Theorem dchr2sum 26108

Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑋(𝑎) · ∗𝑌(𝑎) over all 𝑎 is nonzero only when 𝑋 = 𝑌. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchr2sum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchr2sum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchr2sum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchr2sum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchr2sum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchr2sum.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchr2sum	⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎   𝐺,𝑎   𝜑,𝑎   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑎)   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem dchr2sum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchr2sum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchr2sum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchr2sum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		dchr2sum.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 26075	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1	dchrabl 26089	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9		ablgrp 19129	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		dchr2sum.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
12		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	3, 12	grpsubcl 18397	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
14	10, 5, 11, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) ∈ 𝐷)
15		dchr2sum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
16	1, 2, 3, 4, 14, 15	dchrsum 26104	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0))
17	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐷)
18	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐷)
19		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
21	3, 19, 20, 12	grpsubval 18367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
22	17, 18, 21	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
23	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
25	3, 20	grpinvcl 18369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
26	24, 18, 25	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝐷)
27	1, 2, 3, 19, 17, 26	dchrmul 26083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	22, 27	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	28	fveq1d 6697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎))
30	1, 2, 3, 15, 17	dchrf 26077	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐵⟶ℂ)
31	30	ffnd 6524	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑋 Fn 𝐵)
32	1, 2, 3, 15, 26	dchrf 26077	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌):𝐵⟶ℂ)
33	32	ffnd 6524	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵)
34	15	fvexi 6709	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
37		fnfvof 7463	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 Fn 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑌) Fn 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ V ∧ 𝑎 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
38	31, 33, 35, 36, 37	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∘f · ((invg‘𝐺)‘𝑌))‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)))
39	1, 3, 18, 20	dchrinv 26096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = (∗ ∘ 𝑌))
40	39	fveq1d 6697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎))
41	1, 2, 3, 15, 18	dchrf 26077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑌:𝐵⟶ℂ)
42		fvco3 6788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌:𝐵⟶ℂ ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
43	41, 36, 42	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((∗ ∘ 𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
44	40, 43	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎) = (∗‘(𝑌‘𝑎)))
45	44	oveq2d 7207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋‘𝑎) · (((invg‘𝐺)‘𝑌)‘𝑎)) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
46	29, 38, 45	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
47	46	sumeq2dv 15232	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌)‘𝑎) = Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))))
48	3, 4, 12	grpsubeq0 18403	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
49	10, 5, 11, 48	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺) ↔ 𝑋 = 𝑌))
50	49	ifbid 4448	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋(-g‘𝐺)𝑌) = (0g‘𝐺), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))
51	16, 47, 50	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑎 ∈ 𝐵 ((𝑋‘𝑎) · (∗‘(𝑌‘𝑎))) = if(𝑋 = 𝑌, (ϕ‘𝑁), 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398  ifcif 4425   ∘ ccom 5540   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ∘_f cof 7445  ℂcc 10692  0cc0 10694   · cmul 10699  ℕcn 11795  ∗ccj 14624  Σcsu 15214  ϕcphi 16280  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  0_gc0g 16898  Grpcgrp 18319  inv_gcminusg 18320  -_gcsg 18321  Abelcabl 19125  ℤ/nℤczn 20423  DChrcdchr 26067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-disj 5005  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-tpos 7946  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-oadd 8184  df-omul 8185  df-er 8369  df-ec 8371  df-qs 8375  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-acn 9523  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-xnn0 12128  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ioc 12905  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-bc 13834  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594  df-cos 15595  df-pi 15597  df-dvds 15779  df-gcd 16017  df-phi 16282  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-qus 16968  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-nsg 18495  df-eqg 18496  df-ghm 18574  df-cntz 18665  df-od 18874  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-cring 19519  df-oppr 19595  df-dvdsr 19613  df-unit 19614  df-invr 19644  df-dvr 19655  df-rnghom 19689  df-drng 19723  df-subrg 19752  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-lsp 19963  df-sra 20163  df-rgmod 20164  df-lidl 20165  df-rsp 20166  df-2idl 20224  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-zring 20390  df-zrh 20424  df-zn 20427  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-lp 21987  df-perf 21988  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cncf 23729  df-limc 24717  df-dv 24718  df-log 25399  df-cxp 25400  df-dchr 26068

This theorem is referenced by: (None)