Theorem stoweidlem47 46475

Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem47.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem47.2	⊢ Ⅎ𝑡𝑆
stoweidlem47.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem47.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem47.5	⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
stoweidlem47.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem47.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
stoweidlem47.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem47.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem47.10	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem47	⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑡)   𝑆(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem47.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		stoweidlem47.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
3	2	fveq1i 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑡) = ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡)
4		stoweidlem47.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℝ)
6		fvconst2g 7157	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
7	5, 6	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
8	3, 7	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑡) = -𝑆)
9	8	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) + -𝑆))
10		stoweidlem47.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		stoweidlem47.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
12		stoweidlem47.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13		stoweidlem47.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
14	10, 11, 12, 13	fcnre 45456	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	ffvelcdmda 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
17	4	recnd 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + -𝑆) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
20	9, 19	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
21	1, 20	mpteq2da 5177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)))
22		stoweidlem47.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
23		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
24		stoweidlem47.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑆
25	24	nfneg 11389	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡-𝑆
26	25	nfsn 4651	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡{-𝑆}
27	23, 26	nfxp 5664	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 × {-𝑆})
28	2, 27	nfcxfr 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐺
29		stoweidlem47.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
30	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝐽)
31		istopon 22877	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 = ∪ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
33	13, 12	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34		retopon 24728	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
35	10, 34	eqeltri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
37		cnconst2 23248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ -𝑆 ∈ ℝ) → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	32, 36, 5, 37	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
39	2, 38	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40	22, 28, 1, 10, 32, 33, 39	refsum2cn 45469	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
41	40, 12	eleqtrrdi 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐶)
42	21, 41	eqeltrrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883  {csn 4567  ∪ cuni 4850   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378  (,)cioo 13298  topGenctg 17400  Topctop 22858  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46490