MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1addd 22361
Description: Polynomial evaluation builder for addition of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1addd.q 𝑂 = (eval1𝑅)
evl1addd.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
evl1addd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1addd.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
evl1addd.1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1addd.2 (𝜑𝑌𝐵)
evl1addd.3 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
evl1addd.4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
evl1addd.g = (+g𝑃)
evl1addd.a + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
evl1addd (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evl1addd
StepHypRef Expression
1 evl1addd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 evl1addd.q . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑅)
3 evl1addd.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
5 evl1addd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5evl1rhm 22352 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)))
8 rhmghm 20501 . . . . 5 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)))
10 ghmgrp1 19249 . . . 4 (𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
12 evl1addd.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑈 ∧ ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉))
1312simpld 494 . . 3 (𝜑𝑀𝑈)
14 evl1addd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑈 ∧ ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊))
1514simpld 494 . . 3 (𝜑𝑁𝑈)
16 evl1addd.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
17 evl1addd.g . . . 4 = (+g𝑃)
1816, 17grpcl 18972 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
1911, 13, 15, 18syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝑈)
20 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅s 𝐵)) = (+g‘(𝑅s 𝐵))
2116, 17, 20ghmlin 19252 . . . . . 6 ((𝑂 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑅s 𝐵)) ∧ 𝑀𝑈𝑁𝑈) → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
229, 13, 15, 21syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)))
23 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
245fvexi 6921 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ V)
2616, 23rhmf 20502 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐵)) → 𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
277, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂:𝑈⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
2827, 13ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑀) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
2927, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑁) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
30 evl1addd.a . . . . . 6 + = (+g𝑅)
314, 23, 1, 25, 28, 29, 30, 20pwsplusgval 17537 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝑀)(+g‘(𝑅s 𝐵))(𝑂𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁)))
3222, 31eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁)))
3332fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁))‘𝑌))
344, 5, 23, 1, 25, 28pwselbas 17536 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑀):𝐵𝐵)
3534ffnd 6738 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑀) Fn 𝐵)
364, 5, 23, 1, 25, 29pwselbas 17536 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑁):𝐵𝐵)
3736ffnd 6738 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑁) Fn 𝐵)
38 evl1addd.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
39 fnfvof 7714 . . . 4 ((((𝑂𝑀) Fn 𝐵 ∧ (𝑂𝑁) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑌𝐵)) → (((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4035, 37, 25, 38, 39syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀) ∘f + (𝑂𝑁))‘𝑌) = (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)))
4112simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑀)‘𝑌) = 𝑉)
4214simprd 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂𝑁)‘𝑌) = 𝑊)
4341, 42oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (((𝑂𝑀)‘𝑌) + ((𝑂𝑁)‘𝑌)) = (𝑉 + 𝑊))
4433, 40, 433eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊))
4519, 44jca 511 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝑀 𝑁))‘𝑌) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  s cpws 17493  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-evl1 22336
This theorem is referenced by:  evl1gsumdlem  22376  evls1addd  22391  aks6d1c1p2  42091  aks6d1c1p3  42092  aks6d1c5lem1  42118  aks6d1c5lem2  42120  aks5lem3a  42171
  Copyright terms: Public domain W3C validator