MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr2sum 26637
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(π‘Ž) Β· βˆ—π‘Œ(π‘Ž) over all π‘Ž is nonzero only when 𝑋 = π‘Œ. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchr2sum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchr2sum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchr2sum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchr2sum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchr2sum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐺,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   π‘Œ,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchr2sum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchr2sum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2737 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5 dchr2sum.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
61, 3dchrrcl 26604 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
81dchrabl 26618 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 19574 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 dchr2sum.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
12 eqid 2737 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
133, 12grpsubcl 18834 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
1410, 5, 11, 13syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
15 dchr2sum.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 26633 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
175adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1811adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
19 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
20 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
213, 19, 20, 12grpsubval 18803 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2217, 18, 21syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
237adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
253, 20grpinvcl 18805 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
2624, 18, 25syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 26612 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2822, 27eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2928fveq1d 6849 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž))
301, 2, 3, 15, 17dchrf 26606 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
3130ffnd 6674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 Fn 𝐡)
321, 2, 3, 15, 26dchrf 26606 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ):π΅βŸΆβ„‚)
3332ffnd 6674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡)
3415fvexi 6861 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
36 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
37 fnfvof 7639 . . . . 5 (((𝑋 Fn 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡) ∧ (𝐡 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
3831, 33, 35, 36, 37syl22anc 838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
391, 3, 18, 20dchrinv 26625 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆ— ∘ π‘Œ))
4039fveq1d 6849 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž))
411, 2, 3, 15, 18dchrf 26606 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚)
42 fvco3 6945 . . . . . . 7 ((π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4341, 36, 42syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4440, 43eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4544oveq2d 7378 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4629, 38, 453eqtrd 2781 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4746sumeq2dv 15595 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
483, 4, 12grpsubeq0 18840 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
4910, 5, 11, 48syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
5049ifbid 4514 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
5116, 47, 503eqtr3d 2785 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448  ifcif 4491   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  0cc0 11058   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  βˆ—ccj 14988  Ξ£csu 15577  Ο•cphi 16643  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  -gcsg 18757  Abelcabl 19570  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-phi 16645  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator