Theorem evlsaddval 40200

Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsaddval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsaddval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evlsaddval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsaddval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsaddval.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
evlsaddval.f	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evlsaddval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evlsaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsaddval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
2		evlsaddval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsaddval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsaddval.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsaddval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlsaddval.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlsaddval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 21208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmghm 19884	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		ghmgrp1 18751	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
15		evlsaddval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
16	15	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
17		evlsaddval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
18	17	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
19		evlsaddval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
20		evlsaddval.g	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
21	19, 20	grpcl 18500	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵)
22	14, 16, 18, 21	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵)
23		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
24	19, 20, 23	ghmlin 18754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
25	12, 16, 18, 24	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
27		ovexd 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
28	19, 26	rhmf 19885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
29	10, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
30	29, 16	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
31	29, 18	ffvelrnd 6944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
32		evlsaddval.f	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
33	7, 26, 2, 27, 30, 31, 32, 23	pwsplusgval 17118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
34	25, 33	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
35	34	fveq1d 6758	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
36	7, 8, 26, 2, 27, 30	pwselbas 17117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
37	36	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
38	7, 8, 26, 2, 27, 31	pwselbas 17117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
39	38	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
40		evlsaddval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
41		fnfvof 7528	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
42	37, 39, 27, 40, 41	syl22anc 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
43	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
44	17	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
45	43, 44	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
46	35, 42, 45	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
47	22, 46	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888   ↑_s cpws 17074  Grpcgrp 18492   GrpHom cghm 18746  CRingccrg 19699   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935   mPoly cmpl 21019   evalSub ces 21190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-evls 21192

This theorem is referenced by:  mhphf  40208