Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ghmquskerlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmquskerlem2 33002
Description: Lemma for ghmqusker 33004. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmqusker.1 0 = (0g𝐻)
ghmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
ghmquskerlem2.y (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
Assertion
Ref Expression
ghmquskerlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑞,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝐻,𝑞,𝑥   𝐽,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑄,𝑞,𝑥   𝑌,𝑞,𝑥   𝜑,𝑞,𝑥
Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerlem2
StepHypRef Expression
1 ghmquskerlem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2 ghmqusker.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
4 eqidd 2725 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5 ovexd 7437 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
6 ghmqusker.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7 ghmgrp1 19135 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
93, 4, 5, 8qusbas 17492 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
101, 9eleqtrrd 2828 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
11 elqsg 8759 . . . 4 (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
1211biimpa 476 . . 3 ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
131, 10, 12syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
14 ghmqusker.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
15 ghmqusker.1 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
1615ghmker 19159 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17 nsgsubg 19077 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
186, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1914, 18eqeltrid 2829 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
2220, 21eqger 19097 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
2319, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
2423ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
25 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
26 ecref 32405 . . . . . . 7 (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
2724, 25, 26syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
28 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
2927, 28eleqtrrd 2828 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥𝑌)
3028fveq2d 6886 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
316ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32 ghmqusker.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
3315, 31, 14, 2, 32, 25ghmquskerlem1 33000 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹𝑥))
3430, 33eqtrd 2764 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
3529, 34jca 511 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥𝑌 ∧ (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥)))
3635expl 457 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥𝑌 ∧ (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))))
3736reximdv2 3156 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥)))
3813, 37mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  Vcvv 3466  {csn 4621   cuni 4900  cmpt 5222  ccnv 5666  cima 5670  cfv 6534  (class class class)co 7402   Er wer 8697  [cec 8698   / cqs 8699  Basecbs 17145  0gc0g 17386   /s cqus 17452  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19039  NrmSGrpcnsg 19040   ~QG cqg 19041   GrpHom cghm 19130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-0g 17388  df-imas 17455  df-qus 17456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-nsg 19043  df-eqg 19044  df-ghm 19131
This theorem is referenced by:  ghmquskerlem3  33003  ghmqusker  33004  lmhmqusker  33006  rhmquskerlem  33015
  Copyright terms: Public domain W3C validator