Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnnnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnnnub 42560
Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1 𝑡𝐹
rfcnnnub.2 𝑡𝜑
rfcnnnub.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnnnub.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5 𝑇 = 𝐽
rfcnnnub.6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
rfcnnnub.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8 (𝜑𝐹𝐶)
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑛)   𝐶(𝑡,𝑛)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑠𝐹
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8 𝑡𝐹
3 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑠𝑇
4 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑡𝑇
5 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑠𝜑
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐶)
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
1210, 11eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 42551 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
15 df-rex 3070 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
178, 7, 11, 10fcnre 42549 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6953 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
1918ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝑇 → (𝐹𝑠) ∈ ℝ))
2019anim1d 611 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) → ((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))))
2120eximdv 1920 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
2317ffvelrnda 6953 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2423ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
256, 24ralrimi 3140 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
26 19.41v 1953 . . . . 5 (∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
2722, 25, 26sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
28 df-3an 1088 . . . . 5 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
2928exbii 1850 . . . 4 (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
3027, 29sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
31 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑠
322, 31nffv 6776 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐹𝑠)
3332nfel1 2923 . . . . . . . 8 𝑡(𝐹𝑠) ∈ ℝ
34 nfra1 3143 . . . . . . . 8 𝑡𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)
35 nfra1 3143 . . . . . . . 8 𝑡𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ
3633, 34, 35nf3an 1904 . . . . . . 7 𝑡((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
37 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑡 𝑛 ∈ ℕ
38 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑡 <
39 nfcv 2907 . . . . . . . . 9 𝑡𝑛
4032, 38, 39nfbr 5120 . . . . . . . 8 𝑡(𝐹𝑠) < 𝑛
4137, 40nfan 1902 . . . . . . 7 𝑡(𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)
4236, 41nfan 1902 . . . . . 6 𝑡(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛))
43 simpll3 1213 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
44 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
45 rsp 3130 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
4643, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
47 simpll1 1211 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
48 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ)
4948nnred 11998 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑛 ∈ ℝ)
50 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
5150r19.21bi 3133 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
52 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑠) < 𝑛)
5346, 47, 49, 51, 52lelttrd 11143 . . . . . . 7 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < 𝑛)
5453ex 413 . . . . . 6 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) < 𝑛))
5542, 54ralrimi 3140 . . . . 5 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
56 arch 12240 . . . . . 6 ((𝐹𝑠) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑠) < 𝑛)
57563ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑠) < 𝑛)
5855, 57reximddv 3202 . . . 4 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
5958eximi 1837 . . 3 (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
6030, 59syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
61 19.9v 1987 . 2 (∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
6260, 61sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wnf 1786  wcel 2106  wnfc 2887  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  c0 4256   cuni 4839   class class class wbr 5073  ran crn 5585  cfv 6426  (class class class)co 7267  cr 10880   < clt 11019  cle 11020  cn 11983  (,)cioo 13089  topGenctg 17158   Cn ccn 22385  Compccmp 22547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-fi 9157  df-sup 9188  df-inf 9189  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-q 12699  df-rp 12741  df-xneg 12858  df-xadd 12859  df-xmul 12860  df-ioo 13093  df-icc 13096  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-hom 16996  df-cco 16997  df-rest 17143  df-topn 17144  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-topgen 17164  df-pt 17165  df-prds 17168  df-xrs 17223  df-qtop 17228  df-imas 17229  df-xps 17231  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-psmet 20599  df-xmet 20600  df-met 20601  df-bl 20602  df-mopn 20603  df-cnfld 20608  df-top 22053  df-topon 22070  df-topsp 22092  df-bases 22106  df-cn 22388  df-cnp 22389  df-cmp 22548  df-tx 22723  df-hmeo 22916  df-xms 23483  df-ms 23484  df-tms 23485
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  43582
  Copyright terms: Public domain W3C validator