MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1addd 20027
Description: Polynomial evaluation builder for addition of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1addd.g = (+g𝑃)
evl1addd.a + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1addd (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evl1addd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2799 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 20018 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmghm 19043 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
10 ghmgrp1 17975 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1312simpld 489 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
14 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1514simpld 489 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
16 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
17 evl1addd.g . . . 4 = (+g𝑃)
1816, 17grpcl 17746 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
1911, 13, 15, 18syl3anc 1491 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
20 eqid 2799 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅s 𝐵)) = (+g‘(𝑅s 𝐵))
2116, 17, 20ghmlin 17978 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
229, 13, 15, 21syl3anc 1491 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
23 eqid 2799 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
245fvexi 6425 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
2616, 23rhmf 19044 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
2827, 13ffvelrnd 6586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
2927, 15ffvelrnd 6586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
30 evl1addd.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
314, 23, 1, 25, 28, 29, 30, 20pwsplusgval 16465 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 + (𝑂𝑁)))
3222, 31eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘𝑓 + (𝑂𝑁)))
3332fveq1d 6413 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘𝑓 + (𝑂𝑁))‘𝑌))
344, 5, 23, 1, 25, 28pwselbas 16464 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3534ffnd 6257 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
364, 5, 23, 1, 25, 29pwselbas 16464 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
3736ffnd 6257 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
38 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
39 fnfvof 7145 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘𝑓 + (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4035, 37, 25, 38, 39syl22anc 868 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘𝑓 + (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4112simprd 490 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4214simprd 490 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4341, 42oveq12d 6896 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 + 𝑊))
4433, 40, 433eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊))
4519, 44jca 508 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑓 cof 7129  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  s cpws 16422  Grpcgrp 17738   GrpHom cghm 17970  CRingccrg 18864   RingHom crh 19030  Poly1cpl1 19869  eval1ce1 20001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-srg 18822  df-ring 18865  df-cring 18866  df-rnghom 19033  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-assa 19635  df-asp 19636  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-evls 19828  df-evl 19829  df-psr1 19872  df-ply1 19874  df-evl1 20003
This theorem is referenced by:  evl1gsumdlem  20042
  Copyright terms: Public domain W3C validator