Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem43 43167
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1 𝑔𝜑
stoweidlem43.2 𝑡𝜑
stoweidlem43.3 𝑄
stoweidlem43.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem43.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
stoweidlem43.13 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem43.14 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem43.15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,   𝑆,   ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3 𝑔𝜑
2 nfv 1921 . . 3 𝑔𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑇𝑈))
43eldifad 3865 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑇)
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑈)
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐽)
7 elunii 4811 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍 𝐽)
85, 6, 7syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑍 𝐽)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
108, 9eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑇)
113eldifbd 3866 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑈)
12 nelne2 3032 . . . . . . 7 ((𝑍𝑈 ∧ ¬ 𝑆𝑈) → 𝑍𝑆)
135, 11, 12syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑆)
1413necomd 2990 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑍)
154, 10, 143jca 1129 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
16 simpr2 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → 𝑍𝑇)
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9 𝑡𝜑
18 nfv 1921 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)
1917, 18nfan 1906 . . . . . . . 8 𝑡(𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))
20 nfv 1921 . . . . . . . 8 𝑡𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)
2119, 20nfim 1903 . . . . . . 7 𝑡((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
22 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑡𝑇𝑍𝑇))
23 neeq2 2998 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑆𝑡𝑆𝑍))
2422, 233anbi23d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)))
2524anbi2d 632 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍))))
26 fveq2 6687 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑍 → (𝑔𝑡) = (𝑔𝑍))
2726neeq2d 2995 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2827rexbidv 3208 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
2925, 28imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))))
30 simpr1 1195 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → 𝑆𝑇)
31 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑇𝑆𝑇))
32 neeq1 2997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑟𝑡𝑆𝑡))
3331, 323anbi13d 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡) ↔ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)))
3433anbi2d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡))))
35 fveq2 6687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑆 → (𝑔𝑟) = (𝑔𝑆))
3635neeq1d 2994 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3736rexbidv 3208 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡) ↔ ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
3834, 37imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))))
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑟𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑟) ≠ (𝑔𝑡)))
4138, 40vtoclga 3481 . . . . . . . 8 (𝑆𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡)))
4230, 41mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑡𝑇𝑆𝑡)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑡))
4321, 29, 42vtoclg1f 3472 . . . . . 6 (𝑍𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4416, 43mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
45 df-rex 3060 . . . . 5 (∃𝑔𝐴 (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4644, 45sylib 221 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑆𝑇𝑍𝑇𝑆𝑍)) → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
4715, 46mpdan 687 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
48 nfv 1921 . . . . . 6 𝑡(𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
4917, 48nfan 1906 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍)))
50 nfcv 2900 . . . . 5 𝑡𝑔
51 eqid 2739 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
5554sselda 3887 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5652, 9, 53, 55fcnre 42147 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
5756adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
59583adant1r 1178 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
6160adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
624adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑆𝑇)
6310adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑍𝑇)
64 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → 𝑔𝐴)
65 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 43147 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
67 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴))
68 fveq1 6686 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑆) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆))
69 fveq1 6686 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → (𝑓𝑍) = ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍))
7068, 69neeq12d 2996 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍)))
7169eqeq1d 2741 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝑍) = 0 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0))
7267, 70, 713anbi123d 1437 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) ↔ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0)))
7372spcegv 3504 . . . . . 6 ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
74733ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)))
7574pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑔𝑡) − (𝑔𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
7666, 75syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝐴 ∧ (𝑔𝑆) ≠ (𝑔𝑍))) → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
771, 2, 47, 76exlimdd 2222 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
78 stoweidlem43.3 . . . . 5 𝑄
79 nfmpt1 5138 . . . . 5 𝑡(𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
80 nfcv 2900 . . . . 5 𝑡𝑓
81 nfcv 2900 . . . . 5 𝑡(𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))
82 nfv 1921 . . . . . 6 𝑡(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)
8317, 82nfan 1906 . . . . 5 𝑡(𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0))
84 stoweidlem43.5 . . . . 5 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
85 fveq2 6687 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑡))
8685, 85oveq12d 7201 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)) = ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
8786cbvmptv 5143 . . . . 5 (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑓𝑡)))
88 eqid 2739 . . . . 5 sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )
89 eqid 2739 . . . . 5 (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡𝑇 ↦ (((𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠𝑇 ↦ ((𝑓𝑠) · (𝑓𝑠))), ℝ, < )))
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9190adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
9254adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝐴𝑘𝐴))
94933anbi2d 1442 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴)))
95 fveq1 6686 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑘 → (𝑓𝑡) = (𝑘𝑡))
9695oveq1d 7198 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡)) = ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡)))
9796mpteq2dv 5136 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑘 → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))))
9897eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴))
9994, 98imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)))
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10199, 100chvarvv 2010 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
1021013adant1r 1178 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑘𝐴𝑙𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑘𝑡) · (𝑙𝑡))) ∈ 𝐴)
10360adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
1044adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑆𝑇)
10510adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑍𝑇)
106 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → 𝑓𝐴)
107 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍))
108 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → (𝑓𝑍) = 0)
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 43160 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0)) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
110109ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
111110exlimdv 1940 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ (𝑓𝑆) ≠ (𝑓𝑍) ∧ (𝑓𝑍) = 0) → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆))))
11277, 111mpd 15 1 (𝜑 → ∃(𝑄 ∧ 0 < (𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wnf 1790  wcel 2114  wnfc 2880  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  cdif 3850  wss 3853   cuni 4806   class class class wbr 5040  cmpt 5120  ran crn 5536  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  supcsup 8990  cr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633   < clt 10766  cle 10767  cmin 10961   / cdiv 11388  (,)cioo 12834  topGenctg 16827   Cn ccn 21988  Compccmp 22150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-map 8452  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-mulg 18356  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-cmp 22151  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  43170
  Copyright terms: Public domain W3C validator