MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcong 19582
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcong ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem odcong
StepHypRef Expression
1 zsubcl 12657 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
2 odcl.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . 4 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5oddvds 19580 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ ((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ))
71, 6syl3an3 1164 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ ((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ))
8 simp1 1135 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp3l 1200 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 simp3r 1201 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 simp2 1136 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐴𝑋)
12 eqid 2735 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
132, 4, 12mulgsubdir 19145 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑀𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
148, 9, 10, 11, 13syl13anc 1371 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
1514eqeq1d 2737 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ))
162, 4mulgcl 19122 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
178, 9, 11, 16syl3anc 1370 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
182, 4mulgcl 19122 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
198, 10, 11, 18syl3anc 1370 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
202, 5, 12grpsubeq0 19057 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1370 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
227, 15, 213bitrd 305 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmin 11490  cz 12611  cdvds 16287  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  .gcmg 19098  odcod 19557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-od 19561
This theorem is referenced by:  odf1  19595  dfod2  19597  odf1o1  19605  odf1o2  19606  ablsimpgfindlem1  20142  chrcong  21560  cygznlem1  21603  dchrptlem1  27323
  Copyright terms: Public domain W3C validator