HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem2 29128
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem2.1 𝐴S
5oalem2.2 𝐵S
5oalem2.3 𝐶S
5oalem2.4 𝐷S
Assertion
Ref Expression
5oalem2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2
StepHypRef Expression
1 5oalem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 5oalem2.3 . . . . 5 𝐶S
31, 2shsvsi 28840 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑧𝐶) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
43ad2ant2r 743 . . 3 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
54adantr 481 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
6 5oalem2.4 . . . . . . . 8 𝐷S
7 5oalem2.2 . . . . . . . 8 𝐵S
86, 7shsvsi 28840 . . . . . . 7 ((𝑤𝐷𝑦𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
98ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
107, 6shscomi 28836 . . . . . 6 (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵)
119, 10syl6eleqr 2894 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1211ad2ant2l 742 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1312adantr 481 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
141sheli 28687 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
157sheli 28687 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
1614, 15anim12i 612 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
172sheli 28687 . . . . . 6 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
186sheli 28687 . . . . . 6 (𝑤𝐷𝑤 ∈ ℋ)
1917, 18anim12i 612 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
2016, 19anim12i 612 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21 oveq1 7028 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
2221adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
23 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
2423anim2i 616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
2524ancoms 459 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26 hvsub4 28510 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
2725, 26syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
28 hvsubid 28499 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 𝑦) = 0)
2928oveq2d 7037 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
3029ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
31 hvsubcl 28490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
32 ax-hvaddid 28477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3433adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3527, 30, 343eqtrd 2835 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3635adantrr 713 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3736adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
38 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
4039anim1i 614 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
4140ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42 hvsub4 28510 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
4338, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
44 hvsubid 28499 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 𝑧) = 0)
4544oveq1d 7036 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
4645ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
47 hvsubcl 28490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑦) ∈ ℋ)
48 hvaddid2 28496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 𝑦) ∈ ℋ → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5049ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5150adantrl 712 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5243, 46, 513eqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5352adantll 710 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5453adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5522, 37, 543eqtr3d 2839 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦))
5655eleq1d 2867 . . . 4 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5720, 56sylan 580 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5813, 57mpbird 258 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷))
595, 58elind 4096 1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cin 3862  (class class class)co 7021  chba 28392   + cva 28393  0c0v 28397   cmv 28398   S csh 28401   + cph 28404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-hilex 28472  ax-hfvadd 28473  ax-hvcom 28474  ax-hvass 28475  ax-hv0cl 28476  ax-hvaddid 28477  ax-hfvmul 28478  ax-hvmulid 28479  ax-hvdistr1 28481  ax-hvdistr2 28482  ax-hvmul0 28483
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-ltxr 10531  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-grpo 27966  df-ablo 28018  df-hvsub 28444  df-hlim 28445  df-sh 28680  df-ch 28694  df-shs 28781
This theorem is referenced by:  5oalem3  29129  5oalem4  29130
  Copyright terms: Public domain W3C validator