Theorem stoweidlem47 46409

Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem47.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem47.2	⊢ Ⅎ𝑡𝑆
stoweidlem47.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem47.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem47.5	⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
stoweidlem47.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem47.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
stoweidlem47.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem47.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem47.10	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem47	⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑡)   𝑆(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem47.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		stoweidlem47.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
3	2	fveq1i 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑡) = ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡)
4		stoweidlem47.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℝ)
6		fvconst2g 7158	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
7	5, 6	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
8	3, 7	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑡) = -𝑆)
9	8	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) + -𝑆))
10		stoweidlem47.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		stoweidlem47.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
12		stoweidlem47.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13		stoweidlem47.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
14	10, 11, 12, 13	fcnre 45389	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
17	4	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + -𝑆) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
20	9, 19	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
21	1, 20	mpteq2da 5192	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)))
22		stoweidlem47.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
23		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
24		stoweidlem47.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑆
25	24	nfneg 11388	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡-𝑆
26	25	nfsn 4666	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡{-𝑆}
27	23, 26	nfxp 5665	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 × {-𝑆})
28	2, 27	nfcxfr 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐺
29		stoweidlem47.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
30	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝐽)
31		istopon 22871	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 = ∪ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
33	13, 12	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34		retopon 24722	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
35	10, 34	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
37		cnconst2 23242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ -𝑆 ∈ ℝ) → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	32, 36, 5, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
39	2, 38	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40	22, 28, 1, 10, 32, 33, 39	refsum2cn 45402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
41	40, 12	eleqtrrdi 2848	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐶)
42	21, 41	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  {csn 4582  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   − cmin 11376  -cneg 11377  (,)cioo 13273  topGenctg 17369  Topctop 22852  TopOnctopon 22869   Cn ccn 23183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19013  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-cnfld 21325  df-top 22853  df-topon 22870  df-topsp 22892  df-bases 22905  df-cn 23186  df-cnp 23187  df-tx 23521  df-hmeo 23714  df-xms 24279  df-ms 24280  df-tms 24281

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46424