Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnnnub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnnnub 41284
Description: Given a real continuous function 𝐹 defined on a compact topological space, there is always a positive integer that is a strict upper bound of its range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnnnub.1 𝑡𝐹
rfcnnnub.2 𝑡𝜑
rfcnnnub.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnnnub.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
rfcnnnub.5 𝑇 = 𝐽
rfcnnnub.6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
rfcnnnub.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
rfcnnnub.8 (𝜑𝐹𝐶)
Assertion
Ref Expression
rfcnnnub (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑇   𝑛,𝐹   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑛)   𝐶(𝑡,𝑛)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem rfcnnnub
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2975 . . . . . . . 8 𝑠𝐹
2 rfcnnnub.1 . . . . . . . 8 𝑡𝐹
3 nfcv 2975 . . . . . . . 8 𝑠𝑇
4 nfcv 2975 . . . . . . . 8 𝑡𝑇
5 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑠𝜑
6 rfcnnnub.2 . . . . . . . 8 𝑡𝜑
7 rfcnnnub.5 . . . . . . . 8 𝑇 = 𝐽
8 rfcnnnub.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (topGen‘ran (,))
9 rfcnnnub.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
10 rfcnnnub.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐶)
11 rfcnnnub.7 . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
1210, 11eleqtrdi 2921 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
13 rfcnnnub.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13evthf 41275 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
15 df-rex 3142 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ↔ ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
1614, 15sylib 220 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
178, 7, 11, 10fcnre 41273 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
1817ffvelrnda 6844 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
1918ex 415 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝑇 → (𝐹𝑠) ∈ ℝ))
2019anim1d 612 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) → ((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))))
2120eximdv 1912 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))))
2216, 21mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)))
2317ffvelrnda 6844 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2423ex 415 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
256, 24ralrimi 3214 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
26 19.41v 1944 . . . . 5 (∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
2722, 25, 26sylanbrc 585 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
28 df-3an 1084 . . . . 5 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
2928exbii 1842 . . . 4 (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ↔ ∃𝑠(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
3027, 29sylibr 236 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
31 nfcv 2975 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑠
322, 31nffv 6673 . . . . . . . . 9 𝑡(𝐹𝑠)
3332nfel1 2992 . . . . . . . 8 𝑡(𝐹𝑠) ∈ ℝ
34 nfra1 3217 . . . . . . . 8 𝑡𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠)
35 nfra1 3217 . . . . . . . 8 𝑡𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ
3633, 34, 35nf3an 1896 . . . . . . 7 𝑡((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
37 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑡 𝑛 ∈ ℕ
38 nfcv 2975 . . . . . . . . 9 𝑡 <
39 nfcv 2975 . . . . . . . . 9 𝑡𝑛
4032, 38, 39nfbr 5104 . . . . . . . 8 𝑡(𝐹𝑠) < 𝑛
4137, 40nfan 1894 . . . . . . 7 𝑡(𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)
4236, 41nfan 1894 . . . . . 6 𝑡(((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛))
43 simpll3 1209 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
44 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡𝑇)
45 rsp 3203 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) ∈ ℝ))
4643, 44, 45sylc 65 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
47 simpll1 1207 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑠) ∈ ℝ)
48 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ)
4948nnred 11645 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑛 ∈ ℝ)
50 simpl2 1187 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
5150r19.21bi 3206 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠))
52 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑠) < 𝑛)
5346, 47, 49, 51, 52lelttrd 10790 . . . . . . 7 (((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) < 𝑛)
5453ex 415 . . . . . 6 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → (𝑡𝑇 → (𝐹𝑡) < 𝑛))
5542, 54ralrimi 3214 . . . . 5 ((((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐹𝑠) < 𝑛)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
56 arch 11886 . . . . . 6 ((𝐹𝑠) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑠) < 𝑛)
57563ad2ant1 1128 . . . . 5 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑠) < 𝑛)
5855, 57reximddv 3273 . . . 4 (((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
5958eximi 1829 . . 3 (∃𝑠((𝐹𝑠) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑠) ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ∈ ℝ) → ∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
6030, 59syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
61 19.9v 1982 . 2 (∃𝑠𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
6260, 61sylib 220 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) < 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wex 1774  wnf 1778  wcel 2108  wnfc 2959  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  c0 4289   cuni 4830   class class class wbr 5057  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528   < clt 10667  cle 10668  cn 11630  (,)cioo 12730  topGenctg 16703   Cn ccn 21824  Compccmp 21986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924
This theorem is referenced by:  stoweidlem60  42336
  Copyright terms: Public domain W3C validator