Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem36 44742
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p in the subalgebra, such that pt ( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt . G is used for (ht)^2 and the final h is a normalized version of G ( divided by its norm, see the variable N ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem36.1 β„²β„Žπ‘„
stoweidlem36.2 Ⅎ𝑑𝐻
stoweidlem36.3 Ⅎ𝑑𝐹
stoweidlem36.4 Ⅎ𝑑𝐺
stoweidlem36.5 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem36.6 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem36.7 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem36.8 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem36.9 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
stoweidlem36.10 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
stoweidlem36.11 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
stoweidlem36.12 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem36.13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem36.14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem36.16 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
stoweidlem36.17 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
stoweidlem36.18 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
stoweidlem36.19 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) β‰  (πΉβ€˜π‘))
stoweidlem36.20 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem36 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝐺,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑔,𝑁,𝑑   𝑑,β„Ž,𝑆   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐻   𝑇,β„Ž   β„Ž,𝑍,𝑑   π‘₯,𝑑,𝑁   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑇   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑)   𝑄(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑓,𝑔)   𝐹(π‘₯,𝑑,β„Ž)   𝐺(π‘₯,𝑑,β„Ž)   𝐻(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔)   𝐽(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝐾(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž)   𝑁(𝑓,β„Ž)   𝑍(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem stoweidlem36
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem36.11 . . . . . 6 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
2 stoweidlem36.5 . . . . . . 7 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem36.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
4 stoweidlem36.8 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = βˆͺ 𝐽
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
6 stoweidlem36.13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
7 stoweidlem36.9 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
8 stoweidlem36.18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
9 stoweidlem36.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑑𝐹
109nfeq2 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐹
119nfeq2 2920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑 𝑔 = 𝐹
12 stoweidlem36.14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1310, 11, 12stoweidlem6 44712 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
148, 8, 13mpd3an23 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
157, 14eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
166, 15sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
173, 4, 5, 16fcnre 43699 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‡βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
1918recnd 11241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
20 stoweidlem36.10 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = sup(ran 𝐺, ℝ, < )
21 stoweidlem36.12 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
22 stoweidlem36.16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
2322ne0d 4335 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
244, 3, 21, 16, 23cncmpmax 43706 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ran 𝐺 ∧ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
2524simp2d 1143 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2620, 25eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2726recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
29 0red 11216 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
3017, 22ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
316, 8sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
323, 4, 5, 31fcnre 43699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
3332, 22ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) ∈ ℝ)
34 stoweidlem36.19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) β‰  (πΉβ€˜π‘))
35 stoweidlem36.20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
3634, 35neeqtrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘†) β‰  0)
3733, 36msqgt0d 11780 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
3833, 33remulcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)) ∈ ℝ)
39 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑𝑆
409, 39nffv 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘†)
41 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑑 Β·
4240, 41, 40nfov 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑑((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘†))
4443, 43oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
4539, 42, 44, 7fvmptf 7019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
4622, 38, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) = ((πΉβ€˜π‘†) Β· (πΉβ€˜π‘†)))
4737, 46breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < (πΊβ€˜π‘†))
4824simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
49 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑆 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘†))
5049breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘†) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
5150rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5248, 22, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘†) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5329, 30, 25, 47, 52ltletrd 11373 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
5453gt0ne0d 11777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β‰  0)
5520neeq1i 3005 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 β‰  0 ↔ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) β‰  0)
5654, 55sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 β‰  0)
5819, 28, 57divrecd 11992 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘‘) Β· (1 / 𝑁)))
59 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
6026, 56rereccld 12040 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
62 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
6362fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘) = (1 / 𝑁))
6459, 61, 63syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘) = (1 / 𝑁))
6564oveq2d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘)) = ((πΊβ€˜π‘‘) Β· (1 / 𝑁)))
6658, 65eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘)))
672, 66mpteq2da 5246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁)) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))))
681, 67eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))))
69 stoweidlem36.15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
7069stoweidlem4 44710 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
7160, 70mpdan 685 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴)
72 stoweidlem36.4 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐺
7372nfeq2 2920 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 𝑓 = 𝐺
74 nfmpt1 5256 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7574nfeq2 2920 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 𝑔 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))
7673, 75, 12stoweidlem6 44712 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
7715, 71, 76mpd3an23 1463 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((πΊβ€˜π‘‘) Β· ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (1 / 𝑁))β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
7868, 77eqeltrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐴)
79 stoweidlem36.17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
