Theorem 5oalem2 31635

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem2.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem2.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		5oalem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvsi 31347	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
4	3	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
6		5oalem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
7		5oalem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
8	6, 7	shsvsi 31347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
9	8	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
10	7, 6	shscomi 31343	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) = (𝐷 +ℋ 𝐵)
11	9, 10	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
12	11	ad2ant2l 746	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
14	1	sheli 31194	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
15	7	sheli 31194	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
16	14, 15	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
17	2	sheli 31194	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
18	6	sheli 31194	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → 𝑤 ∈ ℋ)
19	17, 18	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
20	16, 19	anim12i 613	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
24	23	anim2i 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26		hvsub4 31017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
28		hvsubid 31006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 −ℎ 𝑦) = 0ℎ)
29	28	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
30	29	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
31		hvsubcl 30997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
32		ax-hvaddid 30984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	33	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	35	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
40	39	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
41	40	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42		hvsub4 31017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
43	38, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
44		hvsubid 31006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
45	44	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
46	45	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
47		hvsubcl 30997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
48		hvaddlid 31003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
51	50	adantrl 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
52	43, 46, 51	3eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
53	52	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
55	22, 37, 54	3eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
56	55	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
57	20, 56	sylan 580	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
58	13, 57	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
59	5, 58	elind 4147	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3896  (class class class)co 7346   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900  0_ℎc0v 30904   −_ℎ cmv 30905   S_ℋ csh 30908   +_ℋ cph 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-grpo 30473  df-ablo 30525  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-sh 31187  df-ch 31201  df-shs 31288

This theorem is referenced by:  5oalem3  31636  5oalem4  31637