Theorem dchr2sum 25215

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr2sum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchr2sum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr2sum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr2sum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchr2sum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2771	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		dchr2sum.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 25182	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1	dchrabl 25196	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablgrp 18401	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		dchr2sum.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	3, 12	grpsubcl 17699	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
14	10, 5, 11, 13	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15		dchr2sum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
16	1, 2, 3, 4, 14, 15	dchrsum 25211	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
17	5	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
18	11	adantr 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐷)
19		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
21	3, 19, 20, 12	grpsubval 17669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	17, 18, 21	syl2anc 573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
23	7	adantr 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
25	3, 20	grpinvcl 17671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
26	24, 18, 25	syl2anc 573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
27	1, 2, 3, 19, 17, 26	dchrmul 25190	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	22, 27	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	28	fveq1d 6332	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
30	1, 2, 3, 15, 17	dchrf 25184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
31	30	ffnd 6184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
32	1, 2, 3, 15, 26	dchrf 25184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
33	32	ffnd 6184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
34	15	fvexi 6342	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36		simpr 471	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7058	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
38	31, 33, 35, 36, 37	syl22anc 1477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘𝑓 · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
39	1, 3, 18, 20	dchrinv 25203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
40	39	fveq1d 6332	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
41	1, 2, 3, 15, 18	dchrf 25184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
42		fvco3 6416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
43	41, 36, 42	syl2anc 573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
44	40, 43	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
45	44	oveq2d 6808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
46	29, 38, 45	3eqtrd 2809	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
47	46	sumeq2dv 14637	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
48	3, 4, 12	grpsubeq0 17705	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
49	10, 5, 11, 48	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
50	49	ifbid 4247	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
51	16, 47, 50	3eqtr3d 2813	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ifcif 4225   ∘ ccom 5253   Fn wfn 6024  ⟶wf 6025  ‘cfv 6029  (class class class)co 6792   ∘_𝑓 cof 7042  ℂcc 10136  0cc0 10138   · cmul 10143  ℕcn 11222  ∗ccj 14040  Σcsu 14620  ϕcphi 15672  Basecbs 16060  +_gcplusg 16145  0_gc0g 16304  Grpcgrp 17626  inv_gcminusg 17627  -_gcsg 17628  Abelcabl 18397  ℤ/nℤczn 20062  DChrcdchr 25174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12147  df-xadd 12148  df-xmul 12149  df-ioo 12380  df-ioc 12381  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12530  df-fzo 12670  df-fl 12797  df-mod 12873  df-seq 13005  df-exp 13064  df-fac 13261  df-bc 13290  df-hash 13318  df-shft 14011  df-cj 14043  df-re 14044  df-im 14045  df-sqrt 14179  df-abs 14180  df-limsup 14406  df-clim 14423  df-rlim 14424  df-sum 14621  df-ef 15000  df-sin 15002  df-cos 15003  df-pi 15005  df-dvds 15186  df-gcd 15421  df-phi 15674  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-starv 16160  df-sca 16161  df-vsca 16162  df-ip 16163  df-tset 16164  df-ple 16165  df-ds 16168  df-unif 16169  df-hom 16170  df-cco 16171  df-rest 16287  df-topn 16288  df-0g 16306  df-gsum 16307  df-topgen 16308  df-pt 16309  df-prds 16312  df-xrs 16366  df-qtop 16371  df-imas 16372  df-qus 16373  df-xps 16374  df-mre 16450  df-mrc 16451  df-acs 16453  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-mhm 17539  df-submnd 17540  df-grp 17629  df-minusg 17630  df-sbg 17631  df-mulg 17745  df-subg 17795  df-nsg 17796  df-eqg 17797  df-ghm 17862  df-cntz 17953  df-od 18151  df-cmn 18398  df-abl 18399  df-mgp 18694  df-ur 18706  df-ring 18753  df-cring 18754  df-oppr 18827  df-dvdsr 18845  df-unit 18846  df-invr 18876  df-dvr 18887  df-rnghom 18921  df-drng 18955  df-subrg 18984  df-lmod 19071  df-lss 19139  df-lsp 19181  df-sra 19383  df-rgmod 19384  df-lidl 19385  df-rsp 19386  df-2idl 19443  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-zring 20030  df-zrh 20063  df-zn 20066  df-top 20915  df-topon 20932  df-topsp 20954  df-bases 20967  df-cld 21040  df-ntr 21041  df-cls 21042  df-nei 21119  df-lp 21157  df-perf 21158  df-cn 21248  df-cnp 21249  df-haus 21336  df-tx 21582  df-hmeo 21775  df-fil 21866  df-fm 21958  df-flim 21959  df-flf 21960  df-xms 22341  df-ms 22342  df-tms 22343  df-cncf 22897  df-limc 23846  df-dv 23847  df-log 24520  df-cxp 24521  df-dchr 25175

This theorem is referenced by: (None)