Theorem gcdcom 16416

Description: The gcd operator is commutative. Theorem 1.4(a) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdcom	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcom

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
2		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁) ↔ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀))
3	2	rabbii 3398	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}
4	3	supeq1i 9326	. . 3 ⊢ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4499	. 2 ⊢ if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < ))
6		gcdval 16399	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑀 ∧ 𝑛 ∥ 𝑁)}, ℝ, < )))
7		gcdval 16399	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < )))
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 ∥ 𝑁 ∧ 𝑛 ∥ 𝑀)}, ℝ, < )))
9	5, 6, 8	3eqtr4a 2791	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {crab 3393  ifcif 4473   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  supcsup 9319  ℝcr 10997  0cc0 10998   < clt 11138  ℤcz 12460   ∥ cdvds 16155   gcd cgcd 16397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-mulcl 11060  ax-i2m1 11066  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-ltxr 11143  df-gcd 16398

This theorem is referenced by:  gcdcomd  16417  divgcdnnr  16419  gcdid0  16423  neggcd  16426  gcdabs2  16433  1gcd  16436  6gcd4e2  16441  rprpwr  16462  eucalginv  16487  3lcm2e6woprm  16518  coprmdvds  16556  qredeq  16560  divgcdcoprmex  16569  cncongr1  16570  cncongrprm  16632  fermltl  16687  vfermltl  16705  coprimeprodsq2  16713  pythagtrip  16738  pcgcd  16782  pockthlem  16809  gcdi  16977  gcdmodi  16978  1259lem5  17038  2503lem3  17042  4001lem4  17047  odinv  19466  lgsprme0  27270  lgsdirnn0  27275  lgsquad2lem2  27316  lgsquad3  27318  ex-gcd  30427  gcd32  35761  gcdcomnni  42000  aks6d1c1  42128  aks6d1c4  42136  goldbachthlem2  47556  goldbachth  47557  gcd2odd1  47678  fpprwpprb  47750