Theorem ghmquskerlem2 19226

Description: Lemma for ghmqusker 19228. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
ghmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
ghmquskerlem2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))

Assertion

Ref	Expression
ghmquskerlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑞,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝐻,𝑞,𝑥   𝐽,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑄,𝑞,𝑥   𝑌,𝑞,𝑥   𝜑,𝑞,𝑥

Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmquskerlem2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2		ghmqusker.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
4		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5		ovexd 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
6		ghmqusker.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7		ghmgrp1 19159	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
9	3, 4, 5, 8	qusbas 17478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
10	1, 9	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
11		elqsg 8712	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
12	11	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
13	1, 10, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
14		ghmqusker.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
15		ghmqusker.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
16	15	ghmker 19183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17		nsgsubg 19099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	6, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	14, 18	eqeltrid 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
22	20, 21	eqger 19119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
25		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
26		ecref 8691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
27	24, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
29	27, 28	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
30	28	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
31	6	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32		ghmqusker.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
33	15, 31, 14, 2, 32, 25	ghmquskerlem1 19224	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹‘𝑥))
34	30, 33	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))
35	29, 34	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
36	35	expl 457	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥 ∈ 𝑌 ∧ (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))))
37	36	reximdv2 3148	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥)))
38	13, 37	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑌 (𝐽‘𝑌) = (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442  {csn 4582  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   Er wer 8642  [cec 8643   / cqs 8644  Basecbs 17148  0_gc0g 17371   /_s cqus 17438  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19062  NrmSGrpcnsg 19063   ~_QG cqg 19064   GrpHom cghm 19153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-0g 17373  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-ghm 19154

This theorem is referenced by:  ghmquskerlem3  19227  ghmqusker  19228  lmhmqusker  33510  rhmquskerlem  33518