Theorem evlsaddval 22112

Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 27-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsaddval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsaddval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
evlsaddval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsaddval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsaddval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evlsaddval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evlsaddval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsaddval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsaddval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evlsaddval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evlsaddval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
evlsaddval.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
evlsaddval.f	⊢ + = (+g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
evlsaddval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evlsaddval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsaddval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
2		evlsaddval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
3		evlsaddval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
4		evlsaddval.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
5		evlsaddval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑈)
6		evlsaddval.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
8		evlsaddval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9	4, 5, 6, 7, 8	evlsrhm 22071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmghm 20461	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		ghmgrp1 19191	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
15		evlsaddval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
16	15	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
17		evlsaddval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
18	17	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
19		evlsaddval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
20		evlsaddval.g	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
21	19, 20	grpcl 18915	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵)
22	14, 16, 18, 21	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵)
23		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
24	19, 20, 23	ghmlin 19194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
25	12, 16, 18, 24	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
26		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
27		ovexd 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
28	19, 26	rhmf 20462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
29	10, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
30	29, 16	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
31	29, 18	ffvelcdmd 7033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
32		evlsaddval.f	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
33	7, 26, 2, 27, 30, 31, 32, 23	pwsplusgval 17452	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
34	25, 33	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
35	34	fveq1d 6836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
36	7, 8, 26, 2, 27, 30	pwselbas 17450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
37	36	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
38	7, 8, 26, 2, 27, 31	pwselbas 17450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
39	38	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
40		evlsaddval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
41		fnfvof 7644	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
42	37, 39, 27, 40, 41	syl22anc 844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
43	15	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
44	17	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
45	43, 44	oveq12d 7381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
46	35, 42, 45	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
47	22, 46	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   ↑_m cmap 8770  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218   ↑_s cpws 17407  Grpcgrp 18907   GrpHom cghm 19185  CRingccrg 20213   RingHom crh 20447  SubRingcsubrg 20548   mPoly cmpl 21888   evalSub ces 22055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-assa 21835  df-asp 21836  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-evls 22057

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  22114