MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcong 18672
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcong ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem odcong
StepHypRef Expression
1 zsubcl 12016 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
2 odcl.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . 4 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5oddvds 18670 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ ((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ))
71, 6syl3an3 1162 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ ((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ))
8 simp1 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp3l 1198 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 simp3r 1199 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
11 simp2 1134 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐴𝑋)
12 eqid 2801 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
132, 4, 12mulgsubdir 18262 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑀𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
148, 9, 10, 11, 13syl13anc 1369 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑁) · 𝐴) = ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)))
1514eqeq1d 2803 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ))
162, 4mulgcl 18240 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
178, 9, 11, 16syl3anc 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋)
182, 4mulgcl 18240 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
198, 10, 11, 18syl3anc 1368 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
202, 5, 12grpsubeq0 18180 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) → (((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝐴)(-g𝐺)(𝑁 · 𝐴)) = 0 ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
227, 15, 213bitrd 308 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmin 10863  cz 11973  cdvds 15602  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  .gcmg 18219  odcod 18647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-od 18651
This theorem is referenced by:  odf1  18684  dfod2  18686  odf1o1  18692  odf1o2  18693  ablsimpgfindlem1  19225  chrcong  20224  cygznlem1  20261  dchrptlem1  25851
  Copyright terms: Public domain W3C validator