Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmap11 41022
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap12d.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap12d.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap12d.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap12d.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap12d.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap11 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap12d.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap12d.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2730 . . . . 5 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2730 . . . . 5 ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2730 . . . . 5 (-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
7 hdmap12d.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmap12d.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 hdmap12d.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 hdmap12d.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 41021 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)))
1211eqeq1d 2732 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ ((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
13 eqid 2730 . . . 4 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
14 eqid 2730 . . . 4 (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
151, 2, 8dvhlmod 40284 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
163, 4lmodvsubcl 20661 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
1715, 9, 10, 16syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 41018 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
191, 5, 8lcdlmod 40766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ LMod)
20 lmodgrp 20621 . . . . 5 (((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ LMod β†’ ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ Grp)
22 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 41004 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 41004 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2522, 14, 6grpsubeq0 18945 . . . 4 ((((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ)))
2712, 18, 263bitr3rd 309 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ) ↔ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
28 lmodgrp 20621 . . . 4 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
2915, 28syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
303, 13, 4grpsubeq0 18945 . . 3 ((π‘ˆ ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
3129, 9, 10, 30syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
3227, 31bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  LModclmod 20614  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  LCDualclcd 40760  HDMapchdma 40966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569  df-lcdual 40761  df-mapd 40799  df-hvmap 40931  df-hdmap1 40967  df-hdmap 40968
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  41039  hgmap11  41076
  Copyright terms: Public domain W3C validator