Theorem hdmapinvlem4 37997

Description: Part 1.1 of Proposition 1 of [Baer] p. 110. We use 𝐶, 𝐷, 𝐼, and 𝐽 for Baer's u, v, s, and t. Our unit vector 𝐸 has the required properties for his w by hdmapevec2 37912. Our ((𝑆‘𝐷)‘𝐶) means his f(u,v) (note argument reversal). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapinvlem3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapinvlem3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapinvlem3.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapinvlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmapinvlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmapinvlem3.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmapinvlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapinvlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapinvlem3.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
hdmapinvlem3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmapinvlem3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.g	⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapinvlem3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapinvlem3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
hdmapinvlem3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
hdmapinvlem3.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
hdmapinvlem3.ij	⊢ (𝜑 → (𝐼 × (𝐺‘𝐽)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
hdmapinvlem4	⊢ (𝜑 → (𝐽 × (𝐺‘𝐼)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Proof of Theorem hdmapinvlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapinvlem3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapinvlem3.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapinvlem3.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmapinvlem3.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		hdmapinvlem3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
6		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
7		hdmapinvlem3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmapinvlem3.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 8	dvhlmod 37186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10		hdmapinvlem3.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
11		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2826	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
14		hdmapinvlem3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
15	1, 11, 12, 2, 3, 13, 14, 8	dvheveccl 37188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
16	15	eldifad 3811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
17		hdmapinvlem3.q	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
18		hdmapinvlem3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
19	3, 5, 17, 18	lmodvscl 19237	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
20	9, 10, 16, 19	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉)
21	16	snssd 4559	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
22		hdmapinvlem3.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
23	1, 2, 3, 22	dochssv 37431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
24	8, 21, 23	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ⊆ 𝑉)
25		hdmapinvlem3.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
26	24, 25	sseldd 3829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
27		hdmapinvlem3.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
28	3, 5, 17, 18	lmodvscl 19237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
29	9, 27, 16, 28	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉)
30		hdmapinvlem3.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑂‘{𝐸}))
31	24, 30	sseldd 3829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
32		hdmapinvlem3.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑈)
33	3, 32	lmodvacl 19234	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼 · 𝐸) ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
34	9, 29, 31, 33	syl3anc 1496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 · 𝐸) + 𝐶) ∈ 𝑉)
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 20, 26, 34	hdmaplns1 37984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘((𝐽 · 𝐸) − 𝐷)) = (((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘𝑅)((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷)))
36		hdmapinvlem3.t	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
37		hdmapinvlem3.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38		hdmapinvlem3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ((HGMap‘𝐾)‘𝑊)
39		hdmapinvlem3.ij	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × (𝐺‘𝐽)) = ((𝑆‘𝐷)‘𝐶))
40	1, 14, 22, 2, 3, 32, 4, 17, 5, 18, 36, 37, 7, 38, 8, 30, 25, 27, 10, 39	hdmapinvlem3 37996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) − 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 )
41	3, 4	lmodvsubcl 19265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐽 · 𝐸) ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝐽 · 𝐸) − 𝐷) ∈ 𝑉)
42	9, 20, 26, 41	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 · 𝐸) − 𝐷) ∈ 𝑉)
43	1, 2, 3, 5, 37, 7, 8, 42, 34	hdmapip0com 37993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘((𝐽 · 𝐸) − 𝐷))‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶)) = 0 ↔ ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘((𝐽 · 𝐸) − 𝐷)) = 0 ))
44	40, 43	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘((𝐽 · 𝐸) − 𝐷)) = 0 )
45	1, 2, 3, 17, 5, 18, 36, 7, 8, 16, 34, 10	hdmaplnm1 37985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸)) = (𝐽 × ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸)))
46		eqid 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
47	1, 2, 3, 32, 5, 46, 7, 8, 16, 29, 31	hdmaplna2 37986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸) = (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐸)))
48	1, 14, 22, 2, 3, 5, 18, 36, 37, 7, 8, 30	hdmapinvlem2 37995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐶)‘𝐸) = 0 )
