Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap11 39102
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12d.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12d.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap12d.x (𝜑𝑋𝑉)
hdmap12d.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap11 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap12d.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap12d.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2822 . . . . 5 (-g𝑈) = (-g𝑈)
5 eqid 2822 . . . . 5 ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2822 . . . . 5 (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7 hdmap12d.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap12d.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 hdmap12d.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
10 hdmap12d.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 39101 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = ((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)))
1211eqeq1d 2824 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
13 eqid 2822 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
14 eqid 2822 . . . 4 (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
151, 2, 8dvhlmod 38364 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
163, 4lmodvsubcl 19670 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋(-g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
1715, 9, 10, 16syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(-g𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 39098 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈)))
191, 5, 8lcdlmod 38846 . . . . 5 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
20 lmodgrp 19632 . . . . 5 (((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
22 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 39084 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 39084 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
2522, 14, 6grpsubeq0 18176 . . . 4 ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑆𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑆𝑌)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (((𝑆𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆𝑋) = (𝑆𝑌)))
2712, 18, 263bitr3rd 313 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ (𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈)))
28 lmodgrp 19632 . . . 4 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
2915, 28syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
303, 13, 4grpsubeq0 18176 . . 3 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
3129, 9, 10, 30syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑋(-g𝑈)𝑌) = (0g𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
3227, 31bitrd 282 1 (𝜑 → ((𝑆𝑋) = (𝑆𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  -gcsg 18096  LModclmod 19625  HLchlt 36604  LHypclh 37238  DVecHcdvh 38332  LCDualclcd 38840  HDMapchdma 39046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36207
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866  df-lsatoms 36230  df-lshyp 36231  df-lcv 36273  df-lfl 36312  df-lkr 36340  df-ldual 36378  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-llines 36752  df-lplanes 36753  df-lvols 36754  df-lines 36755  df-psubsp 36757  df-pmap 36758  df-padd 37050  df-lhyp 37242  df-laut 37243  df-ldil 37358  df-ltrn 37359  df-trl 37413  df-tgrp 37997  df-tendo 38009  df-edring 38011  df-dveca 38257  df-disoa 38283  df-dvech 38333  df-dib 38393  df-dic 38427  df-dih 38483  df-doch 38602  df-djh 38649  df-lcdual 38841  df-mapd 38879  df-hvmap 39011  df-hdmap1 39047  df-hdmap 39048
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  39119  hgmap11  39156
  Copyright terms: Public domain W3C validator