Theorem ghmmulg 18588

Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmmulg.s	⊢ · = (.g‘𝐺)
ghmmulg.t	⊢ × = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ghmmulg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Proof of Theorem ghmmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 18586	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		ghmmulg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ghmmulg.s	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ghmmulg.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.g‘𝐻)
5	2, 3, 4	mhmmulg 18486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
6	1, 5	syl3an1 1165	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
7	6	3expa 1120	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
8	7	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
9	8	3adantl2 1169	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
10		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
11	10, 1	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
12		nnnn0 12062	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4	mhmmulg 18486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
17	16	fveq2d 6699	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
18		ghmgrp1 18578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
20		nnz 12164	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
21	20	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
22	2, 3	mulgcl 18463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	19, 21, 14, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
25		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
26	2, 24, 25	ghminv 18583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
27	10, 23, 26	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
28		ghmgrp2 18579	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐻 ∈ Grp)
30		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
31	2, 30	ghmf 18580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
32	10, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
33	32, 14	ffvelrnd 6883	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
34	30, 4, 25	mulgneg 18464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
35	29, 21, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
36	17, 27, 35	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
37	2, 3, 24	mulgneg 18464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
38	19, 21, 14, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
39		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	39	recnd 10826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	40	negnegd 11145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
42	41	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
43	38, 42	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
44	43	fveq2d 6699	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
45	36, 44	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
46	41	oveq1d 7206	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
47	45, 46	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
48		simp2 1139	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elznn0nn 12155	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
50	48, 49	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
51	9, 47, 50	mpjaodan 959	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  -cneg 11028  ℕcn 11795  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  Basecbs 16666   MndHom cmhm 18170  Grpcgrp 18319  inv_gcminusg 18320  ._gcmg 18442   GrpHom cghm 18573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-seq 13540  df-0g 16900  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-mulg 18443  df-ghm 18574

This theorem is referenced by:  ghmcyg  19235  mulgrhm2  20419  dchrabs  26095