HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem2 30597
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem2.1 𝐴S
5oalem2.2 𝐵S
5oalem2.3 𝐶S
5oalem2.4 𝐷S
Assertion
Ref Expression
5oalem2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2
StepHypRef Expression
1 5oalem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 5oalem2.3 . . . . 5 𝐶S
31, 2shsvsi 30309 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑧𝐶) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
43ad2ant2r 745 . . 3 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
54adantr 481 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
6 5oalem2.4 . . . . . . . 8 𝐷S
7 5oalem2.2 . . . . . . . 8 𝐵S
86, 7shsvsi 30309 . . . . . . 7 ((𝑤𝐷𝑦𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
98ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
107, 6shscomi 30305 . . . . . 6 (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵)
119, 10eleqtrrdi 2849 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1211ad2ant2l 744 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1312adantr 481 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
141sheli 30156 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
157sheli 30156 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
1614, 15anim12i 613 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
172sheli 30156 . . . . . 6 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
186sheli 30156 . . . . . 6 (𝑤𝐷𝑤 ∈ ℋ)
1917, 18anim12i 613 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
2016, 19anim12i 613 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21 oveq1 7364 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
2221adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
2423anim2i 617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
2524ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26 hvsub4 29979 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
2725, 26syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
28 hvsubid 29968 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 𝑦) = 0)
2928oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
31 hvsubcl 29959 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
32 ax-hvaddid 29946 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3433adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3527, 30, 343eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3635adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3736adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
38 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
4039anim1i 615 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
4140ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42 hvsub4 29979 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
4338, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
44 hvsubid 29968 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 𝑧) = 0)
4544oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
4645ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
47 hvsubcl 29959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑦) ∈ ℋ)
48 hvaddid2 29965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 𝑦) ∈ ℋ → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5049ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5150adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5243, 46, 513eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5352adantll 712 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5453adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5522, 37, 543eqtr3d 2784 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦))
5655eleq1d 2822 . . . 4 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5720, 56sylan 580 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5813, 57mpbird 256 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷))
595, 58elind 4154 1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3909  (class class class)co 7357  chba 29861   + cva 29862  0c0v 29866   cmv 29867   S csh 29870   + cph 29873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-grpo 29435  df-ablo 29487  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-sh 30149  df-ch 30163  df-shs 30250
This theorem is referenced by:  5oalem3  30598  5oalem4  30599
  Copyright terms: Public domain W3C validator