Theorem ghmmulg 18761

Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmmulg.s	⊢ · = (.g‘𝐺)
ghmmulg.t	⊢ × = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ghmmulg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Proof of Theorem ghmmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 18759	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		ghmmulg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ghmmulg.s	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ghmmulg.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.g‘𝐻)
5	2, 3, 4	mhmmulg 18659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
6	1, 5	syl3an1 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
7	6	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
8	7	an32s 648	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
9	8	3adantl2 1165	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
10		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
11	10, 1	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
12		nnnn0 12170	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4	mhmmulg 18659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
17	16	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
18		ghmgrp1 18751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
20		nnz 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
21	20	ad2antll 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
22	2, 3	mulgcl 18636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	19, 21, 14, 22	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
26	2, 24, 25	ghminv 18756	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
27	10, 23, 26	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
28		ghmgrp2 18752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐻 ∈ Grp)
30		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
31	2, 30	ghmf 18753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
32	10, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
33	32, 14	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
34	30, 4, 25	mulgneg 18637	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
35	29, 21, 33, 34	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
36	17, 27, 35	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
37	2, 3, 24	mulgneg 18637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
38	19, 21, 14, 37	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
39		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	39	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	40	negnegd 11253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
42	41	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
43	38, 42	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
44	43	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
45	36, 44	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
46	41	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
47	45, 46	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
48		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elznn0nn 12263	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
50	48, 49	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
51	9, 47, 50	mpjaodan 955	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  -cneg 11136  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  Basecbs 16840   MndHom cmhm 18343  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  ._gcmg 18615   GrpHom cghm 18746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-ghm 18747

This theorem is referenced by:  ghmcyg  19412  mulgrhm2  20612  dchrabs  26313