Theorem ghmquskerlem2 19212

Description: Lemma for ghmqusker 19214. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmquskerlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
ghmquskerlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑞,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝐻,𝑞,𝑥   𝐽,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑄,𝑞,𝑥   𝑌,𝑞,𝑥   𝜑,𝑞,𝑥

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmquskerlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2		ghmqusker.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
4		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		ovexd 7391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
6		ghmqusker.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7		ghmgrp1 19145	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	3, 4, 5, 8	qusbas 17464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
10	1, 9	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
11		elqsg 8699	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
12	11	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
13	1, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
14		ghmqusker.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
15		ghmqusker.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
16	15	ghmker 19169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17		nsgsubg 19085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	6, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	14, 18	eqeltrid 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
22	20, 21	eqger 19105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
25		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
26		ecref 8678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
29	27, 28	eleqtrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
30	28	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
31	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32		ghmqusker.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
33	15, 31, 14, 2, 32, 25	ghmquskerlem1 19210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑥))
34	30, 33	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))
35	29, 34	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
36	35	expl 457	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))))
37	36	reximdv2 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
38	13, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  Vcvv 3438  {csn 4578  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   Er wer 8630  [cec 8631   / cqs 8632  Basecbs 17134  0_gc0g 17357   /_s cqus 17424  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19048  NrmSGrpcnsg 19049   ~_QG cqg 19050   GrpHom cghm 19139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-0g 17359  df-imas 17427  df-qus 17428  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-eqg 19053  df-ghm 19140

This theorem is referenced by:  ghmquskerlem3  19213  ghmqusker  19214  lmhmqusker  33447  rhmquskerlem  33455