Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem43 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem43 44749
Description: This lemma is used to prove the existence of a function pt as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function pt in the subalgebra, such that pt( t0 ) = 0 , pt ( t ) > 0, and 0 <= pt <= 1. Hera Z is used for t0 , S is used for t e. T - U , h is used for pt. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem43.1 β„²π‘”πœ‘
stoweidlem43.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem43.3 β„²β„Žπ‘„
stoweidlem43.4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem43.5 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem43.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem43.7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))
stoweidlem43.13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem43.14 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
stoweidlem43.15 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem43 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑑,𝐴   𝑓,β„Ž,𝑇,𝑑   𝑇,𝑙   𝑓,π‘Ÿ,𝑔,𝑑,𝐴   π‘₯,𝑓,𝑔,𝑑,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑑   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑙   𝐴,β„Ž   𝑆,β„Ž   β„Ž,𝑍   𝑇,π‘Ÿ   𝑆,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑔,β„Ž)   𝑄(π‘₯,𝑑,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝑇(𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝐽(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝐾(π‘₯,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,𝑙)   𝑍(π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem43
Dummy variables 𝑠 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem43.1 . . 3 β„²π‘”πœ‘
2 nfv 1917 . . 3 β„²π‘”βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)
3 stoweidlem43.15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ))
43eldifad 3960 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
5 stoweidlem43.14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
6 stoweidlem43.13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
7 elunii 4913 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ π‘ˆ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ 𝐽)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ 𝐽)
9 stoweidlem43.6 . . . . . 6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
108, 9eleqtrrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
113eldifbd 3961 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
12 nelne2 3040 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑍 β‰  𝑆)
135, 11, 12syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  𝑆)
1413necomd 2996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  𝑍)
154, 10, 143jca 1128 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍))
16 simpr2 1195 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
17 stoweidlem43.2 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘πœ‘
18 nfv 1917 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)
1917, 18nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍))
20 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)
2119, 20nfim 1899 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
22 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
23 neeq2 3004 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ (𝑆 β‰  𝑑 ↔ 𝑆 β‰  𝑍))
2422, 233anbi23d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)))
2524anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍))))
26 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑍 β†’ (π‘”β€˜π‘‘) = (π‘”β€˜π‘))
2726neeq2d 3001 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑍 β†’ ((π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
2827rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑍 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
2925, 28imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑍 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))))
30 simpr1 1194 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
31 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
32 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑑 ↔ 𝑆 β‰  𝑑))
3331, 323anbi13d 1438 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)))
3433anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑))))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (π‘”β€˜π‘Ÿ) = (π‘”β€˜π‘†))
3635neeq1d 3000 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ ((π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
3736rexbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
3834, 37imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑆 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))))
39 stoweidlem43.12 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
4138, 40vtoclga 3565 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘)))
4230, 41mpcom 38 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘‘))
4321, 29, 42vtoclg1f 3555 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
4416, 43mpcom 38 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
45 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
4644, 45sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 β‰  𝑍)) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
4715, 46mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
48 nfv 1917 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
4917, 48nfan 1902 . . . . 5 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘)))
50 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝑔
51 eqid 2732 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))
52 stoweidlem43.4 . . . . . . 7 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
53 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54 stoweidlem43.8 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
5554sselda 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5652, 9, 53, 55fcnre 43699 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
5756adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
58 stoweidlem43.9 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
59583adant1r 1177 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
60 stoweidlem43.11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
6160adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
624adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
6310adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
64 simprl 769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ 𝑔 ∈ 𝐴)
65 simprr 771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))
6649, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65stoweidlem23 44729 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0))
67 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴))
68 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ (π‘“β€˜π‘†) = ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†))
69 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ (π‘“β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘))
7068, 69neeq12d 3002 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘)))
7169eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((π‘“β€˜π‘) = 0 ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0))
7267, 70, 713anbi123d 1436 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) β†’ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0) ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0)))
7372spcegv 3587 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 β†’ (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)))
74733ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)))
7574pm2.43i 52 . . . 4 (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘†) β‰  ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘”β€˜π‘‘) βˆ’ (π‘”β€˜π‘)))β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
7666, 75syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (π‘”β€˜π‘†) β‰  (π‘”β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
771, 2, 47, 76exlimdd 2213 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
78 stoweidlem43.3 . . . . 5 β„²β„Žπ‘„
79 nfmpt1 5256 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))β€˜π‘‘) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < )))
80 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑑𝑓
81 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))
82 nfv 1917 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)
8317, 82nfan 1902 . . . . 5 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0))
84 stoweidlem43.5 . . . . 5 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
85 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ (π‘“β€˜π‘ ) = (π‘“β€˜π‘‘))
8685, 85oveq12d 7426 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )) = ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘“β€˜π‘‘)))
8786cbvmptv 5261 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘“β€˜π‘‘)))
88 eqid 2732 . . . . 5 sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < )
89 eqid 2732 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))β€˜π‘‘) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < ))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ )))β€˜π‘‘) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘ ) Β· (π‘“β€˜π‘ ))), ℝ, < )))
90 stoweidlem43.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
9190adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
9254adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
93 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝑓 = π‘˜ β†’ (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ π‘˜ ∈ 𝐴))
94933anbi2d 1441 . . . . . . . 8 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
95 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘‘) = (π‘˜β€˜π‘‘))
9695oveq1d 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)) = ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘)))
9796mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (𝑓 = π‘˜ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))))
9897eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴))
9994, 98imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑓 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)))
100 stoweidlem43.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
10199, 100chvarvv 2002 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
1021013adant1r 1177 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘˜β€˜π‘‘) Β· (π‘™β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
10360adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
1044adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑇)
10510adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
106 simpr1 1194 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐴)
107 simpr2 1195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘))
108 simpr3 1196 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ (π‘“β€˜π‘) = 0)
10978, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108stoweidlem36 44742 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
110109ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†))))
111110exlimdv 1936 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (π‘“β€˜π‘†) β‰  (π‘“β€˜π‘) ∧ (π‘“β€˜π‘) = 0) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†))))
11277, 111mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž ∈ 𝑄 ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  (,)cioo 13323  topGenctg 17382   Cn ccn 22727  Compccmp 22889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  44752
  Copyright terms: Public domain W3C validator