Theorem ghmid 19298

Description: A homomorphism of groups preserves the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmid.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑆)
ghmid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmid	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) = 0 )

Proof of Theorem ghmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmgrp1 19294	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Grp)
2		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		ghmid.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑆)
4	2, 3	grpidcl 19038	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Grp → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
8	2, 6, 7	ghmlin 19297	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)))
9	5, 5, 8	mpd3an23 1491	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)))
10	2, 6, 3	grplid 19040	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑌(+g‘𝑆)𝑌) = 𝑌)
11	1, 5, 10	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝑌(+g‘𝑆)𝑌) = 𝑌)
12	11	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(𝑌(+g‘𝑆)𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
13	9, 12	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → ((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
14		ghmgrp2 19295	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝑇 ∈ Grp)
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
16	2, 15	ghmf 19296	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
17	16, 5	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝑇))
18		ghmid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
19	15, 7, 18	grpid 19048	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝑇)) → (((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌) ↔ 0 = (𝐹‘𝑌)))
20	14, 17, 19	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (((𝐹‘𝑌)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌) ↔ 0 = (𝐹‘𝑌)))
21	13, 20	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 0 = (𝐹‘𝑌))
22	21	eqcomd 2768	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘𝑌) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006   GrpHom cghm 19289

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8824  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-ghm 19290

This theorem is used by:  ghminv  19299  ghmmhm  19302  ghmpreima  19314  f1ghm0to0  19321  kerf1ghm  19323  ghmqusker  19363  lactghmga  19481  nrhmzr  20647  zrinitorngc  20752  imadrhmcl  20911  srng0  20968  islmhm2  21170  zrh0  21674  chrrhm  21692  zndvds0  21711  ip0l  21797  evlslem2  22241  evlslem3  22242  evlslem6  22243  rhmmpl  22551  rhmply1vr1  22555  0mat2pmat  22904  nmolb2d  24886  nmoi  24896  nmoix  24897  nmoleub  24899  nmoleub2lem2  25286  nmhmcn  25290  dchrptlem2  27440  psgnid  33426  ricnzr1  33617  ricdomn1  33618  mplidomlem  33926  dimkerim  34026  lvecendof1f1o  34032  ricdrng1  43324  rhmpsr  43343