Theorem stoweidlem43 46486

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	⊢ Ⅎ𝑔𝜑
stoweidlem43.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem43.3	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem43.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem43.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
stoweidlem43.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem43.14	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem43.15	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,ℎ   𝑆,ℎ   ℎ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,ℎ)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
2		nfv 1921	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4	3	eldifad 3895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑇)
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
7		elunii 4843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
8	5, 6, 7	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10	8, 9	eleqtrrdi 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
11	3	eldifbd 3896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
12		nelne2 3032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑍 ≠ 𝑆)
13	5, 11, 12	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 2989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑍)
15	4, 10, 14	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
16		simpr2 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
17		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
18		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)
19	17, 18	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
20		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)
21	19, 20	nfim 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
22		eleq1 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
23		neeq2 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑆 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑍))
24	22, 23	3anbi23d 1447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)))
25	24	anbi2d 636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))))
26		fveq2 6827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑍))
27	26	neeq2d 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
28	27	rexbidv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
29	25, 28	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))))
30		simpr1 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
31		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
32		neeq1 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑡))
33	31, 32	3anbi13d 1446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)))
34	33	anbi2d 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡))))
35		fveq2 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑔‘𝑟) = (𝑔‘𝑆))
36	35	neeq1d 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
37	36	rexbidv 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
38	34, 37	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))))
39		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)))
41	38, 40	vtoclga 3520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
42	30, 41	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))
43	21, 29, 42	vtoclg1f 3514	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
44	16, 43	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
45		df-rex 3064	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
46	44, 45	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
47	15, 46	mpdan 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
48		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
49	17, 48	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
50		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
51		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))
52		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55	54	sselda 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
56	52, 9, 53, 55	fcnre 45473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		stoweidlem43.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	58	3adant1r 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60		stoweidlem43.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
61	60	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
62	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑆 ∈ 𝑇)
63	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
64		simprl 776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑔 ∈ 𝐴)
65		simprr 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
66	49, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65	stoweidlem23 46466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
67		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴))
68		fveq1 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑆) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆))
69		fveq1 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍))
70	68, 69	neeq12d 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍)))
71	69	eqeq1d 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
72	67, 70, 71	3anbi123d 1444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0)))
73	72	spcegv 3535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
74	73	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
75	74	pm2.43i 52	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
76	66, 75	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
77	1, 2, 47, 76	exlimdd 2232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
78		stoweidlem43.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝑄
79		nfmpt1 5171	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
80		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑓
81		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))
82		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
83	17, 82	nfan 1906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
84		stoweidlem43.5	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
85		fveq2 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑓‘𝑠) = (𝑓‘𝑡))
86	85, 85	oveq12d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)) = ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
87	86	cbvmptv 5176	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
88		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )
89		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
90		stoweidlem43.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
91	90	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
92	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	3anbi2d 1449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
95		fveq1 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓‘𝑡) = (𝑘‘𝑡))
96	95	oveq1d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)) = ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
97	96	mpteq2dv 5166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
98	97	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴))
99	94, 98	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
100		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
101	99, 100	chvarvv 1996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
102	101	3adant1r 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
103	60	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
104	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
105	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
106		simpr1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
107		simpr2 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍))
108		simpr3 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑍) = 0)
109	78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108	stoweidlem36 46479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))
110	109	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
111	110	exlimdv 1940	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
112	77, 111	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  supcsup 9343  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  (,)cioo 13289  topGenctg 17391   Cn ccn 23207  Compccmp 23369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-cmp 23370  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  46489