8017, 79ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8180, 26, 56redivcld 12041 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
82 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑍
8372, 82nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πΊβ€˜π‘)
84 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 /
85 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝑁
8683, 84, 85nfov 7438 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑((πΊβ€˜π‘) / 𝑁)
87 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑍 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘))
8887oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁))
8982, 86, 88, 1fvmptf 7019 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁))
9079, 81, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁))
91 0re 11215 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
9235, 91eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
9392, 92remulcld 11243 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ)
949, 82nffv 6901 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘)
9594, 41, 94nfov 7438 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘))
96 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑍 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘))
9796, 96oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)))
9882, 95, 97, 7fvmptf 7019 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)))
9979, 93, 98syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)))
10035, 35oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) = (0 Β· 0))
101 0cn 11205 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„‚
102101mul02i 11402 . . . . . . . . 9 (0 Β· 0) = 0
103100, 102eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΉβ€˜π‘)) = 0)
10499, 103eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘) = 0)
105104oveq1d 7423 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘) / 𝑁) = (0 / 𝑁))
10627, 56div0d 11988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 / 𝑁) = 0)
10790, 105, 1063eqtrd 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘) = 0)
10832ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
109108msqge0d 11781 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
110108, 108remulcld 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
1117fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
11259, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· (πΉβ€˜π‘‘)))
113109, 112breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘‘))
11426adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
11553, 20breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
116115adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 < 𝑁)
117 divge0 12082 . . . . . . . . . 10 ((((πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΊβ€˜π‘‘)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
11818, 113, 114, 116, 117syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
11918, 114, 57redivcld 12041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ∈ ℝ)
1201fvmpt2 7009 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
12159, 119, 120syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁))
122118, 121breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘))
12319div1d 11981 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) = (πΊβ€˜π‘‘))
124 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑑 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘‘))
125124breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
126125rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘  ∈ 𝑇 (πΊβ€˜π‘ ) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
12748, 126sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
128127, 20breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ≀ 𝑁)
129123, 128eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) ≀ 𝑁)
130 1red 11214 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
131 0lt1 11735 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 < 1)
133 lediv23 12105 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) β†’ (((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ≀ 1 ↔ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) ≀ 𝑁))
13418, 114, 116, 130, 132, 133syl122anc 1379 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ≀ 1 ↔ ((πΊβ€˜π‘‘) / 1) ≀ 𝑁))
135129, 134mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) ≀ 1)
136121, 135eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)
137122, 136jca 512 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
138137ex 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1392, 138ralrimi 3254 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
140107, 139jca 512 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
141 fveq1 6890 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Žβ€˜π‘) = (π»β€˜π‘))
142141eqeq1d 2734 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ↔ (π»β€˜π‘) = 0))
143 stoweidlem36.2 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐻
144143nfeq2 2920 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 β„Ž = 𝐻
145 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = (π»β€˜π‘‘))
146145breq2d 5160 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝐻 β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ (π»β€˜π‘‘)))
147145breq1d 5158 . . . . . . . 8 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))
148146, 147anbi12d 631 . . . . . . 7 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
149144, 148ralbid 3270 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1)))
150142, 149anbi12d 631 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ (((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)) ↔ ((π»β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))))
151150elrab 3683 . . . 4 (𝐻 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))} ↔ (𝐻 ∈ 𝐴 ∧ ((π»β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π»β€˜π‘‘) ∧ (π»β€˜π‘‘) ≀ 1))))
15278, 140, 151sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))})
153 stoweidlem36.7 . . 3 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
154152, 153eleqtrrdi 2844 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑄)
15530, 26, 47, 115divgt0d 12148 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 < ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
15630, 26, 56redivcld 12041 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁) ∈ ℝ)
15772, 39nffv 6901 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(πΊβ€˜π‘†)
158157, 84, 85nfov 7438 . . . . 5 Ⅎ𝑑((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁)
159 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑆 β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜π‘†))
160159oveq1d 7423 . . . . 5 (𝑑 = 𝑆 β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) / 𝑁) = ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
16139, 158, 160, 1fvmptf 7019 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘†) = ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
16222, 156, 161syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘†) = ((πΊβ€˜π‘†) / 𝑁))
163155, 162breqtrrd 5176 . 2 (πœ‘ β†’ 0 < (π»β€˜π‘†))
164 nfcv 2903 . . . 4 β„²β„Žπ»
165 stoweidlem36.1 . . . . . 6 β„²β„Žπ‘„
166165nfel2 2921 . . . . 5 β„²β„Ž 𝐻 ∈ 𝑄
167 nfv 1917 . . . . 5 β„²β„Ž0 < (π»β€˜π‘†)
168166, 167nfan 1902 . . . 4 β„²β„Ž(𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†))
169 eleq1 2821 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Ž ∈ 𝑄 ↔ 𝐻 ∈ 𝑄))
170 fveq1 6890 . . . . . 6 (β„Ž = 𝐻 β†’ (β„Žβ€˜π‘†) = (π»β€˜π‘†))
171170breq2d 5160 . . . . 5 (β„Ž = 𝐻 β†’ (0 < (β„Žβ€˜π‘†) ↔ 0 < (π»β€˜π‘†)))
172169, 171anbi12d 631 . . . 4 (β„Ž = 𝐻 β†’ ((β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)) ↔ (𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†))))
173164, 168, 172spcegf 3582 . . 3 (𝐻 ∈ 𝑄 β†’ ((𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†))))
174173anabsi5 667 . 2 ((𝐻 ∈ 𝑄 ∧ 0 < (π»β€˜π‘†)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
175154, 163, 174syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  (,)cioo 13323  topGenctg 17382   Cn ccn 22727  Compccmp 22889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827
This theorem is referenced by:  stoweidlem43  44749
  Copyright terms: Public domain W3C validator