Theorem stoweidlem47 46490

Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem47.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem47.2	⊢ Ⅎ𝑡𝑆
stoweidlem47.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem47.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem47.5	⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
stoweidlem47.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem47.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
stoweidlem47.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem47.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem47.10	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem47	⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑡)   𝑆(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem47.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		stoweidlem47.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
3	2	fveq1i 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑡) = ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡)
4		stoweidlem47.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℝ)
6		fvconst2g 7146	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
7	5, 6	sylan 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
8	3, 7	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑡) = -𝑆)
9	8	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) + -𝑆))
10		stoweidlem47.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		stoweidlem47.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
12		stoweidlem47.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13		stoweidlem47.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
14	10, 11, 12, 13	fcnre 45473	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
17	4	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + -𝑆) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
20	9, 19	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
21	1, 20	mpteq2da 5164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)))
22		stoweidlem47.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
23		nfcv 2901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
24		stoweidlem47.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑆
25	24	nfneg 11380	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡-𝑆
26	25	nfsn 4639	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡{-𝑆}
27	23, 26	nfxp 5651	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 × {-𝑆})
28	2, 27	nfcxfr 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐺
29		stoweidlem47.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
30	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝐽)
31		istopon 22895	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 = ∪ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylanbrc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
33	13, 12	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34		retopon 24746	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
35	10, 34	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
37		cnconst2 23266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ -𝑆 ∈ ℝ) → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	32, 36, 5, 37	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
39	2, 38	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40	22, 28, 1, 10, 32, 33, 39	refsum2cn 45486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
41	40, 12	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐶)
42	21, 41	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  {csn 4555  ∪ cuni 4838   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028   + caddc 11032   − cmin 11368  -cneg 11369  (,)cioo 13289  topGenctg 17391  Topctop 22876  TopOnctopon 22893   Cn ccn 23207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46505