Theorem 5oalem2 32139

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem2.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem2.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem2.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem2.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem2	⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5oalem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		5oalem2.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsvsi 31851	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
4	3	ad2ant2r 760	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐴 +ℋ 𝐶))
6		5oalem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
7		5oalem2.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
8	6, 7	shsvsi 31851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
9	8	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐷 +ℋ 𝐵))
10	7, 6	shscomi 31847	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℋ 𝐷) = (𝐷 +ℋ 𝐵)
11	9, 10	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
12	11	ad2ant2l 759	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
14	1	sheli 31698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℋ)
15	7	sheli 31698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℋ)
16	14, 15	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
17	2	sheli 31698	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ ℋ)
18	6	sheli 31698	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → 𝑤 ∈ ℋ)
19	17, 18	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
20	16, 19	anim12i 625	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)))
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
24	23	anim2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
25	24	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26		hvsub4 31521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
27	25, 26	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)))
28		hvsubid 31510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 −ℎ 𝑦) = 0ℎ)
29	28	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
30	29	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑦 −ℎ 𝑦)) = ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ))
31		hvsubcl 31501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
32		ax-hvaddid 31488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
34	33	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) +ℎ 0ℎ) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
35	27, 30, 34	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
36	35	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
37	36	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 +ℎ 𝑦) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑥 −ℎ 𝑧))
38		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
40	39	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
41	40	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42		hvsub4 31521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
43	38, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
44		hvsubid 31510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 𝑧) = 0ℎ)
45	44	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
46	45	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 −ℎ 𝑧) +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)))
47		hvsubcl 31501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
48		hvaddlid 31507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ ℋ → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
50	49	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
51	50	adantrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0ℎ +ℎ (𝑤 −ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
52	43, 46, 51	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
53	52	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑧 +ℎ 𝑤) −ℎ (𝑧 +ℎ 𝑦)) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
55	22, 37, 54	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) = (𝑤 −ℎ 𝑦))
56	55	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
57	20, 56	sylan 592	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → ((𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷) ↔ (𝑤 −ℎ 𝑦) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷)))
58	13, 57	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ (𝐵 +ℋ 𝐷))
59	5, 58	elind 4146	1 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑧 +ℎ 𝑤)) → (𝑥 −ℎ 𝑧) ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  (class class class)co 7414   ℋchba 31403   +_ℎ cva 31404  0_ℎc0v 31408   −_ℎ cmv 31409   S_ℋ csh 31412   +_ℋ cph 31415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-hilex 31483  ax-hfvadd 31484  ax-hvcom 31485  ax-hvass 31486  ax-hv0cl 31487  ax-hvaddid 31488  ax-hfvmul 31489  ax-hvmulid 31490  ax-hvdistr1 31492  ax-hvdistr2 31493  ax-hvmul0 31494

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-grpo 30977  df-ablo 31029  df-hvsub 31455  df-hlim 31456  df-sh 31691  df-ch 31705  df-shs 31792

This theorem is used by:  5oalem3  32140  5oalem4  32141