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Theorem stoweidlem43 44374
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1 β„²π‘”πœ‘
stoweidlem43.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem43.3 β„²β„Žπ‘„
stoweidlem43.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem43.5 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem43.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem43.7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))
stoweidlem43.13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem43.14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
stoweidlem43.15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑑,𝐴   𝑓,β„Ž,𝑇,𝑑   𝑇,𝑙   𝑓,π‘Ÿ,𝑔,𝑑,𝐴   π‘₯,𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑑   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑙   𝐴,β„Ž   𝑆,β„Ž   β„Ž,𝑍   𝑇,π‘Ÿ   𝑆,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑔,β„Ž)   𝑄(π‘₯,𝑑,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝑇(𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝐽(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝐾(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝑍(π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables 𝑠 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3 β„²π‘”πœ‘
2 nfv 1918 . . 3 β„²π‘”βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
43eldifad 3926 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
7 elunii 4874 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ π‘ˆ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ 𝐽)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ 𝐽)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
108, 9eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
113eldifbd 3927 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
12 nelne2 3039 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑍 β‰  𝑆)
135, 11, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  𝑆)
1413necomd 2996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  𝑍)
154, 10, 143jca 1129 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍))
16 simpr2 1196 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘πœ‘
18 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)
1917, 18nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍))
20 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)
2119, 20nfim 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
22 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
23 neeq2 3004 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ (𝑆 β‰  𝑑 ↔ 𝑆 β‰  𝑍))
2422, 233anbi23d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)))
2524anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍))))
26 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ (π‘”β€˜π‘‘) = (π‘”β€˜π‘))
2726neeq2d 3001 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
2827rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑍 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
2925, 28imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))))
30 simpr1 1195 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
31 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
32 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑑 ↔ 𝑆 β‰  𝑑))
3331, 323anbi13d 1439 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)))
3433anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑))))
35 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (π‘”β€˜π‘Ÿ) = (π‘”β€˜π‘†))
3635neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ ((π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
3736rexbidv 3172 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
3834, 37imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))))
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
4138, 40vtoclga 3536 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
4230, 41mpcom 38 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))
4321, 29, 42vtoclg1f 3526 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
4416, 43mpcom 38 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
45 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
4644, 45sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
4715, 46mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
48 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
4917, 48nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
50 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝑔
51 eqid 2733 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
53 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
5554sselda 3948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5652, 9, 53, 55fcnre 43322 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
5756adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
59583adant1r 1178 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
6160adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
624adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
6310adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
64 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐴)
65 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 44354 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0))
67 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴))
68 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ (π‘“β€˜π‘†) = ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†))
69 fveq1 6845 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ (π‘“β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘))
7068, 69neeq12d 3002 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘)))
7169eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((π‘“β€˜π‘) = 0 ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0))
7267, 70, 713anbi123d 1437 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0) ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0)))
7372spcegv 3558 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 β†’ (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)))
74733ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)))
7574pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
7666, 75syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
771, 2, 47, 76exlimdd 2214 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
78 stoweidlem43.3 . . . . 5 β„²β„Žπ‘„
79 nfmpt1 5217 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))β€˜π‘‘) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < )))
80 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝑓
81 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))
82 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)
8317, 82nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
84 stoweidlem43.5 . . . . 5 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
85 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ (π‘“β€˜π‘ ) = (π‘“β€˜π‘‘))
8685, 85oveq12d 7379 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )) = ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘“β€˜π‘‘)))
8786cbvmptv 5222 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘“β€˜π‘‘)))
88 eqid 2733 . . . . 5 sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < )
89 eqid 2733 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))β€˜π‘‘) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))β€˜π‘‘) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < )))
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
9190adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
9254adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
93 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑓 = π‘˜ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
94933anbi2d 1442 . . . . . . . 8 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
95 fveq1 6845 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘‘) = (π‘˜β€˜π‘‘))
9695oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)) = ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)))
9796mpteq2dv 5211 . . . . . . . . 9 (𝑓 = π‘˜ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))))
9897eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
9994, 98imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑓 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
10199, 100chvarvv 2003 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1021013adant1r 1178 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
10360adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
1044adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
10510adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
106 simpr1 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
107 simpr2 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘))
108 simpr3 1197 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 0)
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 44367 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
110109ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†))))
111110exlimdv 1937 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†))))
11277, 111mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  (,)cioo 13273  topGenctg 17327   Cn ccn 22598  Compccmp 22760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698
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