Theorem hdmap11 39862

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 4, aS=bS iff a=b in their notation (S = sigma). The sigma map is one-to-one. (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12d.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12d.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12d.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12d.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12d.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12d.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap11	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem hdmap11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12d.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12d.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12d.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
7		hdmap12d.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap12d.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		hdmap12d.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		hdmap12d.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmapsub 39861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)))
12	11	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ ((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
15	1, 2, 8	dvhlmod 39124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16	3, 4	lmodvsubcl 20168	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
17	15, 9, 10, 16	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) ∈ 𝑉)
18	1, 2, 3, 13, 5, 14, 7, 8, 17	hdmapeq0 39858	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝑋(-g‘𝑈)𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈)))
19	1, 5, 8	lcdlmod 39606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod)
20		lmodgrp 20130	. . . . 5 ⊢ (((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ LMod → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
21	19, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp)
22		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
23	1, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 9	hdmapcl 39844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
24	1, 2, 3, 5, 22, 7, 8, 10	hdmapcl 39844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
25	22, 14, 6	grpsubeq0 18661	. . . 4 ⊢ ((((LCDual‘𝐾)‘𝑊) ∈ Grp ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))) → (((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌)))
26	21, 23, 24, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)(-g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))(𝑆‘𝑌)) = (0g‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) ↔ (𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌)))
27	12, 18, 26	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ (𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈)))
28		lmodgrp 20130	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
29	15, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
30	3, 13, 4	grpsubeq0 18661	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
31	29, 9, 10, 30	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑈)𝑌) = (0g‘𝑈) ↔ 𝑋 = 𝑌))
32	27, 31	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋) = (𝑆‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  LModclmod 20123  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  HDMapchdma 39806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639  df-hvmap 39771  df-hdmap1 39807  df-hdmap 39808

This theorem is referenced by:  hdmapf1oN  39879  hgmap11  39916