HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem2 28970
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem2.1 𝐴S
5oalem2.2 𝐵S
5oalem2.3 𝐶S
5oalem2.4 𝐷S
Assertion
Ref Expression
5oalem2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2
StepHypRef Expression
1 5oalem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 5oalem2.3 . . . . 5 𝐶S
31, 2shsvsi 28682 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑧𝐶) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
43ad2ant2r 753 . . 3 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
54adantr 472 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
6 5oalem2.4 . . . . . . . 8 𝐷S
7 5oalem2.2 . . . . . . . 8 𝐵S
86, 7shsvsi 28682 . . . . . . 7 ((𝑤𝐷𝑦𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
98ancoms 450 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
107, 6shscomi 28678 . . . . . 6 (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵)
119, 10syl6eleqr 2855 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1211ad2ant2l 752 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1312adantr 472 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
141sheli 28527 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
157sheli 28527 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
1614, 15anim12i 606 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
172sheli 28527 . . . . . 6 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
186sheli 28527 . . . . . 6 (𝑤𝐷𝑤 ∈ ℋ)
1917, 18anim12i 606 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
2016, 19anim12i 606 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21 oveq1 6849 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
2221adantl 473 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
2423anim2i 610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
2524ancoms 450 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26 hvsub4 28350 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
2725, 26syldan 585 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
28 hvsubid 28339 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 𝑦) = 0)
2928oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
3029ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
31 hvsubcl 28330 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
32 ax-hvaddid 28317 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3433adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3527, 30, 343eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3635adantrr 708 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3736adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
38 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
4039anim1i 608 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
4140ancoms 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42 hvsub4 28350 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
4338, 41, 42syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
44 hvsubid 28339 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 𝑧) = 0)
4544oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
4645ad2antrl 719 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
47 hvsubcl 28330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑦) ∈ ℋ)
48 hvaddid2 28336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 𝑦) ∈ ℋ → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5049ancoms 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5150adantrl 707 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5243, 46, 513eqtrd 2803 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5352adantll 705 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5453adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5522, 37, 543eqtr3d 2807 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦))
5655eleq1d 2829 . . . 4 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5720, 56sylan 575 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5813, 57mpbird 248 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷))
595, 58elind 3960 1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cin 3731  (class class class)co 6842  chba 28232   + cva 28233  0c0v 28237   cmv 28238   S csh 28241   + cph 28244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-hilex 28312  ax-hfvadd 28313  ax-hvcom 28314  ax-hvass 28315  ax-hv0cl 28316  ax-hvaddid 28317  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulid 28319  ax-hvdistr1 28321  ax-hvdistr2 28322  ax-hvmul0 28323
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-grpo 27804  df-ablo 27856  df-hvsub 28284  df-hlim 28285  df-sh 28520  df-ch 28534  df-shs 28623
This theorem is referenced by:  5oalem3  28971  5oalem4  28972
  Copyright terms: Public domain W3C validator