Theorem rfcnnnub 45797

Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnnnub.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnnnub.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
rfcnnnub.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnnnub.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnnnub.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
rfcnnnub.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rfcnnnub	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑛)   𝐶(𝑡, 𝑛)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
2		rfcnnnub.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
3		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
4		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
5		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
6		rfcnnnub.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		rfcnnnub.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		rfcnnnub.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
9		rfcnnnub.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
10		rfcnnnub.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
11		rfcnnnub.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
12	10, 11	eleqtrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13		rfcnnnub.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13	evthf 45788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
15		df-rex 3093	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
16	14, 15	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
17	8, 7, 11, 10	fcnre 45786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
19	18	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ))
20	19	anim1d 623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
21	20	eximdv 1950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
22	16, 21	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
23	17	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
24	23	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
25	6, 24	ralrimi 3266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
26		19.41v 1982	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
27	22, 25, 26	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
28		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
29	28	exbii 1881	. . . 4 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
30	27, 29	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
31		nfcv 2928	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
32	2, 31	nffv 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
33	32	nfel1 2944	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ∈ ℝ
34		nfra1 3292	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)
35		nfra1 3292	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ
36	33, 34, 35	nf3an 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
37		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑛 ∈ ℕ
38		nfcv 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡 <
39		nfcv 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑛
40	32, 38, 39	nfbr 5163	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) < 𝑛
41	37, 40	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
42	36, 41	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛))
43		simpll3 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
44		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
45		rsp 3256	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
46	43, 44, 45	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
47		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
48		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ)
49	48	nnred 12266	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℝ)
50		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
51	50	r19.21bi 3260	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
52		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
53	46, 47, 49, 51, 52	lelttrd 11386	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
54	53	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) < 𝑛))
55	42, 54	ralrimi 3266	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
56		arch 12519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
57	56	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
58	55, 57	reximddv 3184	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
59	58	eximi 1868	. . 3 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
60	30, 59	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
61		19.9v 2017	. 2 ⊢ (∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
62	60, 61	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2913   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  ∅c0 4289  ∪ cuni 4877   class class class wbr 5114  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕcn 12251  (,)cioo 13390  topGenctg 17515   Cn ccn 23418  Compccmp 23580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-cmp 23581  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516

This theorem is used by:  stoweidlem60  46815