Theorem rfcnnnub 42560

Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnnnub.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnnnub.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
rfcnnnub.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnnnub.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnnnub.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
rfcnnnub.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rfcnnnub	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑛)   𝐶(𝑡,𝑛)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
2		rfcnnnub.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
3		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
4		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
5		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
6		rfcnnnub.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		rfcnnnub.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		rfcnnnub.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
9		rfcnnnub.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
10		rfcnnnub.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
11		rfcnnnub.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
12	10, 11	eleqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13		rfcnnnub.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13	evthf 42551	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
15		df-rex 3070	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
16	14, 15	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
17	8, 7, 11, 10	fcnre 42549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
18	17	ffvelrnda 6953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
19	18	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ))
20	19	anim1d 611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
21	20	eximdv 1920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
22	16, 21	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
23	17	ffvelrnda 6953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
24	23	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
25	6, 24	ralrimi 3140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
26		19.41v 1953	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
27	22, 25, 26	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
28		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
29	28	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
30	27, 29	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
31		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
32	2, 31	nffv 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
33	32	nfel1 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ∈ ℝ
34		nfra1 3143	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)
35		nfra1 3143	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ
36	33, 34, 35	nf3an 1904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
37		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑛 ∈ ℕ
38		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡 <
39		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑛
40	32, 38, 39	nfbr 5120	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) < 𝑛
41	37, 40	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
42	36, 41	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛))
43		simpll3 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
44		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
45		rsp 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
46	43, 44, 45	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
47		simpll1 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
48		simplrl 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ)
49	48	nnred 11998	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℝ)
50		simpl2 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
51	50	r19.21bi 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
52		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
53	46, 47, 49, 51, 52	lelttrd 11143	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
54	53	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) < 𝑛))
55	42, 54	ralrimi 3140	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
56		arch 12240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
57	56	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
58	55, 57	reximddv 3202	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
59	58	eximi 1837	. . 3 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
60	30, 59	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
61		19.9v 1987	. 2 ⊢ (∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
62	60, 61	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5073  ran crn 5585  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  ℝcr 10880   < clt 11019   ≤ cle 11020  ℕcn 11983  (,)cioo 13089  topGenctg 17158   Cn ccn 22385  Compccmp 22547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-cmp 22548  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485

This theorem is referenced by:  stoweidlem60  43582