MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchr2sum 25208
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x (𝜑𝑋𝐷)
dchr2sum.y (𝜑𝑌𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchr2sum (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchr2sum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchr2sum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2806 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 dchr2sum.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
61, 3dchrrcl 25175 . . . . . 6 (𝑋𝐷𝑁 ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
81dchrabl 25189 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 18395 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
11 dchr2sum.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐷)
12 eqid 2806 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
133, 12grpsubcl 17696 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
1410, 5, 11, 13syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → (𝑋(-g𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15 dchr2sum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 25204 . 2 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
175adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐷)
1811adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌𝐷)
19 eqid 2806 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
20 eqid 2806 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
213, 19, 20, 12grpsubval 17666 . . . . . . 7 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2217, 18, 21syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
237adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
253, 20grpinvcl 17668 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐷) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
2624, 18, 25syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 25183 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌)))
2822, 27eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑋(-g𝐺)𝑌) = (𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌)))
2928fveq1d 6406 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
301, 2, 3, 15, 17dchrf 25177 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
3130ffnd 6253 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
321, 2, 3, 15, 26dchrf 25177 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
3332ffnd 6253 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
3415fvexi 6418 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
37 fnfvof 7137 . . . . 5 (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎𝐵)) → ((𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
3831, 33, 35, 36, 37syl22anc 858 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑓 · ((invg𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
391, 3, 18, 20dchrinv 25196 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
4039fveq1d 6406 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
411, 2, 3, 15, 18dchrf 25177 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
42 fvco3 6492 . . . . . . 7 ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4341, 36, 42syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4440, 43eqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌𝑎)))
4544oveq2d 6886 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋𝑎) · (((invg𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
4629, 38, 453eqtrd 2844 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
4746sumeq2dv 14652 . 2 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋(-g𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))))
483, 4, 12grpsubeq0 17702 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷𝑌𝐷) → ((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
4910, 5, 11, 48syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → ((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
5049ifbid 4301 . 2 (𝜑 → if((𝑋(-g𝐺)𝑌) = (0g𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
5116, 47, 503eqtr3d 2848 1 (𝜑 → Σ𝑎𝐵 ((𝑋𝑎) · (∗‘(𝑌𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  ifcif 4279  ccom 5315   Fn wfn 6092  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  𝑓 cof 7121  cc 10215  0cc0 10217   · cmul 10222  cn 11301  ccj 14055  Σcsu 14635  ϕcphi 15682  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16301  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  -gcsg 17625  Abelcabl 18391  ℤ/nczn 20055  DChrcdchr 25167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-tpos 7583  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-ec 7977  df-qs 7981  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-acn 9047  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-bc 13306  df-hash 13334  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15014  df-sin 15016  df-cos 15017  df-pi 15019  df-dvds 15200  df-gcd 15432  df-phi 15684  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-qus 16370  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17789  df-nsg 17790  df-eqg 17791  df-ghm 17856  df-cntz 17947  df-od 18145  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-invr 18870  df-dvr 18881  df-rnghom 18915  df-drng 18949  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-lsp 19175  df-sra 19377  df-rgmod 19378  df-lidl 19379  df-rsp 19380  df-2idl 19437  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-zring 20023  df-zrh 20056  df-zn 20059  df-top 20908  df-topon 20925  df-topsp 20947  df-bases 20960  df-cld 21033  df-ntr 21034  df-cls 21035  df-nei 21112  df-lp 21150  df-perf 21151  df-cn 21241  df-cnp 21242  df-haus 21329  df-tx 21575  df-hmeo 21768  df-fil 21859  df-fm 21951  df-flim 21952  df-flf 21953  df-xms 22334  df-ms 22335  df-tms 22336  df-cncf 22890  df-limc 23840  df-dv 23841  df-log 24513  df-cxp 24514  df-dchr 25168
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator