Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem36 40893
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1 𝑄
stoweidlem36.2 𝑡𝐻
stoweidlem36.3 𝑡𝐹
stoweidlem36.4 𝑡𝐺
stoweidlem36.5 𝑡𝜑
stoweidlem36.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem36.7 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem36.8 𝑇 = 𝐽
stoweidlem36.9 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
stoweidlem36.10 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
stoweidlem36.11 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
stoweidlem36.12 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem36.13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem36.14 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.16 (𝜑𝑆𝑇)
stoweidlem36.17 (𝜑𝑍𝑇)
stoweidlem36.18 (𝜑𝐹𝐴)
stoweidlem36.19 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
stoweidlem36.20 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   𝜑,𝑓,𝑔   𝑔,𝑁,𝑡   𝑡,,𝑆   𝐴,   ,𝐻   𝑇,   ,𝑍,𝑡   𝑥,𝑡,𝑁   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑔)   𝐹(𝑥,𝑡,)   𝐺(𝑥,𝑡,)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,)   𝑍(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6 𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7 𝑡𝜑
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝐽
5 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹𝐴)
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐹
109nfeq2 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑓 = 𝐹
119nfeq2 2923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 𝑔 = 𝐹
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
1310, 11, 12stoweidlem6 40863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝐹𝐴𝐹𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
148, 8, 13mpd3an23 1587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡))) ∈ 𝐴)
157, 14syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝐴)
166, 15sseldd 3764 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
173, 4, 5, 16fcnre 39839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝑇⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
1918recnd 10324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆𝑇)
2322ne0d 4088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
244, 3, 21, 16, 23cncmpmax 39846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ran 𝐺 ∧ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
2524simp2d 1173 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2620, 25syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2726recnd 10324 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2827adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℂ)
29 0red 10299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3017, 22ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ∈ ℝ)
316, 8sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
323, 4, 5, 31fcnre 39839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
3332, 22ffvelrnd 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ)
34 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ (𝐹𝑍))
35 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝑍) = 0)
3634, 35neeqtrd 3006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑆) ≠ 0)
3733, 36msqgt0d 10851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
3833, 33remulcld 10326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ)
39 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝑆
409, 39nffv 6387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡(𝐹𝑆)
41 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡 ·
4240, 41, 40nfov 6874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆))
43 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑆 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑆))
4443, 43oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4539, 42, 44, 7fvmptf 6492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4622, 38, 45syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺𝑆) = ((𝐹𝑆) · (𝐹𝑆)))
4737, 46breqtrrd 4839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐺𝑆))
4824simp3d 1174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
49 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑆))
5049breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
5150rspccva 3461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑆𝑇) → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5248, 22, 51syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝑆) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5329, 30, 25, 47, 52ltletrd 10453 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5453gt0ne0d 10848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5520neeq1i 3001 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ≠ 0 ↔ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≠ 0)
5654, 55sylibr 225 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
5756adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ≠ 0)
5819, 28, 57divrecd 11060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
59 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
6026, 56rereccld 11108 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
62 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
6362fvmpt2 6482 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6459, 61, 63syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡) = (1 / 𝑁))
6564oveq2d 6860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)) = ((𝐺𝑡) · (1 / 𝑁)))
6658, 65eqtr4d 2802 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡)))
672, 66mpteq2da 4904 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) / 𝑁)) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
681, 67syl5eq 2811 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))))
69 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
7069stoweidlem4 40861 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
7160, 70mpdan 678 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
72 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8 𝑡𝐺
7372nfeq2 2923 . . . . . . 7 𝑡 𝑓 = 𝐺
74 nfmpt1 4908 . . . . . . . 8 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7574nfeq2 2923 . . . . . . 7 𝑡 𝑔 = (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7673, 75, 12stoweidlem6 40863 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐴 ∧ (𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7715, 71, 76mpd3an23 1587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝐺𝑡) · ((𝑡𝑇 ↦ (1 / 𝑁))‘𝑡))) ∈ 𝐴)
7868, 77eqeltrd 2844 . . . 4 (𝜑𝐻𝐴)
79 stoweidlem36.17 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑇)
8017, 79ffvelrnd 6552 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ ℝ)
8180, 26, 56redivcld 11109 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ)
82 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑡𝑍
8372, 82nffv 6387 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐺𝑍)
84 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑡 /
85 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑡𝑁
8683, 84, 85nfov 6874 . . . . . . . 8 𝑡((𝐺𝑍) / 𝑁)
87 fveq2 6377 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑍))
8887oveq1d 6859 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
8982, 86, 88, 1fvmptf 6492 . . . . . . 7 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐺𝑍) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
9079, 81, 89syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑍) = ((𝐺𝑍) / 𝑁))
91 0re 10297 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
9235, 91syl6eqel 2852 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑍) ∈ ℝ)
9392, 92remulcld 10326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ)
949, 82nffv 6387 . . . . . . . . . . 11 𝑡(𝐹𝑍)
9594, 41, 94nfov 6874 . . . . . . . . . 10 𝑡((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍))
96 fveq2 6377 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑍 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑍))
9796, 96oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
9882, 95, 97, 7fvmptf 6492 . . . . . . . . 9 ((𝑍𝑇 ∧ ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
9979, 93, 98syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑍) = ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)))
10035, 35oveq12d 6862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = (0 · 0))
101 0cn 10287 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
102101mul02i 10481 . . . . . . . . 9 (0 · 0) = 0
103100, 102syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑍) · (𝐹𝑍)) = 0)
10499, 103eqtrd 2799 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑍) = 0)
105104oveq1d 6859 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑍) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
10627, 56div0d 11056 . . . . . 6 (𝜑 → (0 / 𝑁) = 0)
10790, 105, 1063eqtrd 2803 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻𝑍) = 0)
10832ffvelrnda 6551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
109108msqge0d 10852 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
110108, 108remulcld 10326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
1117fvmpt2 6482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
11259, 110, 111syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) = ((𝐹𝑡) · (𝐹𝑡)))
113109, 112breqtrrd 4839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐺𝑡))
11426adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
11553, 20syl6breqr 4853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
116115adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 𝑁)
117 divge0 11148 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐺𝑡)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
11818, 113, 114, 116, 117syl22anc 867 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝐺𝑡) / 𝑁))
11918, 114, 57redivcld 11109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ)
1201fvmpt2 6482 . . . . . . . . . 10 ((𝑡𝑇 ∧ ((𝐺𝑡) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
12159, 119, 120syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) = ((𝐺𝑡) / 𝑁))
122118, 121breqtrrd 4839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 ≤ (𝐻𝑡))
12319div1d 11049 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) = (𝐺𝑡))
124 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
125124breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
126125rspccva 3461 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑠𝑇 (𝐺𝑠) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
12748, 126sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
128127, 20syl6breqr 4853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐺𝑡) ≤ 𝑁)
129123, 128eqbrtrd 4833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁)
130 1red 10296 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 1 ∈ ℝ)
131 0lt1 10806 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡𝑇) → 0 < 1)
133 lediv23 11171 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
13418, 114, 116, 130, 132, 133syl122anc 1498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑡) / 1) ≤ 𝑁))
135129, 134mpbird 248 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐺𝑡) / 𝑁) ≤ 1)
136121, 135eqbrtrd 4833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐻𝑡) ≤ 1)
137122, 136jca 507 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
138137ex 401 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
1392, 138ralrimi 3104 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))
140107, 139jca 507 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
141 fveq1 6376 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → (𝑍) = (𝐻𝑍))
142141eqeq1d 2767 . . . . . 6 ( = 𝐻 → ((𝑍) = 0 ↔ (𝐻𝑍) = 0))
143 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8 𝑡𝐻
144143nfeq2 2923 . . . . . . 7 𝑡 = 𝐻
145 fveq1 6376 . . . . . . . . 9 ( = 𝐻 → (𝑡) = (𝐻𝑡))
146145breq2d 4823 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ (𝐻𝑡)))
147145breq1d 4821 . . . . . . . 8 ( = 𝐻 → ((𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐻𝑡) ≤ 1))
148146, 147anbi12d 624 . . . . . . 7 ( = 𝐻 → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
149144, 148ralbid 3130 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1)))
150142, 149anbi12d 624 . . . . 5 ( = 𝐻 → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
151150elrab 3521 . . . 4 (𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))} ↔ (𝐻𝐴 ∧ ((𝐻𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝐻𝑡) ∧ (𝐻𝑡) ≤ 1))))
15278, 140, 151sylanbrc 578 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))})
153 stoweidlem36.7 . . 3 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
154152, 153syl6eleqr 2855 . 2 (𝜑𝐻𝑄)
15530, 26, 47, 115divgt0d 11215 . . 3 (𝜑 → 0 < ((𝐺𝑆) / 𝑁))
15630, 26, 56redivcld 11109 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ)
15772, 39nffv 6387 . . . . . 6 𝑡(𝐺𝑆)
158157, 84, 85nfov 6874 . . . . 5 𝑡((𝐺𝑆) / 𝑁)
159 fveq2 6377 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑆 → (𝐺𝑡) = (𝐺𝑆))
160159oveq1d 6859 . . . . 5 (𝑡 = 𝑆 → ((𝐺𝑡) / 𝑁) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16139, 158, 160, 1fvmptf 6492 . . . 4 ((𝑆𝑇 ∧ ((𝐺𝑆) / 𝑁) ∈ ℝ) → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
16222, 156, 161syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑆) = ((𝐺𝑆) / 𝑁))
163155, 162breqtrrd 4839 . 2 (𝜑 → 0 < (𝐻𝑆))
164 nfcv 2907 . . . 4 𝐻
165 stoweidlem36.1 . . . . . 6 𝑄
166165nfel2 2924 . . . . 5 𝐻𝑄
167 nfv 2009 . . . . 5 0 < (𝐻𝑆)
168166, 167nfan 1998 . . . 4 (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))
169 eleq1 2832 . . . . 5 ( = 𝐻 → (𝑄𝐻𝑄))
170 fveq1 6376 . . . . . 6 ( = 𝐻 → (𝑆) = (𝐻𝑆))
171170breq2d 4823 . . . . 5 ( = 𝐻 → (0 < (𝑆) ↔ 0 < (𝐻𝑆)))
172169, 171anbi12d 624 . . . 4 ( = 𝐻 → ((𝑄 ∧ 0 < (𝑆)) ↔ (𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆))))
173164, 168, 172spcegf 3442 . . 3 (𝐻𝑄 → ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
174173anabsi5 659 . 2 ((𝐻𝑄 ∧ 0 < (𝐻𝑆)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
175154, 163, 174syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  wss 3734   cuni 4596   class class class wbr 4811  cmpt 4890  ran crn 5280  cfv 6070  (class class class)co 6844  supcsup 8555  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331   / cdiv 10940  (,)cioo 12380  topGenctg 16367   Cn ccn 21311  Compccmp 21472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-cmp 21473  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  40900
  Copyright terms: Public domain W3C validator