Theorem rfcnnnub 46146

Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnnnub.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
rfcnnnub.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
rfcnnnub.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnnnub.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
rfcnnnub.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
rfcnnnub.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rfcnnnub	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑛)   𝐶(𝑡, 𝑛)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝐹
2		rfcnnnub.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
3		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝑇
4		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
5		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
6		rfcnnnub.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		rfcnnnub.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
8		rfcnnnub.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
9		rfcnnnub.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
10		rfcnnnub.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
11		rfcnnnub.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
12	10, 11	eleqtrdi 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13		rfcnnnub.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13	evthf 46137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
15		df-rex 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑇 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
16	14, 15	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
17	8, 7, 11, 10	fcnre 46135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
19	18	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ))
20	19	anim1d 623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
21	20	eximdv 1949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠 ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))))
22	16, 21	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)))
23	17	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
24	23	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
25	6, 24	ralrimi 3260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
26		19.41v 1981	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
27	22, 25, 26	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
28		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
29	28	exbii 1880	. . . 4 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑠(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
30	27, 29	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
31		nfcv 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
32	2, 31	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠)
33	32	nfel1 2938	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) ∈ ℝ
34		nfra1 3286	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠)
35		nfra1 3286	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ
36	33, 34, 35	nf3an 1933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
37		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑛 ∈ ℕ
38		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡 <
39		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑛
40	32, 38, 39	nfbr 5151	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐹‘𝑠) < 𝑛
41	37, 40	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
42	36, 41	nfan 1931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛))
43		simpll3 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
44		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
45		rsp 3250	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ))
46	43, 44, 45	sylc 66	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
47		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) ∈ ℝ)
48		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ)
49	48	nnred 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑛 ∈ ℝ)
50		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
51	50	r19.21bi 3254	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠))
52		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
53	46, 47, 49, 51, 52	lelttrd 11471	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
54	53	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝐹‘𝑡) < 𝑛))
55	42, 54	ralrimi 3260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
56		arch 12606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
57	56	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑠) < 𝑛)
58	55, 57	reximddv 3178	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
59	58	eximi 1867	. . 3 ⊢ (∃𝑠((𝐹‘𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ≤ (𝐹‘𝑠) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
60	30, 59	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
61		19.9v 2016	. 2 ⊢ (∃𝑠∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)
62	60, 61	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝐹‘𝑡) < 𝑛)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  (,)cioo 13479  topGenctg 17613   Cn ccn 23547  Compccmp 23709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-cmp 23710  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646

This theorem is used by:  stoweidlem60  47163