Theorem gcdcom 16482

Description: The gcd operator is commutative. Theorem 1.4(a) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdcom	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcom

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
2		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) ↔ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀))
3	2	rabbii 3395	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}
4	3	supeq1i 9360	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4493	. 2 ⊢ if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < ))
6		gcdval 16465	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < )))
7		gcdval 16465	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < )))
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < )))
9	5, 6, 8	3eqtr4a 2798	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  ifcif 4467   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  supcsup 9353  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179  ℤcz 12524   ∥ cdvds 16221   gcd cgcd 16463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-gcd 16464

This theorem is referenced by:  gcdcomd  16483  divgcdnnr  16485  gcdid0  16489  neggcd  16492  gcdabs2  16499  1gcd  16502  6gcd4e2  16507  rprpwr  16528  eucalginv  16553  3lcm2e6woprm  16584  coprmdvds  16622  qredeq  16626  divgcdcoprmex  16635  cncongr1  16636  cncongrprm  16699  fermltl  16754  vfermltl  16772  coprimeprodsq2  16780  pythagtrip  16805  pcgcd  16849  pockthlem  16876  gcdi  17044  gcdmodi  17045  1259lem5  17105  2503lem3  17109  4001lem4  17114  odinv  19536  lgsprme0  27302  lgsdirnn0  27307  lgsquad2lem2  27348  lgsquad3  27350  ex-gcd  30527  gcd32  35931  gcdcomnni  42427  aks6d1c1  42555  aks6d1c4  42563  goldbachthlem2  48003  goldbachth  48004  gcd2odd1  48138  fpprwpprb  48210