HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem2 31588
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem2.1 𝐴S
5oalem2.2 𝐵S
5oalem2.3 𝐶S
5oalem2.4 𝐷S
Assertion
Ref Expression
5oalem2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2
StepHypRef Expression
1 5oalem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 5oalem2.3 . . . . 5 𝐶S
31, 2shsvsi 31300 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑧𝐶) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
43ad2ant2r 745 . . 3 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
54adantr 479 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
6 5oalem2.4 . . . . . . . 8 𝐷S
7 5oalem2.2 . . . . . . . 8 𝐵S
86, 7shsvsi 31300 . . . . . . 7 ((𝑤𝐷𝑦𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
98ancoms 457 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
107, 6shscomi 31296 . . . . . 6 (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵)
119, 10eleqtrrdi 2837 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1211ad2ant2l 744 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1312adantr 479 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
141sheli 31147 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
157sheli 31147 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
1614, 15anim12i 611 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
172sheli 31147 . . . . . 6 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
186sheli 31147 . . . . . 6 (𝑤𝐷𝑤 ∈ ℋ)
1917, 18anim12i 611 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
2016, 19anim12i 611 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21 oveq1 7431 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
2221adantl 480 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
23 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
2423anim2i 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
2524ancoms 457 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26 hvsub4 30970 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
2725, 26syldan 589 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
28 hvsubid 30959 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 𝑦) = 0)
2928oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
31 hvsubcl 30950 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
32 ax-hvaddid 30937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3433adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3527, 30, 343eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3635adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3736adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
38 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
4039anim1i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
4140ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42 hvsub4 30970 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
4338, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
44 hvsubid 30959 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 𝑧) = 0)
4544oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
4645ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
47 hvsubcl 30950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑦) ∈ ℋ)
48 hvaddlid 30956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 𝑦) ∈ ℋ → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5049ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5150adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5243, 46, 513eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5352adantll 712 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5453adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5522, 37, 543eqtr3d 2774 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦))
5655eleq1d 2811 . . . 4 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5720, 56sylan 578 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5813, 57mpbird 256 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷))
595, 58elind 4195 1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3946  (class class class)co 7424  chba 30852   + cva 30853  0c0v 30857   cmv 30858   S csh 30861   + cph 30864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvdistr1 30941  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-grpo 30426  df-ablo 30478  df-hvsub 30904  df-hlim 30905  df-sh 31140  df-ch 31154  df-shs 31241
This theorem is referenced by:  5oalem3  31589  5oalem4  31590
  Copyright terms: Public domain W3C validator