Theorem 5oalem2 31341

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem2.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem2.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		5oalem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvsi 31053	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
4	3	ad2ant2r 744	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
6		5oalem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
7		5oalem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
8	6, 7	shsvsi 31053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
9	8	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
10	7, 6	shscomi 31049	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) = (𝐷 +ℋ 𝐵)
11	9, 10	eleqtrrdi 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
12	11	ad2ant2l 743	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
14	1	sheli 30900	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
15	7	sheli 30900	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
16	14, 15	anim12i 612	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
17	2	sheli 30900	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
18	6	sheli 30900	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → 𝑤 ∈ ℋ)
19	17, 18	anim12i 612	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
20	16, 19	anim12i 612	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
24	23	anim2i 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26		hvsub4 30723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
27	25, 26	syldan 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
28		hvsubid 30712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 −ℎ 𝑦) = 0ℎ)
29	28	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
30	29	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
31		hvsubcl 30703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
32		ax-hvaddid 30690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	33	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	35	adantrr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
40	39	anim1i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
41	40	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42		hvsub4 30723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
43	38, 41, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
44		hvsubid 30712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
45	44	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
46	45	ad2antrl 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
47		hvsubcl 30703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
48		hvaddlid 30709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
51	50	adantrl 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
52	43, 46, 51	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
53	52	adantll 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
55	22, 37, 54	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
56	55	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
57	20, 56	sylan 579	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
58	13, 57	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
59	5, 58	elind 4194	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947  (class class class)co 7412   ℋchba 30605   +_ℎ cva 30606  0_ℎc0v 30610   −_ℎ cmv 30611   S_ℋ csh 30614   +_ℋ cph 30617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hilex 30685  ax-hfvadd 30686  ax-hvcom 30687  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvdistr1 30694  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-grpo 30179  df-ablo 30231  df-hvsub 30657  df-hlim 30658  df-sh 30893  df-ch 30907  df-shs 30994

This theorem is referenced by:  5oalem3  31342  5oalem4  31343