Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnnnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnnnub 42603
Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1 𝑡𝐹
rfcnnnub.2 𝑡𝜑
rfcnnnub.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnnnub.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5 𝑇 = 𝐽
rfcnnnub.6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
rfcnnnub.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8 (𝜑𝐹𝐶)
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑛)   𝐶(𝑡,𝑛)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑠𝐹
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8 𝑡𝐹
3 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑠𝑇
4 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑡𝑇
5 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑠𝜑
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐶)
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
1210, 11eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 42594 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
15 df-rex 3069 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
178, 7, 11, 10fcnre 42592 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
1817ffvelcdmda 6981 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
1918ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝑇 → (𝐹𝑠) ∈ ℝ))
2019anim1d 610 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) → ((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))))
2120eximdv 1916 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
2317ffvelcdmda 6981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2423ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
256, 24ralrimi 3235 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
26 19.41v 1949 . . . . 5 (∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
2722, 25, 26sylanbrc 582 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
28 df-3an 1087 . . . . 5 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
2928exbii 1846 . . . 4 (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
3027, 29sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
31 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑠
322, 31nffv 6802 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐹𝑠)
3332nfel1 2918 . . . . . . . 8 𝑡(𝐹𝑠) ∈ ℝ
34 nfra1 3238 . . . . . . . 8 𝑡𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)
35 nfra1 3238 . . . . . . . 8 𝑡𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ
3633, 34, 35nf3an 1900 . . . . . . 7 𝑡((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
37 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑡 𝑛 ∈ ℕ
38 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑡 <
39 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑡𝑛
4032, 38, 39nfbr 5124 . . . . . . . 8 𝑡(𝐹𝑠) < 𝑛
4137, 40nfan 1898 . . . . . . 7 𝑡(𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)
4236, 41nfan 1898 . . . . . 6 𝑡(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛))
43 simpll3 1212 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
44 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
45 rsp 3225 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
4643, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
47 simpll1 1210 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
48 simplrl 773 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ)
4948nnred 12016 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑛 ∈ ℝ)
50 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
5150r19.21bi 3228 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
52 simplrr 774 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑠) < 𝑛)
5346, 47, 49, 51, 52lelttrd 11161 . . . . . . 7 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < 𝑛)
5453ex 412 . . . . . 6 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) < 𝑛))
5542, 54ralrimi 3235 . . . . 5 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
56 arch 12258 . . . . . 6 ((𝐹𝑠) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑠) < 𝑛)
57563ad2ant1 1131 . . . . 5 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑠) < 𝑛)
5855, 57reximddv 3162 . . . 4 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
5958eximi 1833 . . 3 (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
6030, 59syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
61 19.9v 1983 . 2 (∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
6260, 61sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wex 1777  wnf 1781  wcel 2101  wnfc 2882  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  c0 4259   cuni 4841   class class class wbr 5077  ran crn 5592  cfv 6447  (class class class)co 7295  cr 10898   < clt 11037  cle 11038  cn 12001  (,)cioo 13107  topGenctg 17176   Cn ccn 22403  Compccmp 22565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977  ax-mulf 10979
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-er 8518  df-map 8637  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-fi 9198  df-sup 9229  df-inf 9230  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-xneg 12876  df-xadd 12877  df-xmul 12878  df-ioo 13111  df-icc 13114  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-exp 13811  df-hash 14073  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-ip 17008  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-hom 17014  df-cco 17015  df-rest 17161  df-topn 17162  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-topgen 17182  df-pt 17183  df-prds 17186  df-xrs 17241  df-qtop 17246  df-imas 17247  df-xps 17249  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-submnd 18459  df-mulg 18729  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-psmet 20617  df-xmet 20618  df-met 20619  df-bl 20620  df-mopn 20621  df-cnfld 20626  df-top 22071  df-topon 22088  df-topsp 22110  df-bases 22124  df-cn 22406  df-cnp 22407  df-cmp 22566  df-tx 22741  df-hmeo 22934  df-xms 23501  df-ms 23502  df-tms 23503
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  43636
  Copyright terms: Public domain W3C validator