Theorem ghmmulg 19211

Description: A group homomorphism preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmmulg.s	⊢ · = (.g‘𝐺)
ghmmulg.t	⊢ × = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ghmmulg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Proof of Theorem ghmmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 19209	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		ghmmulg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ghmmulg.s	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ghmmulg.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.g‘𝐻)
5	2, 3, 4	mhmmulg 19098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
6	1, 5	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
7	6	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
9	8	3adantl2 1168	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
10		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
11	10, 1	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
12		nnnn0 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4	mhmmulg 19098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
17	16	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
18		ghmgrp1 19201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
20		nnz 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
21	20	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
22	2, 3	mulgcl 19074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	19, 21, 14, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
25		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
26	2, 24, 25	ghminv 19206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
27	10, 23, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
28		ghmgrp2 19202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐻 ∈ Grp)
30		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
31	2, 30	ghmf 19203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
32	10, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
33	32, 14	ffvelcdmd 7075	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
34	30, 4, 25	mulgneg 19075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
35	29, 21, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
36	17, 27, 35	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
37	2, 3, 24	mulgneg 19075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
38	19, 21, 14, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
39		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	39	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	40	negnegd 11585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
42	41	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
43	38, 42	eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
44	43	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
45	36, 44	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
46	41	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
47	45, 46	eqtr3d 2772	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
48		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elznn0nn 12602	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
50	48, 49	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
51	9, 47, 50	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  -cneg 11467  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  Basecbs 17228   MndHom cmhm 18759  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  ._gcmg 19050   GrpHom cghm 19195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-ghm 19196

This theorem is referenced by:  ghmcyg  19877  mulgrhm2  21439  dchrabs  27223  rhmzrhval  41984