Theorem stoweidlem43 46471

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	⊢ Ⅎ𝑔𝜑
stoweidlem43.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem43.3	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem43.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem43.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
stoweidlem43.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem43.14	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem43.15	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,ℎ   𝑆,ℎ   ℎ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,ℎ)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
2		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4	3	eldifad 3901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑇)
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
7		elunii 4855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10	8, 9	eleqtrrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
11	3	eldifbd 3902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
12		nelne2 3030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑍 ≠ 𝑆)
13	5, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 2987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑍)
15	4, 10, 14	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
16		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
17		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
18		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)
19	17, 18	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
20		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)
21	19, 20	nfim 1898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
22		eleq1 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
23		neeq2 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑆 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑍))
24	22, 23	3anbi23d 1442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)))
25	24	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))))
26		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑍))
27	26	neeq2d 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
28	27	rexbidv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
29	25, 28	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))))
30		simpr1 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
31		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
32		neeq1 2994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑡))
33	31, 32	3anbi13d 1441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)))
34	33	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡))))
35		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑔‘𝑟) = (𝑔‘𝑆))
36	35	neeq1d 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
37	36	rexbidv 3161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
38	34, 37	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))))
39		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)))
41	38, 40	vtoclga 3520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
42	30, 41	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))
43	21, 29, 42	vtoclg1f 3514	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
44	16, 43	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
45		df-rex 3062	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
46	44, 45	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
47	15, 46	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
48		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
49	17, 48	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
50		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
51		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))
52		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55	54	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
56	52, 9, 53, 55	fcnre 45456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		stoweidlem43.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	58	3adant1r 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60		stoweidlem43.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
61	60	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
62	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑆 ∈ 𝑇)
63	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
64		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑔 ∈ 𝐴)
65		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
66	49, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65	stoweidlem23 46451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
67		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴))
68		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑆) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆))
69		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍))
70	68, 69	neeq12d 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍)))
71	69	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
72	67, 70, 71	3anbi123d 1439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0)))
73	72	spcegv 3539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
74	73	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
75	74	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
76	66, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
77	1, 2, 47, 76	exlimdd 2228	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
78		stoweidlem43.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝑄
79		nfmpt1 5184	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
80		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑓
81		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))
82		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
83	17, 82	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
84		stoweidlem43.5	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
85		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑓‘𝑠) = (𝑓‘𝑡))
86	85, 85	oveq12d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)) = ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
87	86	cbvmptv 5189	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
88		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )
89		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
90		stoweidlem43.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
91	90	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
92	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	3anbi2d 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
95		fveq1 6839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓‘𝑡) = (𝑘‘𝑡))
96	95	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)) = ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
97	96	mpteq2dv 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
98	97	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴))
99	94, 98	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
100		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
101	99, 100	chvarvv 1991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
102	101	3adant1r 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
103	60	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
104	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
105	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
106		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
107		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍))
108		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑍) = 0)
109	78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108	stoweidlem36 46464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))
110	109	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
111	110	exlimdv 1935	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
112	77, 111	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  supcsup 9353  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  (,)cioo 13298  topGenctg 17400   Cn ccn 23189  Compccmp 23351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  46474