Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsaddval 42578
Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsaddval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsaddval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i (𝜑𝐼𝑍)
evlsaddval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evlsaddval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsaddval.g = (+g𝑃)
evlsaddval.f + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
evlsaddval (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evlsaddval
StepHypRef Expression
1 evlsaddval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑍)
2 evlsaddval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsaddval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsaddval.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlsaddval.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsaddval.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
8 evlsaddval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 22112 . . . . . 6 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmghm 20484 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
13 ghmgrp1 19236 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
15 evlsaddval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1615simpld 494 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
17 evlsaddval.n . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
1817simpld 494 . . 3 (𝜑𝑁𝐵)
19 evlsaddval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
20 evlsaddval.g . . . 4 = (+g𝑃)
2119, 20grpcl 18959 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
2214, 16, 18, 21syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
23 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
2419, 20, 23ghmlin 19239 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
2512, 16, 18, 24syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
26 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
27 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
2819, 26rhmf 20485 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2910, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
3029, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
3129, 18ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑁) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
32 evlsaddval.f . . . . . 6 + = (+g𝑆)
337, 26, 2, 27, 30, 31, 32, 23pwsplusgval 17535 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3425, 33eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3534fveq1d 6908 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴))
367, 8, 26, 2, 27, 30pwselbas 17534 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3736ffnd 6737 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼))
387, 8, 26, 2, 27, 31pwselbas 17534 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑁):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3938ffnd 6737 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼))
40 evlsaddval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
41 fnfvof 7714 . . . 4 ((((𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼) ∧ (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼)) ∧ ((𝐾m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))) → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4237, 39, 27, 40, 41syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4315simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
4417simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
4543, 44oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
4635, 42, 453eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
4722, 46jca 511 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  s cpws 17491  Grpcgrp 18951   GrpHom cghm 19230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  SubRingcsubrg 20569   mPoly cmpl 21926   evalSub ces 22096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-evls 22098
This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  42580
  Copyright terms: Public domain W3C validator