Theorem stoweidlem61 46059

Description: This lemma proves that there exists a function 𝑔 as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92: 𝑔 is in the subalgebra, and for all 𝑡 in 𝑇, abs( f(t) - g(t) ) < 2*ε. Here 𝐹 is used to represent f in the paper, and 𝐸 is used to represent ε. For this lemma there's the further assumption that the function 𝐹 to be approximated is nonnegative (this assumption is removed in a later theorem). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem61.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem61.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem61.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem61.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem61.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem61.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem61.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem61.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem61.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.12	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem61.13	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
stoweidlem61.14	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
stoweidlem61.15	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem61.16	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem61	⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem61

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem61.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
2		stoweidlem61.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem61.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stoweidlem61.5	. . 3 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
5		stoweidlem61.7	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
8		stoweidlem61.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
9		stoweidlem61.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
10		stoweidlem61.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		stoweidlem61.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stoweidlem61.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
13		stoweidlem61.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
14		stoweidlem61.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
15		stoweidlem61.13	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐶)
16		stoweidlem61.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
17		stoweidlem61.15	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
18		stoweidlem61.16	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	stoweidlem60 46058	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))))
20		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑔 ∈ 𝐴
21	2, 20	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴)
22	17	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ+)
23	3, 4, 5, 15	fcnre 45019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
25	24	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
26	10	sselda 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔 ∈ 𝐶)
27	3, 4, 5, 26	fcnre 45019	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔:𝑇⟶ℝ)
28	27	ffvelcdmda 7056	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ)
29		simpll1 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
30		simpll2 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
31		simpll3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ)
32		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
33		simprll 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
34		simprlr 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
35		simprrr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))
36		simprrl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
37	29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36	stoweidlem13 46011	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡)))) → (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸))
38	37	rexlimdva2 3136	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔‘𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
39	22, 25, 28, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
40	21, 39	ralimdaa 3238	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
41	40	reximdva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔‘𝑡))) → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸)))
42	19, 41	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐴 ∀𝑡 ∈ 𝑇 (abs‘((𝑔‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) < (2 · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  ℝ⁺crp 12951  (,)cioo 13306  ...cfz 13468  abscabs 15200  topGenctg 17400   Cn ccn 23111  Compccmp 23273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210

This theorem is referenced by:  stoweidlem62  46060