MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr2sum 27332
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchr2sum.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchr2sum (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchr2sum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchr2sum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2735 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 dchr2sum.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
61, 3dchrrcl 27299 . . . . . 6 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
81dchrabl 27313 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 19818 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
11 dchr2sum.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐷)
12 eqid 2735 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
133, 12grpsubcl 19051 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
1410, 5, 11, 13syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑋(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15 dchr2sum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 27328 . 2 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
175adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐷)
1811adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌𝐷)
19 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
20 eqid 2735 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
213, 19, 20, 12grpsubval 19016 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2217, 18, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
237adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
253, 20grpinvcl 19018 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐷) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
2624, 18, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 27307 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋f · ((invg𝐺)‘𝑌)))
2822, 27eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋f · ((invg𝐺)‘𝑌)))
2928fveq1d 6909 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋f · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
301, 2, 3, 15, 17dchrf 27301 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
3130ffnd 6738 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
321, 2, 3, 15, 26dchrf 27301 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
3332ffnd 6738 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
3415fvexi 6921 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
37 fnfvof 7714 . . . . 5 (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎𝐵)) → ((𝑋f · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
3831, 33, 35, 36, 37syl22anc 839 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋f · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
391, 3, 18, 20dchrinv 27320 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
4039fveq1d 6909 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
411, 2, 3, 15, 18dchrf 27301 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
42 fvco3 7008 . . . . . . 7 ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4341, 36, 42syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4440, 43eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4544oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
4629, 38, 453eqtrd 2779 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
4746sumeq2dv 15735 . 2 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
483, 4, 12grpsubeq0 19057 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷𝑌𝐷) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
4910, 5, 11, 48syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
5049ifbid 4554 . 2 (𝜑 → if((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
5116, 47, 503eqtr3d 2783 1 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  ifcif 4531  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  cn 12264  ccj 15132  Σcsu 15719  ϕcphi 16798  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  -gcsg 18966  Abelcabl 19814  ℤ/nczn 21531  DChrcdchr 27291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-phi 16800  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-dchr 27292
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator