Theorem dchr2sum 27490

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr2sum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchr2sum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr2sum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr2sum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchr2sum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		dchr2sum.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 27457	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1	dchrabl 27471	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablgrp 19901	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		dchr2sum.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	3, 12	grpsubcl 19132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
14	10, 5, 11, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15		dchr2sum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
16	1, 2, 3, 4, 14, 15	dchrsum 27486	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
17	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
18	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐷)
19		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
21	3, 19, 20, 12	grpsubval 19098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	17, 18, 21	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
23	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23, 8, 9	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
25	3, 20	grpinvcl 19100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
26	24, 18, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
27	1, 2, 3, 19, 17, 26	dchrmul 27465	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	22, 27	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	28	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
30	1, 2, 3, 15, 17	dchrf 27459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
31	30	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
32	1, 2, 3, 15, 26	dchrf 27459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
33	32	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
34	15	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7701	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
38	31, 33, 35, 36, 37	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
39	1, 3, 18, 20	dchrinv 27478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
40	39	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
41	1, 2, 3, 15, 18	dchrf 27459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
42		fvco3 6985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
43	41, 36, 42	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
44	40, 43	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
45	44	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
46	29, 38, 45	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
47	46	sumeq2dv 15779	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
48	3, 4, 12	grpsubeq0 19138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
49	10, 5, 11, 48	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
50	49	ifbid 4513	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
51	16, 47, 50	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ifcif 4489   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  ℂcc 11115  0cc0 11117   · cmul 11122  ℕcn 12250  ∗ccj 15173  Σcsu 15763  ϕcphi 16847  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  0_gc0g 17516  Grpcgrp 19046  inv_gcminusg 19047  -_gcsg 19048  Abelcabl 19897  ℤ/nℤczn 21704  DChrcdchr 27449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196  ax-mulf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-pi 16150  df-dvds 16335  df-gcd 16577  df-phi 16849  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-qus 17587  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-nsg 19236  df-eqg 19237  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-od 19644  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-cring 20364  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-rhm 20602  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-sra 21346  df-rgmod 21347  df-lidl 21384  df-rsp 21385  df-2idl 21441  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-zring 21649  df-zrh 21705  df-zn 21708  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-limc 26078  df-dv 26079  df-log 26774  df-cxp 26775  df-dchr 27450

This theorem is used by: (None)