Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmap11 40417
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12d.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap12d.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap12d.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap12d.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap12d.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap12d.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12d.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap11 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem hdmap11
StepHypRef Expression
1 hdmap12d.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap12d.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap12d.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2731 . . . . 5 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2731 . . . . 5 ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2731 . . . . 5 (-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
7 hdmap12d.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmap12d.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 hdmap12d.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 hdmap12d.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmapsub 40416 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ)) = ((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)))
1211eqeq1d 2733 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ ((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))))
13 eqid 2731 . . . 4 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
14 eqid 2731 . . . 4 (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
151, 2, 8dvhlmod 39679 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
163, 4lmodvsubcl 20439 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
1715, 9, 10, 16syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ 𝑉)
181, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17hdmapeq0 40413 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
191, 5, 8lcdlmod 40161 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ LMod)
20 lmodgrp 20400 . . . . 5 (((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ LMod β†’ ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ Grp)
2119, 20syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ Grp)
22 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
231, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9hdmapcl 40399 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
241, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10hdmapcl 40399 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2522, 14, 6grpsubeq0 18862 . . . 4 ((((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (π‘†β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (π‘†β€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ)))
2621, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜π‘‹)(-gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(π‘†β€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ (π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ)))
2712, 18, 263bitr3rd 309 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ) ↔ (𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
28 lmodgrp 20400 . . . 4 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
2915, 28syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
303, 13, 4grpsubeq0 18862 . . 3 ((π‘ˆ ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
3129, 9, 10, 30syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋(-gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
3227, 31bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π‘‹) = (π‘†β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  0gc0g 17350  Grpcgrp 18777  -gcsg 18779  LModclmod 20393  HLchlt 37918  LHypclh 38553  DVecHcdvh 39647  LCDualclcd 40155  HDMapchdma 40361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 37521
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-tpos 8177  df-undef 8224  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-0g 17352  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-subg 18954  df-cntz 19126  df-oppg 19153  df-lsm 19447  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-oppr 20078  df-dvdsr 20099  df-unit 20100  df-invr 20130  df-dvr 20141  df-drng 20242  df-lmod 20395  df-lss 20465  df-lsp 20505  df-lvec 20636  df-lsatoms 37544  df-lshyp 37545  df-lcv 37587  df-lfl 37626  df-lkr 37654  df-ldual 37692  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-llines 38067  df-lplanes 38068  df-lvols 38069  df-lines 38070  df-psubsp 38072  df-pmap 38073  df-padd 38365  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674  df-trl 38728  df-tgrp 39312  df-tendo 39324  df-edring 39326  df-dveca 39572  df-disoa 39598  df-dvech 39648  df-dib 39708  df-dic 39742  df-dih 39798  df-doch 39917  df-djh 39964  df-lcdual 40156  df-mapd 40194  df-hvmap 40326  df-hdmap1 40362  df-hdmap 40363
This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  40434  hgmap11  40471
  Copyright terms: Public domain W3C validator