MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hsmexlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsmexlem6 10428
Description: Lemma for hsmex 10429. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hsmexlem4.x 𝑋 ∈ V
hsmexlem4.h 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
hsmexlem4.u π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
hsmexlem4.s 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
hsmexlem4.o 𝑂 = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
Assertion
Ref Expression
hsmexlem6 𝑆 ∈ V
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑐,𝑑,𝐻   𝑆,𝑐,𝑑   π‘ˆ,𝑐,𝑑   π‘Ž,𝑏,𝑧,𝑋   π‘₯,π‘Ž,𝑦   𝑏,𝑐,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑏)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem hsmexlem6
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . 2 (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ∈ V
2 hsmexlem4.x . . . . 5 𝑋 ∈ V
3 hsmexlem4.h . . . . 5 𝐻 = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (harβ€˜π’« (𝑋 Γ— 𝑧))), (harβ€˜π’« 𝑋)) β†Ύ Ο‰)
4 hsmexlem4.u . . . . 5 π‘ˆ = (π‘₯ ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ βˆͺ 𝑦), π‘₯) β†Ύ Ο‰))
5 hsmexlem4.s . . . . 5 𝑆 = {π‘Ž ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∣ βˆ€π‘ ∈ (TCβ€˜{π‘Ž})𝑏 β‰Ό 𝑋}
6 hsmexlem4.o . . . . 5 𝑂 = OrdIso( E , (rank β€œ ((π‘ˆβ€˜π‘‘)β€˜π‘)))
72, 3, 4, 5, 6hsmexlem5 10427 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
85ssrab3 4075 . . . . . 6 𝑆 βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On)
98sseli 3973 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
10 harcl 9556 . . . . . 6 (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ On
11 r1fnon 9764 . . . . . . 7 𝑅1 Fn On
1211fndmi 6647 . . . . . 6 dom 𝑅1 = On
1310, 12eleqtrri 2826 . . . . 5 (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ dom 𝑅1
14 rankr1ag 9799 . . . . 5 ((𝑑 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)) ∈ dom 𝑅1) β†’ (𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ↔ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
159, 13, 14sylancl 585 . . . 4 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ (𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))) ↔ (rankβ€˜π‘‘) ∈ (harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
167, 15mpbird 257 . . 3 (𝑑 ∈ 𝑆 β†’ 𝑑 ∈ (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻))))
1716ssriv 3981 . 2 𝑆 βŠ† (𝑅1β€˜(harβ€˜π’« (Ο‰ Γ— βˆͺ ran 𝐻)))
181, 17ssexi 5315 1 𝑆 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   E cep 5572   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Oncon0 6358  β€˜cfv 6537  Ο‰com 7852  reccrdg 8410   β‰Ό cdom 8939  OrdIsocoi 9506  harchar 9553  TCctc 9733  π‘…1cr1 9759  rankcrnk 9760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-smo 8347  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-oi 9507  df-har 9554  df-wdom 9562  df-tc 9734  df-r1 9761  df-rank 9762
This theorem is referenced by:  hsmex  10429
  Copyright terms: Public domain W3C validator