Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem43 40900
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1 𝑔𝜑
stoweidlem43.2 𝑡𝜑
stoweidlem43.3 𝑄
stoweidlem43.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem43.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
stoweidlem43.13 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem43.14 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem43.15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,   𝑆,   ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3 𝑔𝜑
2 nfv 2009 . . 3 𝑔𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
43eldifad 3746 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑇)
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑈)
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
7 elunii 4601 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍 𝐽)
85, 6, 7syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑍 𝐽)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
108, 9syl6eleqr 2855 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑇)
113eldifbd 3747 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑈)
12 nelne2 3034 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈 ∧ ¬ 𝑆𝑈) → 𝑍𝑆)
135, 11, 12syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑆)
1413necomd 2992 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑍)
154, 10, 143jca 1158 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
16 simpr2 1250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → 𝑍𝑇)
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9 𝑡𝜑
18 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)
1917, 18nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑡(𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
20 nfv 2009 . . . . . . . 8 𝑡𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)
2119, 20nfim 1995 . . . . . . 7 𝑡((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
22 eleq1 2832 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑡𝑇𝑍𝑇))
23 neeq2 3000 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑆𝑡𝑆𝑍))
2422, 233anbi23d 1563 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)))
2524anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))))
26 fveq2 6377 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑔𝑡) = (𝑔𝑍))
2726neeq2d 2997 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2827rexbidv 3199 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2925, 28imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))))
30 simpr1 1248 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → 𝑆𝑇)
31 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑇𝑆𝑇))
32 neeq1 2999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑡𝑆𝑡))
3331, 323anbi13d 1562 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)))
3433anbi2d 622 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡))))
35 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑔𝑟) = (𝑔𝑆))
3635neeq1d 2996 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3736rexbidv 3199 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3834, 37imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))))
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑟𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)))
4138, 40vtoclga 3425 . . . . . . . 8 (𝑆𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
4230, 41mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))
4321, 29, 42vtoclg1f 3417 . . . . . 6 (𝑍𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4416, 43mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
45 df-rex 3061 . . . . 5 (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4644, 45sylib 209 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4715, 46mpdan 678 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
48 nfv 2009 . . . . . 6 𝑡(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
4917, 48nfan 1998 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
50 nfcv 2907 . . . . 5 𝑡𝑔
51 eqid 2765 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
5554sselda 3763 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5652, 9, 53, 55fcnre 39839 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
5756adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
59583adant1r 1223 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
6160adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
624adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑆𝑇)
6310adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑍𝑇)
64 simprl 787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑔𝐴)
65 simprr 789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 40880 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
67 eleq1 2832 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴))
68 fveq1 6376 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑆) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆))
69 fveq1 6376 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑍) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍))
7068, 69neeq12d 2998 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍)))
7169eqeq1d 2767 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑍) = 0 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
7267, 70, 713anbi123d 1560 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0)))
7372spcegv 3447 . . . . . 6 ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
74733ad2ant1 1163 . . . . 5 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
7574pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
7666, 75syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
771, 2, 47, 76exlimdd 2252 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
78 stoweidlem43.3 . . . . 5 𝑄
79 nfmpt1 4908 . . . . 5 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
80 nfcv 2907 . . . . 5 𝑡𝑓
81 nfcv 2907 . . . . 5 𝑡(𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))
82 nfv 2009 . . . . . 6 𝑡(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
8317, 82nfan 1998 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
84 stoweidlem43.5 . . . . 5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
85 fveq2 6377 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑡))
8685, 85oveq12d 6862 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)) = ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
8786cbvmptv 4911 . . . . 5 (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
88 eqid 2765 . . . . 5 sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )
89 eqid 2765 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9190adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
9254adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93 eleq1 2832 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝐴𝑘𝐴))
94933anbi2d 1565 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴)))
95 fveq1 6376 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝑡) = (𝑘𝑡))
9695oveq1d 6859 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡)) = ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡)))
9796mpteq2dv 4906 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))))
9897eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴))
9994, 98imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)))
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10199, 100chvarv 2369 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
1021013adant1r 1223 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10360adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
1044adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑆𝑇)
10510adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑍𝑇)
106 simpr1 1248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑓𝐴)
107 simpr2 1250 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍))
108 simpr3 1252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑍) = 0)
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 40893 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
110109ex 401 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
111110exlimdv 2028 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
11277, 111mpd 15 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wnf 1878  wcel 2155  wnfc 2894  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cdif 3731  wss 3734   cuni 4596   class class class wbr 4811  cmpt 4890  ran crn 5280  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  supcsup 8555  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  (,)cioo 12380  topGenctg 16367   Cn ccn 21311  Compccmp 21472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-mulg 17811  df-cntz 18016  df-cmn 18464  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-cnfld 20023  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-cmp 21473  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  40903
  Copyright terms: Public domain W3C validator