Theorem stoweidlem61 46372

Description: This lemma proves that there exists a function 𝑔 as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92: 𝑔 is in the subalgebra, and for all 𝑡 in 𝑇, abs( f(t) - g(t) ) < 2*ε. Here 𝐹 is used to represent f in the paper, and 𝐸 is used to represent ε. For this lemma there's the further assumption that the function 𝐹 to be approximated is nonnegative (this assumption is removed in a later theorem). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem61.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem61.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem61.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem61.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem61.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem61.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem61.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem61.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem61.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem61.13	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem61.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
stoweidlem61.15	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem61.16	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem61	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem61

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem61.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
2		stoweidlem61.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem61.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stoweidlem61.5	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
5		stoweidlem61.7	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
8		stoweidlem61.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
9		stoweidlem61.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
10		stoweidlem61.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		stoweidlem61.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stoweidlem61.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
13		stoweidlem61.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
14		stoweidlem61.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
15		stoweidlem61.13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
16		stoweidlem61.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
17		stoweidlem61.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
18		stoweidlem61.16	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	stoweidlem60 46371	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))))
20		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 ∈ 𝐴
21	2, 20	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴)
22	17	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ+)
23	3, 4, 5, 15	fcnre 45337	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
25	24	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
26	10	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔 ∈ 𝐶)
27	3, 4, 5, 26	fcnre 45337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔:𝑇⟶ℝ)
28	27	ffvelcdmda 7031	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ)
29		simpll1 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
30		simpll2 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
31		simpll3 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ)
32		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
33		simprll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
34		simprlr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
35		simprrr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))
36		simprrl 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
37	29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36	stoweidlem13 46324	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸))
38	37	rexlimdva2 3140	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
39	22, 25, 28, 38	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
40	21, 39	ralimdaa 3238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
41	40	reximdva 3150	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
42	19, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3400   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ∪ cuni 4864   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  ℝ⁺crp 12909  (,)cioo 13265  ...cfz 13427  abscabs 15161  topGenctg 17361   Cn ccn 23172  Compccmp 23334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46373