Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsaddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsaddval 42555
Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsaddval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsaddval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i (𝜑𝐼𝑍)
evlsaddval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evlsaddval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsaddval.g = (+g𝑃)
evlsaddval.f + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
evlsaddval (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evlsaddval
StepHypRef Expression
1 evlsaddval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑍)
2 evlsaddval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
3 evlsaddval.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4 evlsaddval.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5 evlsaddval.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6 evlsaddval.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
7 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
8 evlsaddval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
94, 5, 6, 7, 8evlsrhm 22130 . . . . . 6 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
101, 2, 3, 9syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmghm 20501 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
13 ghmgrp1 19249 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
15 evlsaddval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1615simpld 494 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
17 evlsaddval.n . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
1817simpld 494 . . 3 (𝜑𝑁𝐵)
19 evlsaddval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
20 evlsaddval.g . . . 4 = (+g𝑃)
2119, 20grpcl 18972 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
2214, 16, 18, 21syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
23 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
2419, 20, 23ghmlin 19252 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
2512, 16, 18, 24syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
26 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
27 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
2819, 26rhmf 20502 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2910, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
3029, 16ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
3129, 18ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑁) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
32 evlsaddval.f . . . . . 6 + = (+g𝑆)
337, 26, 2, 27, 30, 31, 32, 23pwsplusgval 17537 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3425, 33eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3534fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴))
367, 8, 26, 2, 27, 30pwselbas 17536 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3736ffnd 6738 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼))
387, 8, 26, 2, 27, 31pwselbas 17536 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑁):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3938ffnd 6738 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼))
40 evlsaddval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
41 fnfvof 7714 . . . 4 ((((𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼) ∧ (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼)) ∧ ((𝐾m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))) → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4237, 39, 27, 40, 41syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4315simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
4417simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
4543, 44oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
4635, 42, 453eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
4722, 46jca 511 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  s cpws 17493  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  SubRingcsubrg 20586   mPoly cmpl 21944   evalSub ces 22114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-evls 22116
This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  42557
  Copyright terms: Public domain W3C validator