Theorem stoweidlem43 45057

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	⊢ Ⅎ𝑔𝜑
stoweidlem43.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem43.3	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem43.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem43.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
stoweidlem43.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem43.14	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem43.15	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,ℎ   𝑆,ℎ   ℎ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,ℎ)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
2		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4	3	eldifad 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑇)
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
7		elunii 4912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
8	5, 6, 7	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10	8, 9	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
11	3	eldifbd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
12		nelne2 3038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑍 ≠ 𝑆)
13	5, 11, 12	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 2994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑍)
15	4, 10, 14	3jca 1126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
16		simpr2 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
17		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
18		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)
19	17, 18	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
20		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)
21	19, 20	nfim 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
22		eleq1 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
23		neeq2 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑆 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑍))
24	22, 23	3anbi23d 1437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)))
25	24	anbi2d 627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))))
26		fveq2 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑍))
27	26	neeq2d 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
28	27	rexbidv 3176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
29	25, 28	imbi12d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))))
30		simpr1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
31		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
32		neeq1 3001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑡))
33	31, 32	3anbi13d 1436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)))
34	33	anbi2d 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡))))
35		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑔‘𝑟) = (𝑔‘𝑆))
36	35	neeq1d 2998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
37	36	rexbidv 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
38	34, 37	imbi12d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))))
39		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)))
41	38, 40	vtoclga 3565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
42	30, 41	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))
43	21, 29, 42	vtoclg1f 3557	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
44	16, 43	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
45		df-rex 3069	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
46	44, 45	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
47	15, 46	mpdan 683	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
48		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
49	17, 48	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
50		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
51		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))
52		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55	54	sselda 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
56	52, 9, 53, 55	fcnre 44011	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		stoweidlem43.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	58	3adant1r 1175	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60		stoweidlem43.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
61	60	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
62	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑆 ∈ 𝑇)
63	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
64		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑔 ∈ 𝐴)
65		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
66	49, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65	stoweidlem23 45037	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
67		eleq1 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴))
68		fveq1 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑆) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆))
69		fveq1 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍))
70	68, 69	neeq12d 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍)))
71	69	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
72	67, 70, 71	3anbi123d 1434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0)))
73	72	spcegv 3586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
74	73	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
75	74	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
76	66, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
77	1, 2, 47, 76	exlimdd 2211	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
78		stoweidlem43.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝑄
79		nfmpt1 5255	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
80		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑓
81		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))
82		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
83	17, 82	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
84		stoweidlem43.5	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
85		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑓‘𝑠) = (𝑓‘𝑡))
86	85, 85	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)) = ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
87	86	cbvmptv 5260	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
88		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )
89		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
90		stoweidlem43.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
91	90	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
92	54	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93		eleq1 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	3anbi2d 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
95		fveq1 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓‘𝑡) = (𝑘‘𝑡))
96	95	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)) = ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
97	96	mpteq2dv 5249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
98	97	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴))
99	94, 98	imbi12d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
100		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
101	99, 100	chvarvv 2000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
102	101	3adant1r 1175	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
103	60	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
104	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
105	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
106		simpr1 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
107		simpr2 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍))
108		simpr3 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑍) = 0)
109	78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108	stoweidlem36 45050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))
110	109	ex 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
111	110	exlimdv 1934	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
112	77, 111	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104  Ⅎwnfc 2881   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3430   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  (,)cioo 13328  topGenctg 17387   Cn ccn 22948  Compccmp 23110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  45060