Theorem hdmap11 42104

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12d.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12d.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12d.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap11	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hdmap11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12d.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12d.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12d.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		hdmap12d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap12d.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmap12d.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		hdmap12d.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmapsub 42103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)))
12	11	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15	1, 2, 8	dvhlmod 41366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16	3, 4	lmodvsubcl 20858	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
17	15, 9, 10, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
18	1, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17	hdmapeq0 42100	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈)))
19	1, 5, 8	lcdlmod 41848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
20		lmodgrp 20818	. . . . 5 ⊢ (((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23	1, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9	hdmapcl 42086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	1, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10	hdmapcl 42086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
25	22, 14, 6	grpsubeq0 18956	. . . 4 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌)))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌)))
27	12, 18, 26	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈)))
28		lmodgrp 20818	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
29	15, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
30	3, 13, 4	grpsubeq0 18956	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
31	29, 9, 10, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	27, 31	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  LModclmod 20811  HLchlt 39606  LHypclh 40240  DVecHcdvh 41334  LCDualclcd 41842  HDMapchdma 42048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-riotaBAD 39209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cntz 19246  df-oppg 19275  df-lsm 19565  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-nzr 20446  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lvec 21055  df-lsatoms 39232  df-lshyp 39233  df-lcv 39275  df-lfl 39314  df-lkr 39342  df-ldual 39380  df-oposet 39432  df-ol 39434  df-oml 39435  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-llines 39754  df-lplanes 39755  df-lvols 39756  df-lines 39757  df-psubsp 39759  df-pmap 39760  df-padd 40052  df-lhyp 40244  df-laut 40245  df-ldil 40360  df-ltrn 40361  df-trl 40415  df-tgrp 40999  df-tendo 41011  df-edring 41013  df-dveca 41259  df-disoa 41285  df-dvech 41335  df-dib 41395  df-dic 41429  df-dih 41485  df-doch 41604  df-djh 41651  df-lcdual 41843  df-mapd 41881  df-hvmap 42013  df-hdmap1 42049  df-hdmap 42050

This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  42121  hgmap11  42158