MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmmulg 18111
Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmmulg.s · = (.g𝐺)
ghmmulg.t × = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
ghmmulg ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))

Proof of Theorem ghmmulg
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 18109 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2 ghmmulg.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ghmmulg.s . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
4 ghmmulg.t . . . . . . 7 × = (.g𝐻)
52, 3, 4mhmmulg 18022 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
61, 5syl3an1 1156 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
763expa 1111 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
87an32s 648 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
983adantl2 1160 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
10 simpl1 1184 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
1110, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
12 nnnn0 11752 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
1312ad2antll 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
14 simpl3 1186 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
152, 3, 4mhmmulg 18022 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹𝑋)))
1611, 13, 14, 15syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹𝑋)))
1716fveq2d 6542 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
18 ghmgrp1 18101 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
1910, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
20 nnz 11853 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
2120ad2antll 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
222, 3mulgcl 18000 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2319, 21, 14, 22syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24 eqid 2795 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
25 eqid 2795 . . . . . . 7 (invg𝐻) = (invg𝐻)
262, 24, 25ghminv 18106 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
2710, 23, 26syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
28 ghmgrp2 18102 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐻 ∈ Grp)
30 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
312, 30ghmf 18103 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
3210, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
3332, 14ffvelrnd 6717 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
3430, 4, 25mulgneg 18001 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
3529, 21, 33, 34syl3anc 1364 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
3617, 27, 353eqtr4d 2841 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (--𝑁 × (𝐹𝑋)))
372, 3, 24mulgneg 18001 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
3819, 21, 14, 37syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
39 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4039recnd 10515 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4140negnegd 10836 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
4241oveq1d 7031 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
4338, 42eqtr3d 2833 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4443fveq2d 6542 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
4536, 44eqtr3d 2833 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
4641oveq1d 7031 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
4745, 46eqtr3d 2833 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
48 simp2 1130 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 elznn0nn 11843 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5048, 49sylib 219 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
519, 47, 50mpjaodan 953 1 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  -cneg 10718  cn 11486  0cn0 11745  cz 11829  Basecbs 16312   MndHom cmhm 17772  Grpcgrp 17861  invgcminusg 17862  .gcmg 17981   GrpHom cghm 18096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mulg 17982  df-ghm 18097
This theorem is referenced by:  ghmcyg  18737  mulgrhm2  20328  dchrabs  25518
  Copyright terms: Public domain W3C validator