Theorem odcong 19157

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odcong	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem odcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12362	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
2		odcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	oddvds 19155	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = 0 ))
7	1, 6	syl3an3 1164	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = 0 ))
8		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simp3l 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		simp3r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	2, 4, 12	mulgsubdir 18743	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
14	8, 9, 10, 11, 13	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
15	14	eqeq1d 2740	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 − 𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ))
16	2, 4	mulgcl 18721	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
17	8, 9, 11, 16	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
18	2, 4	mulgcl 18721	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
19	8, 10, 11, 18	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
20	2, 5, 12	grpsubeq0 18661	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝐴)(-g‘𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
22	7, 15, 21	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   − cmin 11205  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  ._gcmg 18700  odcod 19132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-od 19136

This theorem is referenced by:  odf1  19169  dfod2  19171  odf1o1  19177  odf1o2  19178  ablsimpgfindlem1  19710  chrcong  20733  cygznlem1  20774  dchrptlem1  26412