MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdcom 15856
Description: The gcd operator is commutative. Theorem 1.4(a) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdcom ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))

Proof of Theorem gcdcom
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 464 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
2 ancom 464 . . . . 5 ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝑛𝑁𝑛𝑀))
32rabbii 3423 . . . 4 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}
43supeq1i 8899 . . 3 sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )
51, 4ifbieq2i 4452 . 2 if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < ))
6 gcdval 15839 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
7 gcdval 15839 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )))
87ancoms 462 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) = if((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑁𝑛𝑀)}, ℝ, < )))
95, 6, 83eqtr4a 2862 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  {crab 3113  ifcif 4428   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  supcsup 8892  cr 10529  0cc0 10530   < clt 10668  cz 11973  cdvds 15603   gcd cgcd 15837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-mulcl 10592  ax-i2m1 10598  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-gcd 15838
This theorem is referenced by:  divgcdnnr  15858  gcdid0  15862  neggcd  15865  gcdabs2  15873  modgcd  15874  1gcd  15875  6gcd4e2  15880  rplpwr  15901  rppwr  15902  eucalginv  15922  3lcm2e6woprm  15953  coprmdvds  15991  qredeq  15995  coprmprod  15999  divgcdcoprmex  16004  cncongr1  16005  rpexp12i  16060  cncongrprm  16063  phiprmpw  16107  eulerthlem1  16112  eulerthlem2  16113  fermltl  16115  prmdiv  16116  vfermltl  16132  coprimeprodsq  16139  coprimeprodsq2  16140  pythagtriplem3  16149  pythagtrip  16165  pcgcd  16208  prmpwdvds  16234  pockthlem  16235  prmgaplem7  16387  gcdi  16403  gcdmodi  16404  1259lem5  16464  2503lem3  16468  4001lem4  16473  odinv  18684  gexexlem  18969  ablfacrp2  19186  pgpfac1lem2  19194  dvdsmulf1o  25783  perfect1  25816  perfectlem1  25817  lgslem1  25885  lgsprme0  25927  lgsdirnn0  25932  lgsqrlem2  25935  lgsqr  25939  gausslemma2dlem0c  25946  lgsquad2lem2  25973  lgsquad2  25974  lgsquad3  25975  2sqlem8  26014  2sqmod  26024  ex-gcd  28246  gcd32  33097  nn0prpwlem  33784  gcdcomnni  39275  jm2.19lem2  39928  jm2.20nn  39935  goldbachthlem2  44060  goldbachth  44061  gcd2odd1  44183  perfectALTVlem1  44236  fpprwpprb  44255
  Copyright terms: Public domain W3C validator