Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnnnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnnnub 43720
Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1 Ⅎ𝑑𝐹
rfcnnnub.2 β„²π‘‘πœ‘
rfcnnnub.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
rfcnnnub.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
rfcnnnub.6 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
rfcnnnub.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑑,𝐽   𝑑,𝐾
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑛)   𝐢(𝑑,𝑛)   𝐹(𝑑)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠𝐹
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝐹
3 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠𝑇
4 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑇
5 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘ πœ‘
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8 β„²π‘‘πœ‘
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8 𝑇 = βˆͺ 𝐽
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐢)
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
1210, 11eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 43711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑇 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ))
15 df-rex 3072 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑇 βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ↔ βˆƒπ‘ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )))
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )))
178, 7, 11, 10fcnre 43709 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‡βŸΆβ„)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
1918ex 414 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ))
2019anim1d 612 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )) β†’ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ))))
2120eximdv 1921 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ (𝑠 ∈ 𝑇 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )))
2317ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
2423ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ))
256, 24ralrimi 3255 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
26 19.41v 1954 . . . . 5 (βˆƒπ‘ (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ↔ (βˆƒπ‘ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ))
2722, 25, 26sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ))
28 df-3an 1090 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ↔ (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ))
2928exbii 1851 . . . 4 (βˆƒπ‘ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ↔ βˆƒπ‘ (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ))
3027, 29sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ))
31 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑠
322, 31nffv 6902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ )
3332nfel1 2920 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ
34 nfra1 3282 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ )
35 nfra1 3282 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ
3633, 34, 35nf3an 1905 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
37 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 𝑛 ∈ β„•
38 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑 <
39 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝑛
4032, 38, 39nfbr 5196 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑(πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛
4137, 40nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)
4236, 41nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛))
43 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
44 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
45 rsp 3245 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ))
4643, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
47 simpll1 1213 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
48 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4948nnred 12227 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
50 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ))
5150r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ))
52 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)
5346, 47, 49, 51, 52lelttrd 11372 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
5453ex 414 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛))
5542, 54ralrimi 3255 . . . . 5 ((((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
56 arch 12469 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)
57563ad2ant1 1134 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘ ) < 𝑛)
5855, 57reximddv 3172 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
5958eximi 1838 . . 3 (βˆƒπ‘ ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ≀ (πΉβ€˜π‘ ) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
6030, 59syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
61 19.9v 1988 . 2 (βˆƒπ‘ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛 ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
6260, 61sylib 217 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (πΉβ€˜π‘‘) < 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  (,)cioo 13324  topGenctg 17383   Cn ccn 22728  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  44776
  Copyright terms: Public domain W3C validator