Theorem rfcnnnub 43802

Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnnnub.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnnnub.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
rfcnnnub.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnnnub.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnnnub.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
rfcnnnub.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rfcnnnub	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑛)   𝐶(𝑡,𝑛)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
2		rfcnnnub.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
3		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
4		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
5		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
6		rfcnnnub.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		rfcnnnub.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		rfcnnnub.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
9		rfcnnnub.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
10		rfcnnnub.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
11		rfcnnnub.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
12	10, 11	eleqtrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13		rfcnnnub.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13	evthf 43793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
15		df-rex 3071	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
16	14, 15	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
17	8, 7, 11, 10	fcnre 43791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
19	18	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ))
20	19	anim1d 611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
21	20	eximdv 1920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
22	16, 21	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
23	17	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
24	23	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
25	6, 24	ralrimi 3254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
26		19.41v 1953	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
27	22, 25, 26	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
28		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
29	28	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
30	27, 29	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
31		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
32	2, 31	nffv 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
33	32	nfel1 2919	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ∈ ℝ
34		nfra1 3281	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)
35		nfra1 3281	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ
36	33, 34, 35	nf3an 1904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
37		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑛 ∈ ℕ
38		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡 <
39		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑛
40	32, 38, 39	nfbr 5195	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) < 𝑛
41	37, 40	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
42	36, 41	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛))
43		simpll3 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
44		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
45		rsp 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
46	43, 44, 45	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
47		simpll1 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
48		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ)
49	48	nnred 12229	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℝ)
50		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
51	50	r19.21bi 3248	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
52		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
53	46, 47, 49, 51, 52	lelttrd 11374	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
54	53	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) < 𝑛))
55	42, 54	ralrimi 3254	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
56		arch 12471	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
57	56	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
58	55, 57	reximddv 3171	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
59	58	eximi 1837	. . 3 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
60	30, 59	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
61		19.9v 1987	. 2 ⊢ (∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
62	60, 61	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∅c0 4322  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   < clt 11250   ≤ cle 11251  ℕcn 12214  (,)cioo 13326  topGenctg 17385   Cn ccn 22735  Compccmp 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835

This theorem is referenced by:  stoweidlem60  44855