MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmmulg 19246
Description: A group homomorphism preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmmulg.s · = (.g𝐺)
ghmmulg.t × = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
ghmmulg ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))

Proof of Theorem ghmmulg
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 19244 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2 ghmmulg.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ghmmulg.s . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
4 ghmmulg.t . . . . . . 7 × = (.g𝐻)
52, 3, 4mhmmulg 19133 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
61, 5syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
763expa 1119 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
87an32s 652 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
983adantl2 1168 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
10 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
1110, 1syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
12 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
1312ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
14 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
152, 3, 4mhmmulg 19133 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹𝑋)))
1611, 13, 14, 15syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹𝑋)))
1716fveq2d 6910 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
18 ghmgrp1 19236 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
1910, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
20 nnz 12634 . . . . . . . 8 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
2120ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
222, 3mulgcl 19109 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2319, 21, 14, 22syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24 eqid 2737 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (invg𝐻) = (invg𝐻)
262, 24, 25ghminv 19241 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
2710, 23, 26syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
28 ghmgrp2 19237 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐻 ∈ Grp)
30 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
312, 30ghmf 19238 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
3210, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
3332, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
3430, 4, 25mulgneg 19110 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
3529, 21, 33, 34syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = ((invg𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹𝑋))))
3617, 27, 353eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (--𝑁 × (𝐹𝑋)))
372, 3, 24mulgneg 19110 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
3819, 21, 14, 37syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
39 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4039recnd 11289 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4140negnegd 11611 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
4241oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
4338, 42eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4443fveq2d 6910 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
4536, 44eqtr3d 2779 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
4641oveq1d 7446 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
4745, 46eqtr3d 2779 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
48 simp2 1138 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
49 elznn0nn 12627 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
5048, 49sylib 218 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
519, 47, 50mpjaodan 961 1 ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247   MndHom cmhm 18794  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  .gcmg 19085   GrpHom cghm 19230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-ghm 19231
This theorem is referenced by:  ghmcyg  19914  mulgrhm2  21489  dchrabs  27304  rhmzrhval  41971
  Copyright terms: Public domain W3C validator