Theorem harmonic 15794

Description: The harmonic series 𝐻 diverges. This fact follows from the stronger emcl 26981, which establishes that the harmonic series grows as log𝑛 + γ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
harmonic.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
harmonic.2	⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
harmonic	⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Proof of Theorem harmonic

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12801	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12512	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → 0 ∈ ℤ)
3		1ex 11140	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 7160	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
6		1red 11145	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7		harmonic.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
8	7	eleq1i 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
11		harmonic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
12		ovex 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (1 / 𝑘))
14		nnrecre 12199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17		nnrp 12929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
18	17	rpreccld 12971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
19	18	rpge0d 12965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
20	19, 13	breqtrrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
22		nnre 12164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	lep1d 12085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
24		nngt0 12188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
25		peano2re 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
27		peano2nn 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	27	nngt0d 12206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
29		lerec 12037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
30	22, 24, 26, 28, 29	syl22anc 839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
31	23, 30	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
32		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
33		ovex 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (𝑘 + 1)) ∈ V
34	32, 11, 33	fvmpt 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
36	31, 35, 13	3brtr4d 5132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
38		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
39	38	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (𝐹‘(2↑𝑗)))
40	38, 39	oveq12d 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
41		fconstmpt 5694	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
42		2nn 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
43		nnexpcl 14009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
44	42, 43	mpan 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
45		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / (2↑𝑘)))
46		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / (2↑𝑘)) ∈ V
47	45, 11, 46	fvmpt 6949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
48	44, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
49	48	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))))
50		nncn 12165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
51		nnne0 12191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ≠ 0)
52	50, 51	recidd 11924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
53	44, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
54	49, 53	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = 1)
55	54	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
56	41, 55	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))))
57		ovex 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))) ∈ V
58	40, 56, 57	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
59	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
60	16, 21, 37, 59	climcnds 15786	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ ))
61	9, 60	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
62	1, 2, 5, 6, 61	isumrecl 15700	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ)
63		arch 12410	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
65		fzfid 13908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ∈ Fin)
66		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		fsumconst 15725	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
68	65, 66, 67	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
69		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71		hashfz1 14281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
73	72	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝑗)) · 1) = (𝑗 · 1))
74		nncn 12165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
75	74	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 1) = 𝑗)
77	68, 73, 76	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = 𝑗)
78		0zd 12512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
79		elfznn 13481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
80		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82	81	ssriv 3939	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑗) ⊆ ℕ0
83	82	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ⊆ ℕ0)
84	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
85		1red 11145	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
86		0le1 11672	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 1)
88	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
89	1, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88	isumless 15780	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
90	77, 89	eqbrtrrd 5124	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
91		nnre 12164	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
92		lenlt 11223	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
93	91, 62, 92	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
94	90, 93	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
95	94	nrexdv 3133	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
96	64, 95	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  seqcseq 13936  ↑cexp 13996  ♯chash 14265   ⇝ cli 15419  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622

This theorem is referenced by: (None)