MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dchr2sum 27161
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(π‘Ž) Β· βˆ—π‘Œ(π‘Ž) over all π‘Ž is nonzero only when 𝑋 = π‘Œ. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchr2sum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchr2sum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
dchr2sum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchr2sum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
dchr2sum (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘Ž   𝐺,π‘Ž   πœ‘,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   π‘Œ,π‘Ž   𝑍,π‘Ž
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)
Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchr2sum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchr2sum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
4 eqid 2726 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5 dchr2sum.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
61, 3dchrrcl 27128 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑁 ∈ β„•)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
81dchrabl 27142 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 19705 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 dchr2sum.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
12 eqid 2726 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
133, 12grpsubcl 18948 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
1410, 5, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) ∈ 𝐷)
15 dchr2sum.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 27157 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0))
175adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1811adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
19 eqid 2726 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
20 eqid 2726 . . . . . . . 8 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
213, 19, 20, 12grpsubval 18915 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2217, 18, 21syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
237adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2423, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
253, 20grpinvcl 18917 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
2624, 18, 25syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐷)
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 27136 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(+gβ€˜πΊ)((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2822, 27eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)))
2928fveq1d 6887 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž))
301, 2, 3, 15, 17dchrf 27130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:π΅βŸΆβ„‚)
3130ffnd 6712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 Fn 𝐡)
321, 2, 3, 15, 26dchrf 27130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ):π΅βŸΆβ„‚)
3332ffnd 6712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡)
3415fvexi 6899 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
3534a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ V)
36 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
37 fnfvof 7684 . . . . 5 (((𝑋 Fn 𝐡 ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) Fn 𝐡) ∧ (𝐡 ∈ V ∧ π‘Ž ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
3831, 33, 35, 36, 37syl22anc 836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∘f Β· ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ))β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)))
391, 3, 18, 20dchrinv 27149 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ) = (βˆ— ∘ π‘Œ))
4039fveq1d 6887 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž))
411, 2, 3, 15, 18dchrf 27130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚)
42 fvco3 6984 . . . . . . 7 ((π‘Œ:π΅βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4341, 36, 42syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((βˆ— ∘ π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4440, 43eqtrd 2766 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž) = (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž)))
4544oveq2d 7421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘Œ)β€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4629, 38, 453eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
4746sumeq2dv 15655 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ)β€˜π‘Ž) = Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))))
483, 4, 12grpsubeq0 18954 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ π‘Œ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
4910, 5, 11, 48syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
5049ifbid 4546 . 2 (πœ‘ β†’ if((𝑋(-gβ€˜πΊ)π‘Œ) = (0gβ€˜πΊ), (Ο•β€˜π‘), 0) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
5116, 47, 503eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘Ž ∈ 𝐡 ((π‘‹β€˜π‘Ž) Β· (βˆ—β€˜(π‘Œβ€˜π‘Ž))) = if(𝑋 = π‘Œ, (Ο•β€˜π‘), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ifcif 4523   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  βˆ—ccj 15049  Ξ£csu 15638  Ο•cphi 16706  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  -gcsg 18865  Abelcabl 19701  β„€/nβ„€czn 21389  DChrcdchr 27120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-phi 16708  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-dchr 27121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator