Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | stoweidlem36.11 |
. . . . . 6
β’ π» = (π‘ β π β¦ ((πΊβπ‘) / π)) |
2 | | stoweidlem36.5 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘π |
3 | | stoweidlem36.6 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ πΎ = (topGenβran
(,)) |
4 | | stoweidlem36.8 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = βͺ
π½ |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π½ Cn πΎ) = (π½ Cn πΎ) |
6 | | stoweidlem36.13 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π΄ β (π½ Cn πΎ)) |
7 | | stoweidlem36.9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ πΊ = (π‘ β π β¦ ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘))) |
8 | | stoweidlem36.18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β πΉ β π΄) |
9 | | stoweidlem36.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
β²π‘πΉ |
10 | 9 | nfeq2 2925 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
β²π‘ π = πΉ |
11 | 9 | nfeq2 2925 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
β²π‘ π = πΉ |
12 | | stoweidlem36.14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π‘ β π β¦ ((πβπ‘) Β· (πβπ‘))) β π΄) |
13 | 10, 11, 12 | stoweidlem6 44321 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ πΉ β π΄ β§ πΉ β π΄) β (π‘ β π β¦ ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘))) β π΄) |
14 | 8, 8, 13 | mpd3an23 1464 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π‘ β π β¦ ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘))) β π΄) |
15 | 7, 14 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β πΊ β π΄) |
16 | 6, 15 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β πΊ β (π½ Cn πΎ)) |
17 | 3, 4, 5, 16 | fcnre 43304 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β πΊ:πβΆβ) |
18 | 17 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β (πΊβπ‘) β β) |
19 | 18 | recnd 11190 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β π) β (πΊβπ‘) β β) |
20 | | stoweidlem36.10 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = sup(ran πΊ, β, < ) |
21 | | stoweidlem36.12 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π½ β Comp) |
22 | | stoweidlem36.16 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β π) |
23 | 22 | ne0d 4300 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β β
) |
24 | 4, 3, 21, 16, 23 | cncmpmax 43311 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (sup(ran πΊ, β, < ) β ran πΊ β§ sup(ran πΊ, β, < ) β β β§
βπ β π (πΊβπ ) β€ sup(ran πΊ, β, < ))) |
25 | 24 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β sup(ran πΊ, β, < ) β
β) |
26 | 20, 25 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π β β) |
27 | 26 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β β) |
28 | 27 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β π) β π β β) |
29 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 β
β) |
30 | 17, 22 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (πΊβπ) β β) |
31 | 6, 8 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β πΉ β (π½ Cn πΎ)) |
32 | 3, 4, 5, 31 | fcnre 43304 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β πΉ:πβΆβ) |
33 | 32, 22 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (πΉβπ) β β) |
34 | | stoweidlem36.19 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (πΉβπ) β (πΉβπ)) |
35 | | stoweidlem36.20 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (πΉβπ) = 0) |
36 | 34, 35 | neeqtrd 3014 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (πΉβπ) β 0) |
37 | 33, 36 | msqgt0d 11729 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β 0 < ((πΉβπ) Β· (πΉβπ))) |
38 | 33, 33 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β ((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) β β) |
39 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
β²π‘π |
40 | 9, 39 | nffv 6857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
β²π‘(πΉβπ) |
41 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
β²π‘
Β· |
42 | 40, 41, 40 | nfov 7392 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
β²π‘((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) |
43 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π‘ = π β (πΉβπ‘) = (πΉβπ)) |
44 | 43, 43 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π‘ = π β ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘)) = ((πΉβπ) Β· (πΉβπ))) |
45 | 39, 42, 44, 7 | fvmptf 6974 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β π β§ ((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) β β) β (πΊβπ) = ((πΉβπ) Β· (πΉβπ))) |
46 | 22, 38, 45 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (πΊβπ) = ((πΉβπ) Β· (πΉβπ))) |
47 | 37, 46 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β 0 < (πΊβπ)) |
48 | 24 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β βπ β π (πΊβπ ) β€ sup(ran πΊ, β, < )) |
49 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = π β (πΊβπ ) = (πΊβπ)) |
50 | 49 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β ((πΊβπ ) β€ sup(ran πΊ, β, < ) β (πΊβπ) β€ sup(ran πΊ, β, < ))) |
51 | 50 | rspccva 3583 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((βπ β
π (πΊβπ ) β€ sup(ran πΊ, β, < ) β§ π β π) β (πΊβπ) β€ sup(ran πΊ, β, < )) |
52 | 48, 22, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (πΊβπ) β€ sup(ran πΊ, β, < )) |
53 | 29, 30, 25, 47, 52 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β 0 < sup(ran πΊ, β, <
)) |
54 | 53 | gt0ne0d 11726 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β sup(ran πΊ, β, < ) β 0) |
55 | 20 | neeq1i 3009 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β 0 β sup(ran πΊ, β, < ) β
0) |
56 | 54, 55 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β 0) |
57 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β π) β π β 0) |
58 | 19, 28, 57 | divrecd 11941 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΊβπ‘) / π) = ((πΊβπ‘) Β· (1 / π))) |
59 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β π‘ β π) |
60 | 26, 56 | rereccld 11989 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (1 / π) β β) |
61 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β (1 / π) β β) |
62 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π‘ β π β¦ (1 / π)) = (π‘ β π β¦ (1 / π)) |
63 | 62 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π‘ β π β§ (1 / π) β β) β ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘) = (1 / π)) |
64 | 59, 61, 63 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘) = (1 / π)) |
65 | 64 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΊβπ‘) Β· ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘)) = ((πΊβπ‘) Β· (1 / π))) |
66 | 58, 65 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΊβπ‘) / π) = ((πΊβπ‘) Β· ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘))) |
67 | 2, 66 | mpteq2da 5208 |
. . . . . 6
β’ (π β (π‘ β π β¦ ((πΊβπ‘) / π)) = (π‘ β π β¦ ((πΊβπ‘) Β· ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘)))) |
68 | 1, 67 | eqtrid 2789 |
. . . . 5
β’ (π β π» = (π‘ β π β¦ ((πΊβπ‘) Β· ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘)))) |
69 | | stoweidlem36.15 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β β) β (π‘ β π β¦ π₯) β π΄) |
70 | 69 | stoweidlem4 44319 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ (1 / π) β β) β (π‘ β π β¦ (1 / π)) β π΄) |
71 | 60, 70 | mpdan 686 |
. . . . . 6
β’ (π β (π‘ β π β¦ (1 / π)) β π΄) |
72 | | stoweidlem36.4 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘πΊ |
73 | 72 | nfeq2 2925 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘ π = πΊ |
74 | | nfmpt1 5218 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘(π‘ β π β¦ (1 / π)) |
75 | 74 | nfeq2 2925 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘ π = (π‘ β π β¦ (1 / π)) |
76 | 73, 75, 12 | stoweidlem6 44321 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ πΊ β π΄ β§ (π‘ β π β¦ (1 / π)) β π΄) β (π‘ β π β¦ ((πΊβπ‘) Β· ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘))) β π΄) |
77 | 15, 71, 76 | mpd3an23 1464 |
. . . . 5
β’ (π β (π‘ β π β¦ ((πΊβπ‘) Β· ((π‘ β π β¦ (1 / π))βπ‘))) β π΄) |
78 | 68, 77 | eqeltrd 2838 |
. . . 4
β’ (π β π» β π΄) |
79 | | stoweidlem36.17 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β π) |
80 | 17, 79 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πΊβπ) β β) |
81 | 80, 26, 56 | redivcld 11990 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((πΊβπ) / π) β β) |
82 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘π |
83 | 72, 82 | nffv 6857 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π‘(πΊβπ) |
84 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π‘
/ |
85 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π‘π |
86 | 83, 84, 85 | nfov 7392 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘((πΊβπ) / π) |
87 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . 9
β’ (π‘ = π β (πΊβπ‘) = (πΊβπ)) |
88 | 87 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
β’ (π‘ = π β ((πΊβπ‘) / π) = ((πΊβπ) / π)) |
89 | 82, 86, 88, 1 | fvmptf 6974 |
. . . . . . 7
β’ ((π β π β§ ((πΊβπ) / π) β β) β (π»βπ) = ((πΊβπ) / π)) |
90 | 79, 81, 89 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (π β (π»βπ) = ((πΊβπ) / π)) |
91 | | 0re 11164 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 0 β
β |
92 | 35, 91 | eqeltrdi 2846 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πΉβπ) β β) |
93 | 92, 92 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) β β) |
94 | 9, 82 | nffv 6857 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π‘(πΉβπ) |
95 | 94, 41, 94 | nfov 7392 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π‘((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) |
96 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π‘ = π β (πΉβπ‘) = (πΉβπ)) |
97 | 96, 96 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π‘ = π β ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘)) = ((πΉβπ) Β· (πΉβπ))) |
98 | 82, 95, 97, 7 | fvmptf 6974 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β π β§ ((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) β β) β (πΊβπ) = ((πΉβπ) Β· (πΉβπ))) |
99 | 79, 93, 98 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πΊβπ) = ((πΉβπ) Β· (πΉβπ))) |
100 | 35, 35 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) = (0 Β· 0)) |
101 | | 0cn 11154 |
. . . . . . . . . 10
β’ 0 β
β |
102 | 101 | mul02i 11351 |
. . . . . . . . 9
β’ (0
Β· 0) = 0 |
103 | 100, 102 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((πΉβπ) Β· (πΉβπ)) = 0) |
104 | 99, 103 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
β’ (π β (πΊβπ) = 0) |
105 | 104 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
β’ (π β ((πΊβπ) / π) = (0 / π)) |
106 | 27, 56 | div0d 11937 |
. . . . . 6
β’ (π β (0 / π) = 0) |
107 | 90, 105, 106 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
β’ (π β (π»βπ) = 0) |
108 | 32 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π‘ β π) β (πΉβπ‘) β β) |
109 | 108 | msqge0d 11730 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β π) β 0 β€ ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘))) |
110 | 108, 108 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘)) β β) |
111 | 7 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π‘ β π β§ ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘)) β β) β (πΊβπ‘) = ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘))) |
112 | 59, 110, 111 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β π) β (πΊβπ‘) = ((πΉβπ‘) Β· (πΉβπ‘))) |
113 | 109, 112 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β 0 β€ (πΊβπ‘)) |
114 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β π β β) |
115 | 53, 20 | breqtrrdi 5152 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β 0 < π) |
116 | 115 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β 0 < π) |
117 | | divge0 12031 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΊβπ‘) β β β§ 0 β€ (πΊβπ‘)) β§ (π β β β§ 0 < π)) β 0 β€ ((πΊβπ‘) / π)) |
118 | 18, 113, 114, 116, 117 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β π) β 0 β€ ((πΊβπ‘) / π)) |
119 | 18, 114, 57 | redivcld 11990 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΊβπ‘) / π) β β) |
120 | 1 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π‘ β π β§ ((πΊβπ‘) / π) β β) β (π»βπ‘) = ((πΊβπ‘) / π)) |
121 | 59, 119, 120 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β π) β (π»βπ‘) = ((πΊβπ‘) / π)) |
122 | 118, 121 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β π) β 0 β€ (π»βπ‘)) |
123 | 19 | div1d 11930 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΊβπ‘) / 1) = (πΊβπ‘)) |
124 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π‘ β (πΊβπ ) = (πΊβπ‘)) |
125 | 124 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π‘ β ((πΊβπ ) β€ sup(ran πΊ, β, < ) β (πΊβπ‘) β€ sup(ran πΊ, β, < ))) |
126 | 125 | rspccva 3583 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
((βπ β
π (πΊβπ ) β€ sup(ran πΊ, β, < ) β§ π‘ β π) β (πΊβπ‘) β€ sup(ran πΊ, β, < )) |
127 | 48, 126 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π‘ β π) β (πΊβπ‘) β€ sup(ran πΊ, β, < )) |
128 | 127, 20 | breqtrrdi 5152 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β π) β (πΊβπ‘) β€ π) |
