MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchr2sum 27234
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(π‘Ž) Β· βˆ—π‘Œ(π‘Ž) over all π‘Ž is nonzero only when 𝑋 = π‘Œ. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchr2sum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchr2sum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchr2sum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchr2sum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchr2sum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐺,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   π‘Œ,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)
Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchr2sum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchr2sum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5 dchr2sum.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
61, 3dchrrcl 27201 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
81dchrabl 27215 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 19754 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 dchr2sum.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
12 eqid 2728 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
133, 12grpsubcl 18990 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
1410, 5, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
15 dchr2sum.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 27230 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
175adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1811adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
19 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
20 eqid 2728 . . . . . . . 8 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
213, 19, 20, 12grpsubval 18956 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2217, 18, 21syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
237adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
253, 20grpinvcl 18958 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
2624, 18, 25syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 27209 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2822, 27eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2928fveq1d 6904 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž))
301, 2, 3, 15, 17dchrf 27203 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
3130ffnd 6728 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 Fn 𝐡)
321, 2, 3, 15, 26dchrf 27203 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ):π΅βŸΆβ„‚)
3332ffnd 6728 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡)
3415fvexi 6916 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
36 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
37 fnfvof 7709 . . . . 5 (((𝑋 Fn 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡) ∧ (𝐡 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
3831, 33, 35, 36, 37syl22anc 837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
391, 3, 18, 20dchrinv 27222 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆ— ∘ π‘Œ))
4039fveq1d 6904 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž))
411, 2, 3, 15, 18dchrf 27203 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚)
42 fvco3 7002 . . . . . . 7 ((π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4341, 36, 42syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4440, 43eqtrd 2768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4544oveq2d 7442 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4629, 38, 453eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4746sumeq2dv 15691 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
483, 4, 12grpsubeq0 18996 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
4910, 5, 11, 48syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
5049ifbid 4555 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
5116, 47, 503eqtr3d 2776 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ifcif 4532   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690  β„‚cc 11146  0cc0 11148   Β· cmul 11153  β„•cn 12252  βˆ—ccj 15085  Ξ£csu 15674  Ο•cphi 16742  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  invgcminusg 18905  -gcsg 18906  Abelcabl 19750  β„€/nβ„€czn 21442  DChrcdchr 27193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-phi 16744  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-qus 17500  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-nsg 19093  df-eqg 19094  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-od 19497  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-2idl 21158  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-zn 21446  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518  df-cxp 26519  df-dchr 27194
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator