MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmexlem6 10368
Description: Lemma for hsmex 10369. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x 𝑋 ∈ V
hsmexlem4.h 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
hsmexlem4.u π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
hsmexlem4.s 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
hsmexlem4.o 𝑂 = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
Assertion
Ref Expression
hsmexlem6 𝑆 ∈ V
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑐,𝑑,𝐻   𝑆,𝑐,𝑑   π‘ˆ,𝑐,𝑑   π‘Ž,𝑏,𝑧,𝑋   π‘₯,π‘Ž,𝑦   𝑏,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑏)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem hsmexlem6
StepHypRef Expression
1 fvex 6856 . 2 (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ∈ V
2 hsmexlem4.x . . . . 5 𝑋 ∈ V
3 hsmexlem4.h . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
4 hsmexlem4.u . . . . 5 π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
5 hsmexlem4.s . . . . 5 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
6 hsmexlem4.o . . . . 5 𝑂 = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
72, 3, 4, 5, 6hsmexlem5 10367 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
85ssrab3 4041 . . . . . 6 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On)
98sseli 3941 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
10 harcl 9496 . . . . . 6 (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ On
11 r1fnon 9704 . . . . . . 7 𝑅1 Fn On
1211fndmi 6607 . . . . . 6 dom 𝑅1 = On
1310, 12eleqtrri 2837 . . . . 5 (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ dom 𝑅1
14 rankr1ag 9739 . . . . 5 ((𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ dom 𝑅1) β†’ (𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ↔ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
159, 13, 14sylancl 587 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ↔ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
167, 15mpbird 257 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ 𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
1716ssriv 3949 . 2 𝑆 βŠ† (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
181, 17ssexi 5280 1 𝑆 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3408  Vcvv 3446  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   E cep 5537   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Oncon0 6318  β€˜cfv 6497  Ο‰com 7803  reccrdg 8356   β‰Ό cdom 8882  OrdIsocoi 9446  harchar 9493  TCctc 9673  π‘…1cr1 9699  rankcrnk 9700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-smo 8293  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-oi 9447  df-har 9494  df-wdom 9502  df-tc 9674  df-r1 9701  df-rank 9702
This theorem is referenced by:  hsmex  10369
  Copyright terms: Public domain W3C validator