 𝑡𝐻
stoweidlem36.3 𝑡𝐹
stoweidlem36.4 𝑡𝐺
stoweidlem36.5 𝑡𝜑
stoweidlem36.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem36.7 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem36.8 𝑇 = 𝐽
stoweidlem36.9 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
stoweidlem36.10 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
stoweidlem36.11 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
stoweidlem36.12 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem36.13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem36.14 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.16 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem36.17 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem36.18 (𝜑𝐹𝐴)
stoweidlem36.19 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
stoweidlem36.20 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑁,𝑡   𝑡,,𝑆   𝐴,   ,𝐻   𝑇,   ,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑡,)   𝐺(𝑥,𝑡,)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,)   𝑍(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7 𝑡𝜑
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝐽
5 eqid 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹𝐴)
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐹
109nfeq2 2964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑓 = 𝐹
119nfeq2 2964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑔 = 𝐹
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
1310, 11, 12stoweidlem6 41833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐹𝐴𝐹𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
148, 8, 13mpd3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
157, 14syl5eqel 2887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝐴)
166, 15sseldd 3890 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
173, 4, 5, 16fcnre 40821 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6716 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1918recnd 10515 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆𝑇)
2322ne0d 4221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
244, 3, 21, 16, 23cncmpmax 40828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ran 𝐺 ∧ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
2524simp2d 1136 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2620, 25syl5eqel 2887 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2726recnd 10515 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℂ)
29 0red 10490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3017, 22ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
316, 8sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
323, 4, 5, 31fcnre 40821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
3332, 22ffvelrnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
34 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
35 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
3634, 35neeqtrd 3053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ 0)
3733, 36msqgt0d 11055 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
3833, 33remulcld 10517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ)
39 nfcv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝑆
409, 39nffv 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡(𝐹𝑆)
41 nfcv 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ·
4240, 41, 40nfov 7046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆))
43 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑆 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑆))
4443, 43oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4539, 42, 44, 7fvmptf 6655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4622, 38, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4737, 46breqtrrd 4990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐺𝑆))
4824simp3d 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
49 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑆))
5049breq1d 4972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
5150rspccva 3558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑆𝑇) → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5248, 22, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5329, 30, 25, 47, 52ltletrd 10647 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5453gt0ne0d 11052 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5520neeq1i 3048 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 0 ↔ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5654, 55sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ≠ 0)
5819, 28, 57divrecd 11267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
59 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
6026, 56rereccld 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
62 eqid 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
6362fvmpt2 6645 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6459, 61, 63syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6564oveq2d 7032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
6658, 65eqtr4d 2834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)))
672, 66mpteq2da 5054 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
681, 67syl5eq 2843 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
69 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
7069stoweidlem4 41831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
7160, 70mpdan 683 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
72 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8 𝑡𝐺
7372nfeq2 2964 . . . . . . 7 𝑡 𝑓 = 𝐺
74 nfmpt1 5058 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7574nfeq2 2964 . . . . . . 7 𝑡 𝑔 = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7673, 75, 12stoweidlem6 41833 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7715, 71, 76mpd3an23 1455 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7868, 77eqeltrd 2883 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
79 stoweidlem36.17 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑇)
8017, 79ffvelrnd 6717 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
8180, 26, 56redivcld 11316 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ)
82 nfcv 2949 . . . . . . . 8 𝑡𝑍
8372, 82nffv 6548 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐺𝑍)
84 nfcv 2949 . . . . . . . . 9 𝑡 /
85 nfcv 2949 . . . . . . . . 9 𝑡𝑁
8683, 84, 85nfov 7046 . . . . . . . 8 𝑡((𝐺𝑍) / 𝑁)
87 fveq2 6538 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
8887oveq1d 7031 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
8982, 86, 88, 1fvmptf 6655 . . . . . . 7 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
9079, 81, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
91 0re 10489 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
9235, 91syl6eqel 2891 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ ℝ)
9392, 92remulcld 10517 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ)
949, 82nffv 6548 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝐹𝑍)
9594, 41, 94nfov 7046 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍))
96 fveq2 6538 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑍 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑍))
9796, 96oveq12d 7034 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
9882, 95, 97, 7fvmptf 6655 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
9979, 93, 98syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
10035, 35oveq12d 7034 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = (0 · 0))
101 0cn 10479 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
102101mul02i 10676 . . . . . . . . 9 (0 · 0) = 0
103100, 102syl6eq 2847 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = 0)
10499, 103eqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑍) = 0)
105104oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
10627, 56div0d 11263 . . . . . 6 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
10790, 105, 1063eqtrd 2835 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
10832ffvelrnda 6716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
109108msqge0d 11056 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
110108, 108remulcld 10517 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
1117fvmpt2 6645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
11259, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
113109, 112breqtrrd 4990 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐺𝑡))
11426adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
11553, 20syl6breqr 5004 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
116115adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 𝑁)
117 divge0 11357 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑡)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
11818, 113, 114, 116, 117syl22anc 835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
11918, 114, 57redivcld 11316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ)
1201fvmpt2 6645 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
12159, 119, 120syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
122118, 121breqtrrd 4990 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐻𝑡))
12319div1d 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) = (𝐺𝑡))
124 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
125124breq1d 4972 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
126125rspccva 3558 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
12748, 126sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
128127, 20syl6breqr 5004 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ 𝑁)
129123, 128eqbrtrd 4984 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁)
130 1red 10488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
131 0lt1 11010 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 1)
133 lediv23 11380 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
13418, 114, 116, 130, 132, 133syl122anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
135129, 134mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1)
136121, 135eqbrtrd 4984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ≤ 1)
137122, 136jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
138137ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
1392, 138ralrimi 3183 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
140107, 139jca 512 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
141 fveq1 6537 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (𝑍) = (𝐻𝑍))
142141eqeq1d 2797 . . . . . 6 ( = 𝐻 → ((𝑍) = 0 ↔ (𝐻𝑍) = 0))
143 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8 𝑡𝐻
144143nfeq2 2964 . . . . . . 7 𝑡 = 𝐻
145 fveq1 6537 . . . . . . . . 9 ( = 𝐻 → (𝑡) = (𝐻𝑡))
146145breq2d 4974 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ (𝐻𝑡)))
147145breq1d 4972 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ((𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐻𝑡) ≤ 1))
148146, 147anbi12d 630 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
149144, 148ralbid 3195 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
150142, 149anbi12d 630 . . . . 5 ( = 𝐻 → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
151150elrab 3618 . . . 4 (𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝐻𝐴 ∧ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
15278, 140, 151sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))})
153 stoweidlem36.7 . . 3 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
154152, 153syl6eleqr 2894 . 2 (𝜑𝐻𝑄)
15530, 26, 47, 115divgt0d 11423 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐺𝑆) / 𝑁))
15630, 26, 56redivcld 11316 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ)
15772, 39nffv 6548 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
158157, 84, 85nfov 7046 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) / 𝑁)
159 fveq2 6538 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
160159oveq1d 7031 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16139, 158, 160, 1fvmptf 6655 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16222, 156, 161syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
163155, 162breqtrrd 4990 . 2 (𝜑 → 0 < (𝐻𝑆))
164 nfcv 2949 . . . 4 𝐻
165 stoweidlem36.1 . . . . . 6 𝑄
166165nfel2 2965 . . . . 5 𝐻𝑄
167 nfv 1892 . . . . 5 0 < (𝐻𝑆)
168166, 167nfan 1881 . . . 4 (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))
169 eleq1 2870 . . . . 5 ( = 𝐻 → (𝑄𝐻𝑄))
170 fveq1 6537 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (𝑆) = (𝐻𝑆))
171170breq2d 4974 . . . . 5 ( = 𝐻 → (0 < (𝑆) ↔ 0 < (𝐻𝑆)))
172169, 171anbi12d 630 . . . 4 ( = 𝐻 → ((𝑄 ∧ 0 < (𝑆)) ↔ (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))))
173164, 168, 172spcegf 3534 . . 3 (𝐻𝑄 → ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
174173anabsi5 665 . 2 ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
175154, 163, 174syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wex 1761  wnf 1765  wcel 2081  wnfc 2933  wne 2984  wral 3105  {crab 3109  wss 3859   cuni 4745   class class class wbr 4962  cmpt 5041  ran crn 5444  cfv 6225  (class class class)co 7016  supcsup 8750  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522   / cdiv 11145  (,)cioo 12588  topGenctg 16540   Cn ccn 21516  Compccmp 21678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-cmp 21679  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  41870
  Copyright terms: Public domain W3C validator