Theorem dchr2sum 27238

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr2sum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchr2sum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr2sum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr2sum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchr2sum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		dchr2sum.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 27205	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1	dchrabl 27219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablgrp 19712	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		dchr2sum.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	3, 12	grpsubcl 18948	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
14	10, 5, 11, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15		dchr2sum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
16	1, 2, 3, 4, 14, 15	dchrsum 27234	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
17	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
18	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐷)
19		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
21	3, 19, 20, 12	grpsubval 18913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	17, 18, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
23	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
25	3, 20	grpinvcl 18915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
26	24, 18, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
27	1, 2, 3, 19, 17, 26	dchrmul 27213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	22, 27	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	28	fveq1d 6834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
30	1, 2, 3, 15, 17	dchrf 27207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
31	30	ffnd 6661	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
32	1, 2, 3, 15, 26	dchrf 27207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
33	32	ffnd 6661	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
34	15	fvexi 6846	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7637	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
38	31, 33, 35, 36, 37	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
39	1, 3, 18, 20	dchrinv 27226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
40	39	fveq1d 6834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
41	1, 2, 3, 15, 18	dchrf 27207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
42		fvco3 6931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
43	41, 36, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
44	40, 43	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
45	44	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
46	29, 38, 45	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
47	46	sumeq2dv 15623	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
48	3, 4, 12	grpsubeq0 18954	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
49	10, 5, 11, 48	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
50	49	ifbid 4501	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
51	16, 47, 50	3eqtr3d 2777	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ifcif 4477   ∘ ccom 5626   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℂcc 11022  0cc0 11024   · cmul 11029  ℕcn 12143  ∗ccj 15017  Σcsu 15607  ϕcphi 16689  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862  -_gcsg 18863  Abelcabl 19708  ℤ/nℤczn 21455  DChrcdchr 27197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-phi 16691  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-qus 17428  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-nsg 19052  df-eqg 19053  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-od 19455  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-rhm 20406  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-lidl 21161  df-rsp 21162  df-2idl 21203  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-zring 21400  df-zrh 21456  df-zn 21459  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-cxp 26520  df-dchr 27198

This theorem is referenced by: (None)