Theorem ghmquskerlem2 19214

Description: Lemma for ghmqusker 19216. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmquskerlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
ghmquskerlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑞,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝐻,𝑞,𝑥   𝐽,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑄,𝑞,𝑥   𝑌,𝑞,𝑥   𝜑,𝑞,𝑥

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmquskerlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2		ghmqusker.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
4		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		ovexd 7393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
6		ghmqusker.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7		ghmgrp1 19147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	3, 4, 5, 8	qusbas 17466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
10	1, 9	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
11		elqsg 8701	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
12	11	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
13	1, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
14		ghmqusker.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
15		ghmqusker.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
16	15	ghmker 19171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17		nsgsubg 19087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	6, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	14, 18	eqeltrid 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
22	20, 21	eqger 19107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
25		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
26		ecref 8680	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
29	27, 28	eleqtrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
30	28	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
31	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32		ghmqusker.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
33	15, 31, 14, 2, 32, 25	ghmquskerlem1 19212	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑥))
34	30, 33	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))
35	29, 34	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
36	35	expl 457	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))))
37	36	reximdv2 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
38	13, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440  {csn 4580  ∪ cuni 4863   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   Er wer 8632  [cec 8633   / cqs 8634  Basecbs 17136  0_gc0g 17359   /_s cqus 17426  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050  NrmSGrpcnsg 19051   ~_QG cqg 19052   GrpHom cghm 19141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-0g 17361  df-imas 17429  df-qus 17430  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-ghm 19142

This theorem is referenced by:  ghmquskerlem3  19215  ghmqusker  19216  lmhmqusker  33498  rhmquskerlem  33506