MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmexlem6 10454
Description: Lemma for hsmex 10455. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x 𝑋 ∈ V
hsmexlem4.h 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
hsmexlem4.u π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
hsmexlem4.s 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
hsmexlem4.o 𝑂 = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
Assertion
Ref Expression
hsmexlem6 𝑆 ∈ V
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑐,𝑑,𝐻   𝑆,𝑐,𝑑   π‘ˆ,𝑐,𝑑   π‘Ž,𝑏,𝑧,𝑋   π‘₯,π‘Ž,𝑦   𝑏,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑏)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem hsmexlem6
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . 2 (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ∈ V
2 hsmexlem4.x . . . . 5 𝑋 ∈ V
3 hsmexlem4.h . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
4 hsmexlem4.u . . . . 5 π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
5 hsmexlem4.s . . . . 5 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
6 hsmexlem4.o . . . . 5 𝑂 = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
72, 3, 4, 5, 6hsmexlem5 10453 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
85ssrab3 4072 . . . . . 6 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On)
98sseli 3968 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
10 harcl 9582 . . . . . 6 (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ On
11 r1fnon 9790 . . . . . . 7 𝑅1 Fn On
1211fndmi 6653 . . . . . 6 dom 𝑅1 = On
1310, 12eleqtrri 2824 . . . . 5 (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ dom 𝑅1
14 rankr1ag 9825 . . . . 5 ((𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ dom 𝑅1) β†’ (𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ↔ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
159, 13, 14sylancl 584 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ↔ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
167, 15mpbird 256 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ 𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
1716ssriv 3976 . 2 𝑆 βŠ† (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
181, 17ssexi 5317 1 𝑆 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   E cep 5575   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Oncon0 6364  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7868  reccrdg 8428   β‰Ό cdom 8960  OrdIsocoi 9532  harchar 9579  TCctc 9759  π‘…1cr1 9785  rankcrnk 9786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-smo 8365  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-oi 9533  df-har 9580  df-wdom 9588  df-tc 9760  df-r1 9787  df-rank 9788
This theorem is referenced by:  hsmex  10455
  Copyright terms: Public domain W3C validator