Theorem stoweidlem43 45964

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	⊢ Ⅎ𝑔𝜑
stoweidlem43.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem43.3	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem43.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem43.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
stoweidlem43.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem43.14	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem43.15	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,ℎ   𝑆,ℎ   ℎ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,ℎ)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
2		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4	3	eldifad 3988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑇)
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
7		elunii 4936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
8	5, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10	8, 9	eleqtrrdi 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
11	3	eldifbd 3989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
12		nelne2 3046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑍 ≠ 𝑆)
13	5, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 3002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑍)
15	4, 10, 14	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
16		simpr2 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
17		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
18		nfv 1913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)
19	17, 18	nfan 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
20		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)
21	19, 20	nfim 1895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
22		eleq1 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
23		neeq2 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑆 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑍))
24	22, 23	3anbi23d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)))
25	24	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))))
26		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑍))
27	26	neeq2d 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
28	27	rexbidv 3185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
29	25, 28	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))))
30		simpr1 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
31		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
32		neeq1 3009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑡))
33	31, 32	3anbi13d 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)))
34	33	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡))))
35		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑔‘𝑟) = (𝑔‘𝑆))
36	35	neeq1d 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
37	36	rexbidv 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
38	34, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))))
39		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)))
41	38, 40	vtoclga 3589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
42	30, 41	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))
43	21, 29, 42	vtoclg1f 3582	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
44	16, 43	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
45		df-rex 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
46	44, 45	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
47	15, 46	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
48		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
49	17, 48	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
50		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
51		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))
52		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55	54	sselda 4008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
56	52, 9, 53, 55	fcnre 44925	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		stoweidlem43.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	58	3adant1r 1177	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60		stoweidlem43.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
61	60	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
62	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑆 ∈ 𝑇)
63	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
64		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑔 ∈ 𝐴)
65		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
66	49, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65	stoweidlem23 45944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
67		eleq1 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴))
68		fveq1 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑆) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆))
69		fveq1 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍))
70	68, 69	neeq12d 3008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍)))
71	69	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
72	67, 70, 71	3anbi123d 1436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0)))
73	72	spcegv 3610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
74	73	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
75	74	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
76	66, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
77	1, 2, 47, 76	exlimdd 2221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
78		stoweidlem43.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝑄
79		nfmpt1 5274	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
80		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑓
81		nfcv 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))
82		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
83	17, 82	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
84		stoweidlem43.5	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
85		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑓‘𝑠) = (𝑓‘𝑡))
86	85, 85	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)) = ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
87	86	cbvmptv 5279	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
88		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )
89		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
90		stoweidlem43.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
91	90	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
92	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	3anbi2d 1441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
95		fveq1 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓‘𝑡) = (𝑘‘𝑡))
96	95	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)) = ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
97	96	mpteq2dv 5268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
98	97	eleq1d 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴))
99	94, 98	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
100		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
101	99, 100	chvarvv 1998	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
102	101	3adant1r 1177	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
103	60	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
104	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
105	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
106		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
107		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍))
108		simpr3 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑍) = 0)
109	78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108	stoweidlem36 45957	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))
110	109	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
111	110	exlimdv 1932	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
112	77, 111	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  (,)cioo 13407  topGenctg 17497   Cn ccn 23253  Compccmp 23415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  45967