Theorem harmonic 15744

Description: The harmonic series 𝐻 diverges. This fact follows from the stronger emcl 26352, which establishes that the harmonic series grows as log𝑛 + γ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
harmonic.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
harmonic.2	⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
harmonic	⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Proof of Theorem harmonic

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12805	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12511	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → 0 ∈ ℤ)
3		1ex 11151	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 7153	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
6		1red 11156	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7		harmonic.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
8	7	eleq1i 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9	8	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
11		harmonic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
12		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (1 / 𝑘))
14		nnrecre 12195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17		nnrp 12926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
18	17	rpreccld 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
19	18	rpge0d 12961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
20	19, 13	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
22		nnre 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	lep1d 12086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
24		nngt0 12184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
25		peano2re 11328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
27		peano2nn 12165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	27	nngt0d 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
29		lerec 12038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
30	22, 24, 26, 28, 29	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
31	23, 30	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
32		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
33		ovex 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (𝑘 + 1)) ∈ V
34	32, 11, 33	fvmpt 6948	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
36	31, 35, 13	3brtr4d 5137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
37	36	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
38		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
39	38	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (𝐹‘(2↑𝑗)))
40	38, 39	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
41		fconstmpt 5694	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
42		2nn 12226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
43		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
44	42, 43	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
45		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / (2↑𝑘)))
46		ovex 7390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / (2↑𝑘)) ∈ V
47	45, 11, 46	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
48	44, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
49	48	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))))
50		nncn 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
51		nnne0 12187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ≠ 0)
52	50, 51	recidd 11926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
53	44, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
54	49, 53	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = 1)
55	54	mpteq2ia 5208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
56	41, 55	eqtr4i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))))
57		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))) ∈ V
58	40, 56, 57	fvmpt 6948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
59	58	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
60	16, 21, 37, 59	climcnds 15736	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ ))
61	9, 60	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
62	1, 2, 5, 6, 61	isumrecl 15650	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ)
63		arch 12410	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
65		fzfid 13878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ∈ Fin)
66		ax-1cn 11109	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		fsumconst 15675	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
68	65, 66, 67	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
69		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
70	69	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71		hashfz1 14246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
73	72	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝑗)) · 1) = (𝑗 · 1))
74		nncn 12161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
75	74	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
76	75	mulid1d 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 1) = 𝑗)
77	68, 73, 76	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = 𝑗)
78		0zd 12511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
79		elfznn 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
80		nnnn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82	81	ssriv 3948	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑗) ⊆ ℕ0
83	82	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ⊆ ℕ0)
84	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
85		1red 11156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
86		0le1 11678	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 1)
88	61	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
89	1, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88	isumless 15730	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
90	77, 89	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
91		nnre 12160	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
92		lenlt 11233	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
93	91, 62, 92	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
94	90, 93	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
95	94	nrexdv 3146	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
96	64, 95	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13424  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  ♯chash 14230   ⇝ cli 15366  Σcsu 15570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571

This theorem is referenced by: (None)