Theorem stoweidlem47 46781

Description: Subtracting a constant from a real continuous function gives another continuous function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem47.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem47.2	⊢ Ⅎ𝑡𝑆
stoweidlem47.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem47.4	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem47.5	⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
stoweidlem47.6	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem47.7	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
stoweidlem47.8	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem47.9	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem47.10	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem47	⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾   𝑡,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑡)   𝑆(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem stoweidlem47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem47.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		stoweidlem47.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑇 × {-𝑆})
3	2	fveq1i 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑡) = ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡)
4		stoweidlem47.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 11636	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑆 ∈ ℝ)
6		fvconst2g 7200	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
7	5, 6	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑇 × {-𝑆})‘𝑡) = -𝑆)
8	3, 7	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑡) = -𝑆)
9	8	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) + -𝑆))
10		stoweidlem47.6	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
11		stoweidlem47.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
12		stoweidlem47.8	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
13		stoweidlem47.9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
14	10, 11, 12, 13	fcnre 45765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
15	14	ffvelcdmda 7079	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
17	4	recnd 11232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
18	17	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
19	16, 18	negsubd 11570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + -𝑆) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
20	9, 19	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡)) = ((𝐹‘𝑡) − 𝑆))
21	1, 20	mpteq2da 5203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)))
22		stoweidlem47.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
23		nfcv 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
24		stoweidlem47.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑆
25	24	nfneg 11448	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡-𝑆
26	25	nfsn 4673	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡{-𝑆}
27	23, 26	nfxp 5694	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 × {-𝑆})
28	2, 27	nfcxfr 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝐺
29		stoweidlem47.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
30	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ∪ 𝐽)
31		istopon 23069	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 = ∪ 𝐽))
32	29, 30, 31	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇))
33	13, 12	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
34		retopon 24920	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
35	10, 34	eqeltri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ))
37		cnconst2 23440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑇) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ -𝑆 ∈ ℝ) → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
38	32, 36, 5, 37	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 × {-𝑆}) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
39	2, 38	eqeltrid 2867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
40	22, 28, 1, 10, 32, 33, 39	refsum2cn 45778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
41	40, 12	eleqtrrdi 2874	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) + (𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐶)
42	21, 41	eqeltrrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝐹‘𝑡) − 𝑆)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910  {csn 4589  ∪ cuni 4872   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094   + caddc 11098   − cmin 11436  -cneg 11437  (,)cioo 13367  topGenctg 17485  Topctop 23050  TopOnctopon 23067   Cn ccn 23381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46796