129 | 123, 128 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΊβπ‘) / 1) β€ π) |
130 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β π) β 1 β β) |
131 | | 0lt1 11684 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 0 <
1 |
132 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π‘ β π) β 0 < 1) |
133 | | lediv23 12054 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΊβπ‘) β β β§ (π β β β§ 0 < π) β§ (1 β β β§
0 < 1)) β (((πΊβπ‘) / π) β€ 1 β ((πΊβπ‘) / 1) β€ π)) |
134 | 18, 114, 116, 130, 132, 133 | syl122anc 1380 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π‘ β π) β (((πΊβπ‘) / π) β€ 1 β ((πΊβπ‘) / 1) β€ π)) |
135 | 129, 134 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π‘ β π) β ((πΊβπ‘) / π) β€ 1) |
136 | 121, 135 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π‘ β π) β (π»βπ‘) β€ 1) |
137 | 122, 136 | jca 513 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π‘ β π) β (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1)) |
138 | 137 | ex 414 |
. . . . . 6
β’ (π β (π‘ β π β (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
139 | 2, 138 | ralrimi 3243 |
. . . . 5
β’ (π β βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1)) |
140 | 107, 139 | jca 513 |
. . . 4
β’ (π β ((π»βπ) = 0 β§ βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
141 | | fveq1 6846 |
. . . . . . 7
β’ (β = π» β (ββπ) = (π»βπ)) |
142 | 141 | eqeq1d 2739 |
. . . . . 6
β’ (β = π» β ((ββπ) = 0 β (π»βπ) = 0)) |
143 | | stoweidlem36.2 |
. . . . . . . 8
β’
β²π‘π» |
144 | 143 | nfeq2 2925 |
. . . . . . 7
β’
β²π‘ β = π» |
145 | | fveq1 6846 |
. . . . . . . . 9
β’ (β = π» β (ββπ‘) = (π»βπ‘)) |
146 | 145 | breq2d 5122 |
. . . . . . . 8
β’ (β = π» β (0 β€ (ββπ‘) β 0 β€ (π»βπ‘))) |
147 | 145 | breq1d 5120 |
. . . . . . . 8
β’ (β = π» β ((ββπ‘) β€ 1 β (π»βπ‘) β€ 1)) |
148 | 146, 147 | anbi12d 632 |
. . . . . . 7
β’ (β = π» β ((0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
149 | 144, 148 | ralbid 3259 |
. . . . . 6
β’ (β = π» β (βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1) β βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1))) |
150 | 142, 149 | anbi12d 632 |
. . . . 5
β’ (β = π» β (((ββπ) = 0 β§ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1)) β ((π»βπ) = 0 β§ βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1)))) |
151 | 150 | elrab 3650 |
. . . 4
β’ (π» β {β β π΄ β£ ((ββπ) = 0 β§ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1))} β (π» β π΄ β§ ((π»βπ) = 0 β§ βπ‘ β π (0 β€ (π»βπ‘) β§ (π»βπ‘) β€ 1)))) |
152 | 78, 140, 151 | sylanbrc 584 |
. . 3
β’ (π β π» β {β β π΄ β£ ((ββπ) = 0 β§ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1))}) |
153 | | stoweidlem36.7 |
. . 3
β’ π = {β β π΄ β£ ((ββπ) = 0 β§ βπ‘ β π (0 β€ (ββπ‘) β§ (ββπ‘) β€ 1))} |
154 | 152, 153 | eleqtrrdi 2849 |
. 2
β’ (π β π» β π) |
155 | 30, 26, 47, 115 | divgt0d 12097 |
. . 3
β’ (π β 0 < ((πΊβπ) / π)) |
156 | 30, 26, 56 | redivcld 11990 |
. . . 4
β’ (π β ((πΊβπ) / π) β β) |
157 | 72, 39 | nffv 6857 |
. . . . . 6
β’
β²π‘(πΊβπ) |
158 | 157, 84, 85 | nfov 7392 |
. . . . 5
β’
β²π‘((πΊβπ) / π) |
159 | | fveq2 6847 |
. . . . . 6
β’ (π‘ = π β (πΊβπ‘) = (πΊβπ)) |
160 | 159 | oveq1d 7377 |
. . . . 5
β’ (π‘ = π β ((πΊβπ‘) / π) = ((πΊβπ) / π)) |
161 | 39, 158, 160, 1 | fvmptf 6974 |
. . . 4
β’ ((π β π β§ ((πΊβπ) / π) β β) β (π»βπ) = ((πΊβπ) / π)) |
162 | 22, 156, 161 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (π β (π»βπ) = ((πΊβπ) / π)) |
163 | 155, 162 | breqtrrd 5138 |
. 2
β’ (π β 0 < (π»βπ)) |
164 | | nfcv 2908 |
. . . 4
β’
β²βπ» |
165 | | stoweidlem36.1 |
. . . . . 6
β’
β²βπ |
166 | 165 | nfel2 2926 |
. . . . 5
β’
β²β π» β π |
167 | | nfv 1918 |
. . . . 5
β’
β²β0 < (π»βπ) |
168 | 166, 167 | nfan 1903 |
. . . 4
β’
β²β(π» β π β§ 0 < (π»βπ)) |
169 | | eleq1 2826 |
. . . . 5
β’ (β = π» β (β β π β π» β π)) |
170 | | fveq1 6846 |
. . . . . 6
β’ (β = π» β (ββπ) = (π»βπ)) |
171 | 170 | breq2d 5122 |
. . . . 5
β’ (β = π» β (0 < (ββπ) β 0 < (π»βπ))) |
172 | 169, 171 | anbi12d 632 |
. . . 4
β’ (β = π» β ((β β π β§ 0 < (ββπ)) β (π» β π β§ 0 < (π»βπ)))) |
173 | 164, 168,
172 | spcegf 3554 |
. . 3
β’ (π» β π β ((π» β π β§ 0 < (π»βπ)) β ββ(β β π β§ 0 < (ββπ)))) |
174 | 173 | anabsi5 668 |
. 2
β’ ((π» β π β§ 0 < (π»βπ)) β ββ(β β π β§ 0 < (ββπ))) |
175 | 154, 163,
174 | syl2anc 585 |
1
β’ (π β ββ(β β π β§ 0 < (ββπ))) |