Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapinvlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapinvlem4 37997
Description: Part 1.1 of Proposition 1 of [Baer] p. 110. We use 𝐶, 𝐷, 𝐼, and 𝐽 for Baer's u, v, s, and t. Our unit vector 𝐸 has the required properties for his w by hdmapevec2 37912. Our ((𝑆𝐷)‘𝐶) means his f(u,v) (note argument reversal). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapinvlem3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapinvlem3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapinvlem3.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapinvlem3.p + = (+g𝑈)
hdmapinvlem3.m = (-g𝑈)
hdmapinvlem3.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapinvlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapinvlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapinvlem3.t × = (.r𝑅)
hdmapinvlem3.z 0 = (0g𝑅)
hdmapinvlem3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.g 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapinvlem3.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.d (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.i (𝜑𝐼𝐵)
hdmapinvlem3.j (𝜑𝐽𝐵)
hdmapinvlem3.ij (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
hdmapinvlem4 (𝜑 → (𝐽 × (𝐺𝐼)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapinvlem4
StepHypRef Expression
1 hdmapinvlem3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapinvlem3.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapinvlem3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmapinvlem3.m . . . 4 = (-g𝑈)
5 hdmapinvlem3.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6 eqid 2826 . . . 4 (-g𝑅) = (-g𝑅)
7 hdmapinvlem3.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmapinvlem3.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 8dvhlmod 37186 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 hdmapinvlem3.j . . . . 5 (𝜑𝐽𝐵)
11 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12 eqid 2826 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13 eqid 2826 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
14 hdmapinvlem3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
151, 11, 12, 2, 3, 13, 14, 8dvheveccl 37188 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1615eldifad 3811 . . . . 5 (𝜑𝐸𝑉)
17 hdmapinvlem3.q . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
18 hdmapinvlem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
193, 5, 17, 18lmodvscl 19237 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐽𝐵𝐸𝑉) → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
209, 10, 16, 19syl3anc 1496 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
2116snssd 4559 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
22 hdmapinvlem3.o . . . . . . 7 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
231, 2, 3, 22dochssv 37431 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
248, 21, 23syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
25 hdmapinvlem3.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
2624, 25sseldd 3829 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
27 hdmapinvlem3.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
283, 5, 17, 18lmodvscl 19237 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐼𝐵𝐸𝑉) → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
299, 27, 16, 28syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
30 hdmapinvlem3.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
3124, 30sseldd 3829 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
32 hdmapinvlem3.p . . . . . 6 + = (+g𝑈)
333, 32lmodvacl 19234 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉𝐶𝑉) → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
349, 29, 31, 33syl3anc 1496 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 20, 26, 34hdmaplns1 37984 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷)) = (((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸))(-g𝑅)((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷)))
36 hdmapinvlem3.t . . . . 5 × = (.r𝑅)
37 hdmapinvlem3.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
38 hdmapinvlem3.g . . . . 5 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
39 hdmapinvlem3.ij . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × (𝐺𝐽)) = ((𝑆𝐷)‘𝐶))
401, 14, 22, 2, 3, 32, 4, 17, 5, 18, 36, 37, 7, 38, 8, 30, 25, 27, 10, 39hdmapinvlem3 37996 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 )
413, 4lmodvsubcl 19265 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉𝐷𝑉) → ((𝐽 · 𝐸) 𝐷) ∈ 𝑉)
429, 20, 26, 41syl3anc 1496 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 · 𝐸) 𝐷) ∈ 𝑉)
431, 2, 3, 5, 37, 7, 8, 42, 34hdmapip0com 37993 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷)) = 0 ))
4440, 43mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘((𝐽 · 𝐸) 𝐷)) = 0 )
451, 2, 3, 17, 5, 18, 36, 7, 8, 16, 34, 10hdmaplnm1 37985 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸)) = (𝐽 × ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸)))
46 eqid 2826 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
471, 2, 3, 32, 5, 46, 7, 8, 16, 29, 31hdmaplna2 37986 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸) = (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐸)))
481, 14, 22, 2, 3, 5, 18, 36, 37, 7, 8, 30hdmapinvlem2 37995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐶)‘𝐸) = 0 )
4948oveq2d 6922 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐸)) = (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g𝑅) 0 ))
505lmodring 19228 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
519, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
52 ringgrp 18907 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
541, 2, 3, 5, 18, 7, 8, 16, 29hdmapipcl 37981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸) ∈ 𝐵)
5518, 46, 37grprid 17808 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g𝑅) 0 ) = ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸))
5653, 54, 55syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g𝑅) 0 ) = ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸))
571, 2, 3, 17, 5, 18, 36, 7, 38, 8, 16, 16, 27hdmapglnm2 37987 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸) = (((𝑆𝐸)‘𝐸) × (𝐺𝐼)))
58 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
59 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
601, 14, 58, 7, 8, 2, 5, 59hdmapevec2 37912 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐸) = (1r𝑅))
6160oveq1d 6921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘𝐸) × (𝐺𝐼)) = ((1r𝑅) × (𝐺𝐼)))
621, 2, 5, 18, 38, 8, 27hgmapcl 37965 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐼) ∈ 𝐵)
6318, 36, 59ringlidm 18926 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅) × (𝐺𝐼)) = (𝐺𝐼))
6451, 62, 63syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝑅) × (𝐺𝐼)) = (𝐺𝐼))
6561, 64eqtrd 2862 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘𝐸) × (𝐺𝐼)) = (𝐺𝐼))
6656, 57, 653eqtrd 2866 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g𝑅) 0 ) = (𝐺𝐼))
6747, 49, 663eqtrd 2866 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸) = (𝐺𝐼))
6867oveq2d 6922 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 × ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸)) = (𝐽 × (𝐺𝐼)))
6945, 68eqtrd 2862 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸)) = (𝐽 × (𝐺𝐼)))
701, 2, 3, 32, 5, 46, 7, 8, 26, 29, 31hdmaplna2 37986 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷) = (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷)(+g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)))
711, 2, 3, 17, 5, 18, 36, 7, 38, 8, 26, 16, 27hdmapglnm2 37987 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷) = (((𝑆𝐸)‘𝐷) × (𝐺𝐼)))
721, 14, 22, 2, 3, 5, 18, 36, 37, 7, 8, 25hdmapinvlem1 37994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝐸)‘𝐷) = 0 )
7372oveq1d 6921 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑆𝐸)‘𝐷) × (𝐺𝐼)) = ( 0 × (𝐺𝐼)))
7418, 36, 37ringlz 18942 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐵) → ( 0 × (𝐺𝐼)) = 0 )
7551, 62, 74syl2anc 581 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 0 × (𝐺𝐼)) = 0 )
7671, 73, 753eqtrd 2866 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷) = 0 )
7776oveq1d 6921 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷)(+g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)) = ( 0 (+g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)))
781, 2, 3, 5, 18, 7, 8, 26, 31hdmapipcl 37981 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐶)‘𝐷) ∈ 𝐵)
7918, 46, 37grplid 17807 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑆𝐶)‘𝐷) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
8053, 78, 79syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → ( 0 (+g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
8170, 77, 803eqtrd 2866 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
8269, 81oveq12d 6924 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸))(-g𝑅)((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷)) = ((𝐽 × (𝐺𝐼))(-g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)))
8335, 44, 823eqtr3rd 2871 . 2 (𝜑 → ((𝐽 × (𝐺𝐼))(-g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)) = 0 )
845, 18, 36lmodmcl 19232 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐽𝐵 ∧ (𝐺𝐼) ∈ 𝐵) → (𝐽 × (𝐺𝐼)) ∈ 𝐵)
859, 10, 62, 84syl3anc 1496 . . 3 (𝜑 → (𝐽 × (𝐺𝐼)) ∈ 𝐵)
8618, 37, 6grpsubeq0 17856 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽 × (𝐺𝐼)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑆𝐶)‘𝐷) ∈ 𝐵) → (((𝐽 × (𝐺𝐼))(-g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐽 × (𝐺𝐼)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷)))
8753, 85, 78, 86syl3anc 1496 . 2 (𝜑 → (((𝐽 × (𝐺𝐼))(-g𝑅)((𝑆𝐶)‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐽 × (𝐺𝐼)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷)))
8883, 87mpbid 224 1 (𝜑 → (𝐽 × (𝐺𝐼)) = ((𝑆𝐶)‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3799  {csn 4398  cop 4404   I cid 5250  cres 5345  cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  +gcplusg 16306  .rcmulr 16307  Scalarcsca 16309   ·𝑠 cvsca 16310  0gc0g 16454  Grpcgrp 17777  -gcsg 17779  1rcur 18856  Ringcrg 18902  LModclmod 19220  HLchlt 35426  LHypclh 36060  LTrncltrn 36177  DVecHcdvh 37154  ocHcoch 37423  HVMapchvm 37832  HDMapchdma 37868  HGMapchg 37959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-oppg 18127  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463  df-lsatoms 35052  df-lshyp 35053  df-lcv 35095  df-lfl 35134  df-lkr 35162  df-ldual 35200  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tgrp 36819  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-dveca 37079  df-disoa 37105  df-dvech 37155  df-dib 37215  df-dic 37249  df-dih 37305  df-doch 37424  df-djh 37471  df-lcdual 37663  df-mapd 37701  df-hvmap 37833  df-hdmap1 37869  df-hdmap 37870  df-hgmap 37960
This theorem is referenced by:  hdmapglem5  37998  hgmapvvlem1  37999
  Copyright terms: Public domain W3C validator