Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem61 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem61 43144
Description: This lemma proves that there exists a function 𝑔 as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92: 𝑔 is in the subalgebra, and for all 𝑡 in 𝑇, abs( f(t) - g(t) ) < 2*ε. Here 𝐹 is used to represent f in the paper, and 𝐸 is used to represent ε. For this lemma there's the further assumption that the function 𝐹 to be approximated is nonnegative (this assumption is removed in a later theorem). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem61.1 𝑡𝐹
stoweidlem61.2 𝑡𝜑
stoweidlem61.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem61.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem61.5 𝑇 = 𝐽
stoweidlem61.6 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
stoweidlem61.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem61.8 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem61.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem61.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem61.13 (𝜑𝐹𝐶)
stoweidlem61.14 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 0 ≤ (𝐹𝑡))
stoweidlem61.15 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem61.16 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem61 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑇,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem stoweidlem61
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem61.1 . . 3 𝑡𝐹
2 stoweidlem61.2 . . 3 𝑡𝜑
3 stoweidlem61.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4 stoweidlem61.5 . . 3 𝑇 = 𝐽
5 stoweidlem61.7 . . 3 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
6 eqid 2738 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
7 eqid 2738 . . 3 (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)}) = (𝑗 ∈ (0...𝑛) ↦ {𝑡𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹𝑡)})
8 stoweidlem61.4 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem61.6 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
10 stoweidlem61.8 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
11 stoweidlem61.9 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
12 stoweidlem61.10 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
13 stoweidlem61.11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
14 stoweidlem61.12 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
15 stoweidlem61.13 . . 3 (𝜑𝐹𝐶)
16 stoweidlem61.14 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 0 ≤ (𝐹𝑡))
17 stoweidlem61.15 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
18 stoweidlem61.16 . . 3 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18stoweidlem60 43143 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))))
20 nfv 1921 . . . . 5 𝑡 𝑔𝐴
212, 20nfan 1906 . . . 4 𝑡(𝜑𝑔𝐴)
2217ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ+)
233, 4, 5, 15fcnre 42106 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6861 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2524adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
2610sselda 3877 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐴) → 𝑔𝐶)
273, 4, 5, 26fcnre 42106 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐴) → 𝑔:𝑇⟶ℝ)
2827ffvelrnda 6861 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
29 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
30 simpll2 1214 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
31 simpll3 1215 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
32 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
33 simprll 779 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡))
34 simprlr 780 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
35 simprrr 782 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))
36 simprrl 781 . . . . . . 7 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
3729, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36stoweidlem13 43096 . . . . . 6 ((((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡)))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
3837rexlimdva2 3197 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
3922, 25, 28, 38syl3anc 1372 . . . 4 (((𝜑𝑔𝐴) ∧ 𝑡𝑇) → (∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4021, 39ralimdaa 3129 . . 3 ((𝜑𝑔𝐴) → (∀𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → ∀𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4140reximdva 3184 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝐴𝑡𝑇𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹𝑡) ∧ (𝐹𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ ((𝑔𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝑔𝑡))) → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸)))
4219, 41mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔𝐴𝑡𝑇 (abs‘((𝑔𝑡) − (𝐹𝑡))) < (2 · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1790  wcel 2114  wnfc 2879  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  wss 3843  c0 4211   cuni 4796   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ran crn 5526  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948   / cdiv 11375  2c2 11771  3c3 11772  4c4 11773  +crp 12472  (,)cioo 12821  ...cfz 12981  abscabs 14683  topGenctg 16814   Cn ccn 21975  Compccmp 22137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075
This theorem is referenced by:  stoweidlem62  43145
  Copyright terms: Public domain W3C validator