Theorem hdmap11 42663

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12d.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12d.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12d.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap11	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hdmap11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12d.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12d.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12d.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
5		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		hdmap12d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap12d.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmap12d.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		hdmap12d.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmapsub 42662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)))
12	11	eqeq1d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
13		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
14		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15	1, 2, 8	dvhlmod 41925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16	3, 4	lmodvsubcl 21065	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
17	15, 9, 10, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
18	1, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17	hdmapeq0 42659	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈)))
19	1, 5, 8	lcdlmod 42407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
20		lmodgrp 21025	. . . . 5 ⊢ (((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
21	19, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
22		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23	1, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9	hdmapcl 42645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	1, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10	hdmapcl 42645	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
25	22, 14, 6	grpsubeq0 19123	. . . 4 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌)))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌)))
27	12, 18, 26	3bitr3rd 313	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈)))
28		lmodgrp 21025	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
29	15, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
30	3, 13, 4	grpsubeq0 19123	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
31	29, 9, 10, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	27, 31	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  0_gc0g 17517  Grpcgrp 19031  -_gcsg 19033  LModclmod 21018  HLchlt 40165  LHypclh 40799  DVecHcdvh 41893  LCDualclcd 42401  HDMapchdma 42607

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39768

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-lsm 19737  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-nzr 20647  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-lvec 21261  df-lsatoms 39791  df-lshyp 39792  df-lcv 39834  df-lfl 39873  df-lkr 39901  df-ldual 39939  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-llines 40313  df-lplanes 40314  df-lvols 40315  df-lines 40316  df-psubsp 40318  df-pmap 40319  df-padd 40611  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974  df-tgrp 41558  df-tendo 41570  df-edring 41572  df-dveca 41818  df-disoa 41844  df-dvech 41894  df-dib 41954  df-dic 41988  df-dih 42044  df-doch 42163  df-djh 42210  df-lcdual 42402  df-mapd 42440  df-hvmap 42572  df-hdmap1 42608  df-hdmap 42609

This theorem is used by:  hdmapf1oN  42680  hgmap11  42717