Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem61 41017
Description: This lemma proves that there exists a function 𝑔 as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92: 𝑔 is in the subalgebra, and for all 𝑡 in 𝑇, abs( f(t) - g(t) ) < 2*ε. Here 𝐹 is used to represent f in the paper, and 𝐸 is used to represent ε. For this lemma there's the further assumption that the function 𝐹 to be approximated is nonnegative (this assumption is removed in a later theorem). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem61.1 𝑡𝐹
stoweidlem61.2 𝑡𝜑
stoweidlem61.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem61.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem61.5 𝑇 = 𝐽
stoweidlem61.6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem61.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem61.8 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem61.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem61.13 (𝜑𝐹𝐶)
stoweidlem61.14 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 0 ≤ (𝐹𝑡))
stoweidlem61.15 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem61.16 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem61 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem61
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem61.1 . . 3 𝑡𝐹
2 stoweidlem61.2 . . 3 𝑡𝜑
3 stoweidlem61.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem61.5 . . 3 𝑇 = 𝐽
5 stoweidlem61.7 . . 3 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
6 eqid 2799 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7 eqid 2799 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
8 stoweidlem61.4 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem61.6 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
10 stoweidlem61.8 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
11 stoweidlem61.9 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
12 stoweidlem61.10 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
13 stoweidlem61.11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
14 stoweidlem61.12 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
15 stoweidlem61.13 . . 3 (𝜑𝐹𝐶)
16 stoweidlem61.14 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 0 ≤ (𝐹𝑡))
17 stoweidlem61.15 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
18 stoweidlem61.16 . . 3 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18stoweidlem60 41016 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))))
20 nfv 2010 . . . . 5 𝑡 𝑔𝐴
212, 20nfan 1999 . . . 4 𝑡(𝜑𝑔𝐴)
2217ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ+)
233, 4, 5, 15fcnre 39940 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6585 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2524adantlr 707 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2610sselda 3798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐴) → 𝑔𝐶)
273, 4, 5, 26fcnre 39940 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐴) → 𝑔:𝑇⟶ℝ)
2827ffvelrnda 6585 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
29 simpll1 1270 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
30 simpll2 1272 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
31 simpll3 1274 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
32 simplr 786 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
33 simprll 798 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
34 simprlr 799 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
35 simprrr 801 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))
36 simprrl 800 . . . . . . . 8 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
3729, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36stoweidlem13 40969 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
3837ex 402 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
3938rexlimdva 3212 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4022, 25, 28, 39syl3anc 1491 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4121, 40ralimdaa 3139 . . 3 ((𝜑𝑔𝐴) → (∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4241reximdva 3197 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝐴𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4319, 42mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wnf 1879  wcel 2157  wnfc 2928  wne 2971  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  wss 3769  c0 4115   cuni 4628   class class class wbr 4843  cmpt 4922  ran crn 5313  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556   / cdiv 10976  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  +crp 12074  (,)cioo 12424  ...cfz 12580  abscabs 14315  topGenctg 16413   Cn ccn 21357  Compccmp 21518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-cmp 21519  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  41018
  Copyright terms: Public domain W3C validator