Theorem odcong 19796

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcong	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem odcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12768	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	oddvds 19794	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = 0 ))
7	1, 6	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = 0 ))
8		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	2, 4, 12	mulgsubdir 19356	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
14	8, 9, 10, 11, 13	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
15	14	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ))
16	2, 4	mulgcl 19333	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
17	8, 9, 11, 16	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
18	2, 4	mulgcl 19333	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
19	8, 10, 11, 18	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
20	2, 5, 12	grpsubeq0 19268	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
22	7, 15, 21	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   − cmin 11571  ℤcz 12723   ∥ cdvds 16454  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  Grpcgrp 19176  -_gcsg 19178  ._gcmg 19309  odcod 19771

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-od 19775

This theorem is used by:  odf1  19809  dfod2  19811  odf1o1  19819  odf1o2  19820  ablsimpgfindlem1  20356  chrcong  21866  cygznlem1  21905  dchrptlem1  27624