MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmmulg 19142
Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmmulg.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ghmmulg.s ยท = (.gโ€˜๐บ)
ghmmulg.t ร— = (.gโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
ghmmulg ((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem ghmmulg
StepHypRef Expression
1 ghmmhm 19140 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โ†’ ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป))
2 ghmmulg.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
3 ghmmulg.s . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
4 ghmmulg.t . . . . . . 7 ร— = (.gโ€˜๐ป)
52, 3, 4mhmmulg 19031 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
61, 5syl3an1 1161 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
763expa 1116 . . . 4 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
87an32s 648 . . 3 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
983adantl2 1165 . 2 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
10 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป))
1110, 1syl 17 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป))
12 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
1312ad2antll 725 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
14 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
152, 3, 4mhmmulg 19031 . . . . . . 7 ((๐น โˆˆ (๐บ MndHom ๐ป) โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (-๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
1611, 13, 14, 15syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (-๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
1716fveq2d 6894 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(๐นโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(-๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
18 ghmgrp1 19132 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
1910, 18syl 17 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
20 nnz 12583 . . . . . . . 8 (-๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
2120ad2antll 725 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
222, 3mulgcl 19007 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2319, 21, 14, 22syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
24 eqid 2730 . . . . . . 7 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
25 eqid 2730 . . . . . . 7 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
262, 24, 25ghminv 19137 . . . . . 6 ((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(๐นโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))))
2710, 23, 26syl2anc 582 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(๐นโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))))
28 ghmgrp2 19133 . . . . . . 7 (๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
30 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
312, 30ghmf 19134 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐ป))
3210, 31syl 17 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐น:๐ตโŸถ(Baseโ€˜๐ป))
3332, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป))
3430, 4, 25mulgneg 19008 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)) โ†’ (--๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(-๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
3529, 21, 33, 34syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(-๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹))))
3617, 27, 353eqtr4d 2780 . . . 4 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (--๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
372, 3, 24mulgneg 19008 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
3819, 21, 14, 37syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
39 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4039recnd 11246 . . . . . . . 8 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4140negnegd 11566 . . . . . . 7 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
4241oveq1d 7426 . . . . . 6 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4338, 42eqtr3d 2772 . . . . 5 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4443fveq2d 6894 . . . 4 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜((invgโ€˜๐บ)โ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4536, 44eqtr3d 2772 . . 3 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4641oveq1d 7426 . . 3 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
4745, 46eqtr3d 2772 . 2 (((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
48 simp2 1135 . . 3 ((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
49 elznn0nn 12576 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
5048, 49sylib 217 . 2 ((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
519, 47, 50mpjaodan 955 1 ((๐น โˆˆ (๐บ GrpHom ๐ป) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ร— (๐นโ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  -cneg 11449  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  Basecbs 17148   MndHom cmhm 18703  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  .gcmg 18986   GrpHom cghm 19127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-ghm 19128
This theorem is referenced by:  ghmcyg  19805  mulgrhm2  21249  dchrabs  26999
  Copyright terms: Public domain W3C validator