MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmquskerlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmquskerlem2 19227
Description: Lemma for ghmqusker 19229. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmqusker.1 0 = (0g𝐻)
ghmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
ghmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
ghmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
ghmqusker.j 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
ghmquskerlem2.y (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
Assertion
Ref Expression
ghmquskerlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑞,𝐹   𝐺,𝑞,𝑥   𝐻,𝑞,𝑥   𝐽,𝑞,𝑥   𝐾,𝑞,𝑥   𝑄,𝑞,𝑥   𝑌,𝑞,𝑥   𝜑,𝑞,𝑥
Allowed substitution hint:   0 (𝑞)

Proof of Theorem ghmquskerlem2
StepHypRef Expression
1 ghmquskerlem2.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑄))
2 ghmqusker.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾)))
4 eqidd 2728 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
5 ovexd 7449 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) ∈ V)
6 ghmqusker.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
7 ghmgrp1 19163 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
93, 4, 5, 8qusbas 17518 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) = (Base‘𝑄))
101, 9eleqtrrd 2831 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)))
11 elqsg 8778 . . . 4 (𝑌 ∈ (Base‘𝑄) → (𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
1211biimpa 476 . . 3 ((𝑌 ∈ (Base‘𝑄) ∧ 𝑌 ∈ ((Base‘𝐺) / (𝐺 ~QG 𝐾))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
131, 10, 12syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
14 ghmqusker.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
15 ghmqusker.1 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
1615ghmker 19187 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
17 nsgsubg 19104 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 “ { 0 }) ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → (𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
186, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ { 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1914, 18eqeltrid 2832 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
2220, 21eqger 19124 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
2319, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
2423ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺))
25 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
26 ecref 8762 . . . . . . 7 (((𝐺 ~QG 𝐾) Er (Base‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
2724, 25, 26syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥 ∈ [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
28 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾))
2927, 28eleqtrrd 2831 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝑥𝑌)
3028fveq2d 6895 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽𝑌) = (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)))
316ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32 ghmqusker.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
3315, 31, 14, 2, 32, 25ghmquskerlem1 19225 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽‘[𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) = (𝐹𝑥))
3430, 33eqtrd 2767 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
3529, 34jca 511 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥𝑌 ∧ (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥)))
3635expl 457 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾)) → (𝑥𝑌 ∧ (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))))
3736reximdv2 3159 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)𝑌 = [𝑥](𝐺 ~QG 𝐾) → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥)))
3813, 37mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌 (𝐽𝑌) = (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  Vcvv 3469  {csn 4624   cuni 4903  cmpt 5225  ccnv 5671  cima 5675  cfv 6542  (class class class)co 7414   Er wer 8715  [cec 8716   / cqs 8717  Basecbs 17171  0gc0g 17412   /s cqus 17478  Grpcgrp 18881  SubGrpcsubg 19066  NrmSGrpcnsg 19067   ~QG cqg 19068   GrpHom cghm 19158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-0g 17414  df-imas 17481  df-qus 17482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159
This theorem is referenced by:  ghmquskerlem3  19228  ghmqusker  19229  lmhmqusker  33067  rhmquskerlem  33076
  Copyright terms: Public domain W3C validator