Theorem harmonic 15825

Description: The harmonic series 𝐻 diverges. This fact follows from the stronger emcl 26913, which establishes that the harmonic series grows as log𝑛 + γ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
harmonic.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
harmonic.2	⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
harmonic	⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Proof of Theorem harmonic

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12835	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12541	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → 0 ∈ ℤ)
3		1ex 11170	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
6		1red 11175	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7		harmonic.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
8	7	eleq1i 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
11		harmonic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
12		ovex 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (1 / 𝑘))
14		nnrecre 12228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17		nnrp 12963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
18	17	rpreccld 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
19	18	rpge0d 12999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
20	19, 13	breqtrrd 5135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
22		nnre 12193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	lep1d 12114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
24		nngt0 12217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
25		peano2re 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
27		peano2nn 12198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	27	nngt0d 12235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
29		lerec 12066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
30	22, 24, 26, 28, 29	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
31	23, 30	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
32		oveq2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
33		ovex 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (𝑘 + 1)) ∈ V
34	32, 11, 33	fvmpt 6968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
36	31, 35, 13	3brtr4d 5139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
38		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
39	38	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (𝐹‘(2↑𝑗)))
40	38, 39	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
41		fconstmpt 5700	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
42		2nn 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
43		nnexpcl 14039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
44	42, 43	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
45		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / (2↑𝑘)))
46		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / (2↑𝑘)) ∈ V
47	45, 11, 46	fvmpt 6968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
48	44, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
49	48	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))))
50		nncn 12194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
51		nnne0 12220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ≠ 0)
52	50, 51	recidd 11953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
53	44, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
54	49, 53	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = 1)
55	54	mpteq2ia 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
56	41, 55	eqtr4i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))))
57		ovex 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))) ∈ V
58	40, 56, 57	fvmpt 6968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
59	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
60	16, 21, 37, 59	climcnds 15817	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ ))
61	9, 60	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
62	1, 2, 5, 6, 61	isumrecl 15731	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ)
63		arch 12439	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
65		fzfid 13938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ∈ Fin)
66		ax-1cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		fsumconst 15756	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
68	65, 66, 67	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
69		nnnn0 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71		hashfz1 14311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
73	72	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝑗)) · 1) = (𝑗 · 1))
74		nncn 12194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
75	74	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 1) = 𝑗)
77	68, 73, 76	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = 𝑗)
78		0zd 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
79		elfznn 13514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
80		nnnn0 12449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82	81	ssriv 3950	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑗) ⊆ ℕ0
83	82	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ⊆ ℕ0)
84	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
85		1red 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
86		0le1 11701	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 1)
88	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
89	1, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88	isumless 15811	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
90	77, 89	eqbrtrrd 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
91		nnre 12193	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
92		lenlt 11252	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
93	91, 62, 92	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
94	90, 93	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
95	94	nrexdv 3128	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
96	64, 95	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  ♯chash 14295   ⇝ cli 15450  Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653

This theorem is referenced by: (None)