Theorem 5oalem2 31674

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem2.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem2.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		5oalem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvsi 31386	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
4	3	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
6		5oalem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
7		5oalem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
8	6, 7	shsvsi 31386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
9	8	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
10	7, 6	shscomi 31382	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) = (𝐷 +ℋ 𝐵)
11	9, 10	eleqtrrdi 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
12	11	ad2ant2l 746	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
14	1	sheli 31233	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
15	7	sheli 31233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
16	14, 15	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
17	2	sheli 31233	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
18	6	sheli 31233	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → 𝑤 ∈ ℋ)
19	17, 18	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
20	16, 19	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
24	23	anim2i 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26		hvsub4 31056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
28		hvsubid 31045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 −ℎ 𝑦) = 0ℎ)
29	28	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
30	29	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
31		hvsubcl 31036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
32		ax-hvaddid 31023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	33	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	35	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
40	39	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
41	40	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42		hvsub4 31056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
43	38, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
44		hvsubid 31045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
45	44	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
46	45	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
47		hvsubcl 31036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
48		hvaddlid 31042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
51	50	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
52	43, 46, 51	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
53	52	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
55	22, 37, 54	3eqtr3d 2785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
56	55	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
57	20, 56	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
58	13, 57	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
59	5, 58	elind 4200	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950  (class class class)co 7431   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939  0_ℎc0v 30943   −_ℎ cmv 30944   S_ℋ csh 30947   +_ℋ cph 30950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-sh 31226  df-ch 31240  df-shs 31327

This theorem is referenced by:  5oalem3  31675  5oalem4  31676