Theorem stoweidlem43 46683

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p_t as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90 (at the beginning of Lemma 1): for all t in T - U, there exists a function p_t in the subalgebra, such that p_t( t₀ ) = 0 , p_t ( t ) > 0, and 0 <= p_t <= 1. Hera Z is used for t₀ , S is used for t e. T - U , h is used for p_t. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem43.1	⊢ Ⅎ𝑔𝜑
stoweidlem43.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem43.3	⊢ Ⅎℎ𝑄
stoweidlem43.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem43.5	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem43.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem43.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem43.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
stoweidlem43.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem43.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
stoweidlem43.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem43.14	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem43.15	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem43	⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑙,𝑡,𝐴   𝑓,ℎ,𝑇,𝑡   𝑇,𝑙   𝑓,𝑟,𝑔,𝑡,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝑄,𝑓   𝑆,𝑓,𝑔,𝑙,𝑡   𝑓,𝑍,𝑔,𝑙,𝑡   𝜑,𝑓,𝑙   𝐴,ℎ   𝑆,ℎ   ℎ,𝑍   𝑇,𝑟   𝑆,𝑟   𝜑,𝑟   𝑥,𝑇   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑔,ℎ)   𝑄(𝑥,𝑡,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem43

Dummy variables 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem43.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔𝜑
2		nfv 1941	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑔∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
3		stoweidlem43.15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈))
4	3	eldifad 3925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑇)
5		stoweidlem43.14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		stoweidlem43.13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
7		elunii 4881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
8	5, 6, 7	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
9		stoweidlem43.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
10	8, 9	eleqtrrdi 2880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
11	3	eldifbd 3926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ 𝑈)
12		nelne2 3062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑆 ∈ 𝑈) → 𝑍 ≠ 𝑆)
13	5, 11, 12	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 3019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑍)
15	4, 10, 14	3jca 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
16		simpr2 1212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
17		stoweidlem43.2	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
18		nfv 1941	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)
19	17, 18	nfan 1926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))
20		nfv 1941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)
21	19, 20	nfim 1923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
22		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↔ 𝑍 ∈ 𝑇))
23		neeq2 3027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑆 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑍))
24	22, 23	3anbi23d 1465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)))
25	24	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍))))
26		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (𝑔‘𝑡) = (𝑔‘𝑍))
27	26	neeq2d 3024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → ((𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
28	27	rexbidv 3195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
29	25, 28	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → (((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))))
30		simpr1 1211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
31		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
32		neeq1 3026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑟 ≠ 𝑡 ↔ 𝑆 ≠ 𝑡))
33	31, 32	3anbi13d 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡) ↔ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)))
34	33	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡))))
35		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (𝑔‘𝑟) = (𝑔‘𝑆))
36	35	neeq1d 3023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → ((𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
37	36	rexbidv 3195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
38	34, 37	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))))
39		stoweidlem43.12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡))
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑟) ≠ (𝑔‘𝑡)))
41	38, 40	vtoclga 3550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡)))
42	30, 41	mpcom 39	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑡)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑡))
43	21, 29, 42	vtoclg1f 3544	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
44	16, 43	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
45		df-rex 3096	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍) ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
46	44, 45	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ∈ 𝑇 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑍)) → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
47	15, 46	mpdan 699	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
48		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
49	17, 48	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍)))
50		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑔
51		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))
52		stoweidlem43.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
53		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
54		stoweidlem43.8	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
55	54	sselda 3945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
56	52, 9, 53, 55	fcnre 45671	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
57	56	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
58		stoweidlem43.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
59	58	3adant1r 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
60		stoweidlem43.11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
61	60	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
62	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑆 ∈ 𝑇)
63	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
64		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → 𝑔 ∈ 𝐴)
65		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))
66	49, 50, 51, 57, 59, 61, 62, 63, 64, 65	stoweidlem23 46663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
67		eleq1 2857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴))
68		fveq1 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑆) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆))
69		fveq1 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → (𝑓‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍))
70	68, 69	neeq12d 3025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍)))
71	69	eqeq1d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0))
72	67, 70, 71	3anbi123d 1462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0)))
73	72	spcegv 3565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
74	73	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)))
75	74	pm2.43i 53	. . . 4 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍))) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑆) ≠ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑔‘𝑡) − (𝑔‘𝑍)))‘𝑍) = 0) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
76	66, 75	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝐴 ∧ (𝑔‘𝑆) ≠ (𝑔‘𝑍))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
77	1, 2, 47, 76	exlimdd 2262	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
78		stoweidlem43.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝑄
79		nfmpt1 5214	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
80		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝑓
81		nfcv 2931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))
82		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)
83	17, 82	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0))
84		stoweidlem43.5	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
85		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑓‘𝑠) = (𝑓‘𝑡))
86	85, 85	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)) = ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
87	86	cbvmptv 5219	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑓‘𝑡)))
88		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )
89		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < ))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ (((𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠)))‘𝑡) / sup(ran (𝑠 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑠) · (𝑓‘𝑠))), ℝ, < )))
90		stoweidlem43.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
91	90	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐽 ∈ Comp)
92	54	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
93		eleq1 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
94	93	3anbi2d 1467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴)))
95		fveq1 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑓‘𝑡) = (𝑘‘𝑡))
96	95	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)) = ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡)))
97	96	mpteq2dv 5209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))))
98	97	eleq1d 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴 ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴))
99	94, 98	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)))
100		stoweidlem43.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
101	99, 100	chvarvv 2016	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
102	101	3adant1r 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑙 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑘‘𝑡) · (𝑙‘𝑡))) ∈ 𝐴)
103	60	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
104	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑆 ∈ 𝑇)
105	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑍 ∈ 𝑇)
106		simpr1 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
107		simpr2 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍))
108		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → (𝑓‘𝑍) = 0)
109	78, 79, 80, 81, 83, 52, 84, 9, 87, 88, 89, 91, 92, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108	stoweidlem36 46676	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0)) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))
110	109	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
111	110	exlimdv 1960	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓 ∈ 𝐴 ∧ (𝑓‘𝑆) ≠ (𝑓‘𝑍) ∧ (𝑓‘𝑍) = 0) → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆))))
112	77, 111	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑄 ∧ 0 < (ℎ‘𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  supcsup 9400  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  (,)cioo 13372  topGenctg 17490   Cn ccn 23350  Compccmp 23512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-cmp 23513  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  46686