HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem2 29442
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 2-Apr-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem2.1 𝐴S
5oalem2.2 𝐵S
5oalem2.3 𝐶S
5oalem2.4 𝐷S
Assertion
Ref Expression
5oalem2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem 5oalem2
StepHypRef Expression
1 5oalem2.1 . . . . 5 𝐴S
2 5oalem2.3 . . . . 5 𝐶S
31, 2shsvsi 29154 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑧𝐶) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
43ad2ant2r 746 . . 3 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
54adantr 484 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐴 + 𝐶))
6 5oalem2.4 . . . . . . . 8 𝐷S
7 5oalem2.2 . . . . . . . 8 𝐵S
86, 7shsvsi 29154 . . . . . . 7 ((𝑤𝐷𝑦𝐵) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
98ancoms 462 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐷 + 𝐵))
107, 6shscomi 29150 . . . . . 6 (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵)
119, 10eleqtrrdi 2904 . . . . 5 ((𝑦𝐵𝑤𝐷) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1211ad2ant2l 745 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
1312adantr 484 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷))
141sheli 29001 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
157sheli 29001 . . . . . 6 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℋ)
1614, 15anim12i 615 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
172sheli 29001 . . . . . 6 (𝑧𝐶𝑧 ∈ ℋ)
186sheli 29001 . . . . . 6 (𝑤𝐷𝑤 ∈ ℋ)
1917, 18anim12i 615 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
2016, 19anim12i 615 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)))
21 oveq1 7146 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
2221adantl 485 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)))
23 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
2423anim2i 619 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
2524ancoms 462 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
26 hvsub4 28824 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
2725, 26syldan 594 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)))
28 hvsubid 28813 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 𝑦) = 0)
2928oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
3029ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + (𝑦 𝑦)) = ((𝑥 𝑧) + 0))
31 hvsubcl 28804 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑥 𝑧) ∈ ℋ)
32 ax-hvaddid 28791 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3433adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 𝑧) + 0) = (𝑥 𝑧))
3527, 30, 343eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3635adantrr 716 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
3736adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑥 𝑧))
38 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ))
39 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑧 ∈ ℋ)
4039anim1i 617 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
4140ancoms 462 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
42 hvsub4 28824 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
4338, 41, 42syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)))
44 hvsubid 28813 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 𝑧) = 0)
4544oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 𝑧) + (𝑤 𝑦)) = (0 + (𝑤 𝑦)))
47 hvsubcl 28804 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑦) ∈ ℋ)
48 hvaddid2 28810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 𝑦) ∈ ℋ → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5049ancoms 462 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5150adantrl 715 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (0 + (𝑤 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5243, 46, 513eqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5352adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5453adantr 484 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑧 + 𝑤) − (𝑧 + 𝑦)) = (𝑤 𝑦))
5522, 37, 543eqtr3d 2844 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) = (𝑤 𝑦))
5655eleq1d 2877 . . . 4 ((((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5720, 56sylan 583 . . 3 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷) ↔ (𝑤 𝑦) ∈ (𝐵 + 𝐷)))
5813, 57mpbird 260 . 2 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ (𝐵 + 𝐷))
595, 58elind 4124 1 ((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) ∧ (𝑥 + 𝑦) = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑥 𝑧) ∈ ((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  cin 3883  (class class class)co 7139  chba 28706   + cva 28707  0c0v 28711   cmv 28712   S csh 28715   + cph 28718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-grpo 28280  df-ablo 28332  df-hvsub 28758  df-hlim 28759  df-sh 28994  df-ch 29008  df-shs 29095
This theorem is referenced by:  5oalem3  29443  5oalem4  29444
  Copyright terms: Public domain W3C validator