MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1addd 20507
Description: Polynomial evaluation builder for addition of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1addd.g = (+g𝑃)
evl1addd.a + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1addd (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evl1addd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 20498 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmghm 19480 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
10 ghmgrp1 18363 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1312simpld 497 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
14 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1514simpld 497 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
16 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
17 evl1addd.g . . . 4 = (+g𝑃)
1816, 17grpcl 18114 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
1911, 13, 15, 18syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
20 eqid 2824 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅s 𝐵)) = (+g‘(𝑅s 𝐵))
2116, 17, 20ghmlin 18366 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
229, 13, 15, 21syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
23 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
245fvexi 6687 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
2616, 23rhmf 19481 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
2827, 13ffvelrnd 6855 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
2927, 15ffvelrnd 6855 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
30 evl1addd.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
314, 23, 1, 25, 28, 29, 30, 20pwsplusgval 16766 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁)))
3222, 31eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁)))
3332fveq1d 6675 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁))‘𝑌))
344, 5, 23, 1, 25, 28pwselbas 16765 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3534ffnd 6518 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
364, 5, 23, 1, 25, 29pwselbas 16765 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
3736ffnd 6518 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
38 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
39 fnfvof 7426 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4035, 37, 25, 38, 39syl22anc 836 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4112simprd 498 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4214simprd 498 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4341, 42oveq12d 7177 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 + 𝑊))
4433, 40, 433eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊))
4519, 44jca 514 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  Vcvv 3497   Fn wfn 6353  wf 6354  cfv 6358  (class class class)co 7159  f cof 7410  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  s cpws 16723  Grpcgrp 18106   GrpHom cghm 18358  CRingccrg 19301   RingHom crh 19467  Poly1cpl1 20348  eval1ce1 20480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-ofr 7413  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-srg 19259  df-ring 19302  df-cring 19303  df-rnghom 19470  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-assa 20088  df-asp 20089  df-ascl 20090  df-psr 20139  df-mvr 20140  df-mpl 20141  df-opsr 20143  df-evls 20289  df-evl 20290  df-psr1 20351  df-ply1 20353  df-evl1 20482
This theorem is referenced by:  evl1gsumdlem  20522
  Copyright terms: Public domain W3C validator