MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchr2sum 26773
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(π‘Ž) Β· βˆ—π‘Œ(π‘Ž) over all π‘Ž is nonzero only when 𝑋 = π‘Œ. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchr2sum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchr2sum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchr2sum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchr2sum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchr2sum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐺,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   π‘Œ,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)
Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchr2sum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchr2sum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5 dchr2sum.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
61, 3dchrrcl 26740 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
81dchrabl 26754 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 19652 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 dchr2sum.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
12 eqid 2732 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
133, 12grpsubcl 18902 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
1410, 5, 11, 13syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
15 dchr2sum.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 26769 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
175adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1811adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
19 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
213, 19, 20, 12grpsubval 18869 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2217, 18, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
237adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
253, 20grpinvcl 18871 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
2624, 18, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 26748 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2822, 27eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2928fveq1d 6893 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž))
301, 2, 3, 15, 17dchrf 26742 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
3130ffnd 6718 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 Fn 𝐡)
321, 2, 3, 15, 26dchrf 26742 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ):π΅βŸΆβ„‚)
3332ffnd 6718 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡)
3415fvexi 6905 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
36 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
37 fnfvof 7686 . . . . 5 (((𝑋 Fn 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡) ∧ (𝐡 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
3831, 33, 35, 36, 37syl22anc 837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
391, 3, 18, 20dchrinv 26761 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆ— ∘ π‘Œ))
4039fveq1d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž))
411, 2, 3, 15, 18dchrf 26742 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚)
42 fvco3 6990 . . . . . . 7 ((π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4341, 36, 42syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4440, 43eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4544oveq2d 7424 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4629, 38, 453eqtrd 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4746sumeq2dv 15648 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
483, 4, 12grpsubeq0 18908 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
4910, 5, 11, 48syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
5049ifbid 4551 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
5116, 47, 503eqtr3d 2780 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4528   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„‚cc 11107  0cc0 11109   Β· cmul 11114  β„•cn 12211  βˆ—ccj 15042  Ξ£csu 15631  Ο•cphi 16696  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  -gcsg 18820  Abelcabl 19648  β„€/nβ„€czn 21051  DChrcdchr 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-phi 16698  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-qus 17454  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-od 19395  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065  df-dchr 26733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator