Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem36 44351
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1 β„²β„Žπ‘„
stoweidlem36.2 Ⅎ𝑑𝐻
stoweidlem36.3 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem36.4 Ⅎ𝑑𝐺
stoweidlem36.5 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem36.6 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem36.7 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem36.8 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem36.9 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
stoweidlem36.10 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
stoweidlem36.11 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
stoweidlem36.12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem36.13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem36.14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
stoweidlem36.17 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
stoweidlem36.18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
stoweidlem36.19 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) β‰  (πΉβ€˜π‘))
stoweidlem36.20 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑔,𝑁,𝑑   𝑑,β„Ž,𝑆   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐻   𝑇,β„Ž   β„Ž,𝑍,𝑑   π‘₯,𝑑,𝑁   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑)   𝑄(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑓,𝑔)   𝐹(π‘₯,𝑑,β„Ž)   𝐺(π‘₯,𝑑,β„Ž)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔)   𝐽(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐾(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑁(𝑓,β„Ž)   𝑍(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = βˆͺ 𝐽
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑑𝐹
109nfeq2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐹
119nfeq2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑 𝑔 = 𝐹
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1310, 11, 12stoweidlem6 44321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
148, 8, 13mpd3an23 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
157, 14eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
166, 15sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
173, 4, 5, 16fcnre 43304 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
1918recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
2322ne0d 4300 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
244, 3, 21, 16, 23cncmpmax 43311 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ran 𝐺 ∧ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
2524simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2620, 25eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2726recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
29 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
3017, 22ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
316, 8sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
323, 4, 5, 31fcnre 43304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
3332, 22ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
34 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) β‰  (πΉβ€˜π‘))
35 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
3634, 35neeqtrd 3014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) β‰  0)
3733, 36msqgt0d 11729 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
3833, 33remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)) ∈ ℝ)
39 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑𝑆
409, 39nffv 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘†)
41 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑑 Β·
4240, 41, 40nfov 7392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†))
43 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘†))
4443, 43oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
4539, 42, 44, 7fvmptf 6974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
4622, 38, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
4737, 46breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < (πΊβ€˜π‘†))
4824simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
49 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘†))
5049breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘†) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
5150rspccva 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5248, 22, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5329, 30, 25, 47, 52ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5453gt0ne0d 11726 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β‰  0)
5520neeq1i 3009 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 β‰  0 ↔ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β‰  0)
5654, 55sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
5756adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 β‰  0)
5819, 28, 57divrecd 11941 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘‘) Β· (1 / 𝑁)))
59 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
6026, 56rereccld 11989 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
62 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
6362fvmpt2 6964 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘) = (1 / 𝑁))
6459, 61, 63syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘) = (1 / 𝑁))
6564oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘)) = ((πΊβ€˜π‘‘) Β· (1 / 𝑁)))
6658, 65eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘)))
672, 66mpteq2da 5208 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))))
681, 67eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))))
69 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
7069stoweidlem4 44319 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
7160, 70mpdan 686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
72 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐺
7372nfeq2 2925 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐺
74 nfmpt1 5218 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7574nfeq2 2925 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 𝑔 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7673, 75, 12stoweidlem6 44321 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
7715, 71, 76mpd3an23 1464 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
7868, 77eqeltrd 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
79 stoweidlem36.17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
8017, 79ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8180, 26, 56redivcld 11990 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
82 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑍
8372, 82nffv 6857 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πΊβ€˜π‘)
84 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 /
85 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝑁
8683, 84, 85nfov 7392 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑((πΊβ€˜π‘) / 𝑁)
87 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑍 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘))
8887oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁))
8982, 86, 88, 1fvmptf 6974 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁))
9079, 81, 89syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁))
91 0re 11164 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
9235, 91eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
9392, 92remulcld 11192 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
949, 82nffv 6857 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘)
9594, 41, 94nfov 7392 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘))
96 fveq2 6847 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑍 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘))
9796, 96oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)))
9882, 95, 97, 7fvmptf 6974 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)))
9979, 93, 98syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)))
10035, 35oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) = (0 Β· 0))
101 0cn 11154 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
102101mul02i 11351 . . . . . . . . 9 (0 Β· 0) = 0
103100, 102eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) = 0)
10499, 103eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) = 0)
105104oveq1d 7377 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
10627, 56div0d 11937 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
10790, 105, 1063eqtrd 2781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = 0)
10832ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
109108msqge0d 11730 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
110108, 108remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
1117fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
11259, 110, 111syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
113109, 112breqtrrd 5138 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘‘))
11426adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
11553, 20breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
116115adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 < 𝑁)
117 divge0 12031 . . . . . . . . . 10 ((((πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘‘)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
11818, 113, 114, 116, 117syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
11918, 114, 57redivcld 11990 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
1201fvmpt2 6964 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
12159, 119, 120syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
122118, 121breqtrrd 5138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
12319div1d 11930 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) = (πΊβ€˜π‘‘))
124 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑑 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘‘))
125124breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
126125rspccva 3583 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
12748, 126sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
128127, 20breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ 𝑁)
129123, 128eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) ≀ 𝑁)
130 1red 11163 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
131 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 < 1)
133 lediv23 12054 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) β†’ (((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ≀ 1 ↔ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) ≀ 𝑁))
13418, 114, 116, 130, 132, 133syl122anc 1380 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ≀ 1 ↔ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) ≀ 𝑁))
135129, 134mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ≀ 1)
136121, 135eqbrtrd 5132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)
137122, 136jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
138137ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1392, 138ralrimi 3243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
140107, 139jca 513 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
141 fveq1 6846 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Žβ€˜π‘) = (π»β€˜π‘))
142141eqeq1d 2739 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ↔ (π»β€˜π‘) = 0))
143 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐻
144143nfeq2 2925 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 β„Ž = 𝐻
145 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π»β€˜π‘‘))
146145breq2d 5122 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝐻 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘)))
147145breq1d 5120 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
148146, 147anbi12d 632 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
149144, 148ralbid 3259 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
150142, 149anbi12d 632 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ (((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)) ↔ ((π»β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))))
151150elrab 3650 . . . 4 (𝐻 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))} ↔ (𝐻 ∈ 𝐴 ∧ ((π»β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))))
15278, 140, 151sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))})
153 stoweidlem36.7 . . 3 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
154152, 153eleqtrrdi 2849 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑄)
15530, 26, 47, 115divgt0d 12097 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
15630, 26, 56redivcld 11990 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁) ∈ ℝ)
15772, 39nffv 6857 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πΊβ€˜π‘†)
158157, 84, 85nfov 7392 . . . . 5 Ⅎ𝑑((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁)
159 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑆 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘†))
160159oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
16139, 158, 160, 1fvmptf 6974 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘†) = ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
16222, 156, 161syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘†) = ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
163155, 162breqtrrd 5138 . 2 (πœ‘ β†’ 0 < (π»β€˜π‘†))
164 nfcv 2908 . . . 4 β„²β„Žπ»
165 stoweidlem36.1 . . . . . 6 β„²β„Žπ‘„
166165nfel2 2926 . . . . 5 β„²β„Ž 𝐻 ∈ 𝑄
167 nfv 1918 . . . . 5 β„²β„Ž0 < (π»β€˜π‘†)
168166, 167nfan 1903 . . . 4 β„²β„Ž(𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†))
169 eleq1 2826 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Ž ∈ 𝑄 ↔ 𝐻 ∈ 𝑄))
170 fveq1 6846 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Žβ€˜π‘†) = (π»β€˜π‘†))
171170breq2d 5122 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ (0 < (β„Žβ€˜π‘†) ↔ 0 < (π»β€˜π‘†)))
172169, 171anbi12d 632 . . . 4 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)) ↔ (𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†))))
173164, 168, 172spcegf 3554 . . 3 (𝐻 ∈ 𝑄 β†’ ((𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†))))
174173anabsi5 668 . 2 ((𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
175154, 163, 174syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  (,)cioo 13271  topGenctg 17326   Cn ccn 22591  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  44358
  Copyright terms: Public domain W3C validator