49	48	oveq2d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐸)) = (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g‘𝑅) 0 ))
50	5	lmodring 19228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
51	9, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
52		ringgrp 18907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
54	1, 2, 3, 5, 18, 7, 8, 16, 29	hdmapipcl 37981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸) ∈ 𝐵)
55	18, 46, 37	grprid 17808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸) ∈ 𝐵) → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g‘𝑅) 0 ) = ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸))
56	53, 54, 55	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g‘𝑅) 0 ) = ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸))
57	1, 2, 3, 17, 5, 18, 36, 7, 38, 8, 16, 16, 27	hdmapglnm2 37987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸) = (((𝑆‘𝐸)‘𝐸) × (𝐺‘𝐼)))
58		eqid 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
59		eqid 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
60	1, 14, 58, 7, 8, 2, 5, 59	hdmapevec2 37912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐸) = (1r‘𝑅))
61	60	oveq1d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐸)‘𝐸) × (𝐺‘𝐼)) = ((1r‘𝑅) × (𝐺‘𝐼)))
62	1, 2, 5, 18, 38, 8, 27	hgmapcl 37965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐵)
63	18, 36, 59	ringlidm 18926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘𝐼)) = (𝐺‘𝐼))
64	51, 62, 63	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) × (𝐺‘𝐼)) = (𝐺‘𝐼))
65	61, 64	eqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐸)‘𝐸) × (𝐺‘𝐼)) = (𝐺‘𝐼))
66	56, 57, 65	3eqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐸)(+g‘𝑅) 0 ) = (𝐺‘𝐼))
67	47, 49, 66	3eqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸) = (𝐺‘𝐼))
68	67	oveq2d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 × ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐸)) = (𝐽 × (𝐺‘𝐼)))
69	45, 68	eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸)) = (𝐽 × (𝐺‘𝐼)))
70	1, 2, 3, 32, 5, 46, 7, 8, 26, 29, 31	hdmaplna2 37986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷) = (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷)(+g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)))
71	1, 2, 3, 17, 5, 18, 36, 7, 38, 8, 26, 16, 27	hdmapglnm2 37987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷) = (((𝑆‘𝐸)‘𝐷) × (𝐺‘𝐼)))
72	1, 14, 22, 2, 3, 5, 18, 36, 37, 7, 8, 25	hdmapinvlem1 37994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐸)‘𝐷) = 0 )
73	72	oveq1d 6921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐸)‘𝐷) × (𝐺‘𝐼)) = ( 0 × (𝐺‘𝐼)))
74	18, 36, 37	ringlz 18942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐵) → ( 0 × (𝐺‘𝐼)) = 0 )
75	51, 62, 74	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 0 × (𝐺‘𝐼)) = 0 )
76	71, 73, 75	3eqtrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷) = 0 )
77	76	oveq1d 6921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘(𝐼 · 𝐸))‘𝐷)(+g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)) = ( 0 (+g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)))
78	1, 2, 3, 5, 18, 7, 8, 26, 31	hdmapipcl 37981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐶)‘𝐷) ∈ 𝐵)
79	18, 46, 37	grplid 17807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑆‘𝐶)‘𝐷) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
80	53, 78, 79	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 (+g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
81	70, 77, 80	3eqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))
82	69, 81	oveq12d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘(𝐽 · 𝐸))(-g‘𝑅)((𝑆‘((𝐼 · 𝐸) + 𝐶))‘𝐷)) = ((𝐽 × (𝐺‘𝐼))(-g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)))
83	35, 44, 82	3eqtr3rd 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 × (𝐺‘𝐼))(-g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)) = 0 )
84	5, 18, 36	lmodmcl 19232	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐵) → (𝐽 × (𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐵)
85	9, 10, 62, 84	syl3anc 1496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 × (𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐵)
86	18, 37, 6	grpsubeq0 17856	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽 × (𝐺‘𝐼)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑆‘𝐶)‘𝐷) ∈ 𝐵) → (((𝐽 × (𝐺‘𝐼))(-g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐽 × (𝐺‘𝐼)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷)))
87	53, 85, 78, 86	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 × (𝐺‘𝐼))(-g‘𝑅)((𝑆‘𝐶)‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐽 × (𝐺‘𝐼)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷)))
88	83, 87	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 × (𝐺‘𝐼)) = ((𝑆‘𝐶)‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3799  {csn 4398  ⟨cop 4404   I cid 5250   ↾ cres 5345  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  +_gcplusg 16306  ._rcmulr 16307  Scalarcsca 16309   ·_𝑠 cvsca 16310  0_gc0g 16454  Grpcgrp 17777  -_gcsg 17779  1_rcur 18856  Ringcrg 18902  LModclmod 19220  HLchlt 35426  LHypclh 36060  LTrncltrn 36177  DVecHcdvh 37154  ocHcoch 37423  HVMapchvm 37832  HDMapchdma 37868  HGMapchg 37959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-riotaBAD 35029

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-undef 7665  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-0g 16456  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-oppg 18127  df-lsm 18403  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463  df-lsatoms 35052  df-lshyp 35053  df-lcv 35095  df-lfl 35134  df-lkr 35162  df-ldual 35200  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235  df-tgrp 36819  df-tendo 36831  df-edring 36833  df-dveca 37079  df-disoa 37105  df-dvech 37155  df-dib 37215  df-dic 37249  df-dih 37305  df-doch 37424  df-djh 37471  df-lcdual 37663  df-mapd 37701  df-hvmap 37833  df-hdmap1 37869  df-hdmap 37870  df-hgmap 37960

This theorem is referenced by:  hdmapglem5  37998  hgmapvvlem1  37999