Theorem stoweidlem47 46038

Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem47.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem47.2	⊢ Ⅎ𝑡𝑆
stoweidlem47.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem47.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem47.5	⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
stoweidlem47.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem47.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
stoweidlem47.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem47.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem47.10	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem47	⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑡)   𝑆(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem47.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		stoweidlem47.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
3	2	fveq1i 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑡) = ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡)
4		stoweidlem47.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℝ)
6		fvconst2g 7158	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
7	5, 6	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
8	3, 7	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑡) = -𝑆)
9	8	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) + -𝑆))
10		stoweidlem47.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		stoweidlem47.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
12		stoweidlem47.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13		stoweidlem47.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
14	10, 11, 12, 13	fcnre 45012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
17	4	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + -𝑆) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
20	9, 19	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
21	1, 20	mpteq2da 5194	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)))
22		stoweidlem47.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
23		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
24		stoweidlem47.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑆
25	24	nfneg 11393	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡-𝑆
26	25	nfsn 4667	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡{-𝑆}
27	23, 26	nfxp 5664	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 × {-𝑆})
28	2, 27	nfcxfr 2889	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐺
29		stoweidlem47.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
30	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝐽)
31		istopon 22832	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 = ∪ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
33	13, 12	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34		retopon 24684	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
35	10, 34	eqeltri 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
37		cnconst2 23203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ -𝑆 ∈ ℝ) → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	32, 36, 5, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
39	2, 38	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40	22, 28, 1, 10, 32, 33, 39	refsum2cn 45025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
41	40, 12	eleqtrrdi 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐶)
42	21, 41	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  {csn 4585  ∪ cuni 4867   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043   + caddc 11047   − cmin 11381  -cneg 11382  (,)cioo 13282  topGenctg 17376  Topctop 22813  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46053