MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonic 14966
Description: The harmonic series 𝐻 diverges. This fact follows from the stronger emcl 25143, which establishes that the harmonic series grows as log𝑛 + γ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
harmonic.2 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
Assertion
Ref Expression
harmonic ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Proof of Theorem harmonic
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12005 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11717 . . . 4 (𝐻 ∈ dom ⇝ → 0 ∈ ℤ)
3 1ex 10353 . . . . . 6 1 ∈ V
43fvconst2 6726 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
54adantl 475 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
6 1red 10358 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7 harmonic.2 . . . . . . 7 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
87eleq1i 2898 . . . . . 6 (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
98biimpi 208 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10 oveq2 6914 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
11 harmonic.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
12 ovex 6938 . . . . . . . . 9 (1 / 𝑘) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6530 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (1 / 𝑘))
14 nnrecre 11394 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1513, 14eqeltrd 2907 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1615adantl 475 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
17 nnrp 12126 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1817rpreccld 12167 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
1918rpge0d 12161 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
2019, 13breqtrrd 4902 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2120adantl 475 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
22 nnre 11359 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
2322lep1d 11286 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
24 nngt0 11384 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
25 peano2re 10529 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
27 peano2nn 11365 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2827nngt0d 11401 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
29 lerec 11237 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
3022, 24, 26, 28, 29syl22anc 874 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
3123, 30mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
32 oveq2 6914 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
33 ovex 6938 . . . . . . . . . 10 (1 / (𝑘 + 1)) ∈ V
3432, 11, 33fvmpt 6530 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
3631, 35, 133brtr4d 4906 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
3736adantl 475 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
38 oveq2 6914 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
3938fveq2d 6438 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (𝐹‘(2↑𝑗)))
4038, 39oveq12d 6924 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
41 fconstmpt 5399 . . . . . . . . 9 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
42 2nn 11425 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
43 nnexpcl 13168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
4442, 43mpan 683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
45 oveq2 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (2↑𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / (2↑𝑘)))
46 ovex 6938 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / (2↑𝑘)) ∈ V
4745, 11, 46fvmpt 6530 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
4948oveq2d 6922 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))))
50 nncn 11360 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
51 nnne0 11387 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ≠ 0)
5250, 51recidd 11123 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
5344, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
5449, 53eqtrd 2862 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = 1)
5554mpteq2ia 4964 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
5641, 55eqtr4i 2853 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))))
57 ovex 6938 . . . . . . . 8 ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))) ∈ V
5840, 56, 57fvmpt 6530 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
5958adantl 475 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
6016, 21, 37, 59climcnds 14958 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ ))
619, 60mpbid 224 . . . 4 (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
621, 2, 5, 6, 61isumrecl 14872 . . 3 (𝐻 ∈ dom ⇝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ)
63 arch 11616 . . 3 𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
6462, 63syl 17 . 2 (𝐻 ∈ dom ⇝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
65 fzfid 13068 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ∈ Fin)
66 ax-1cn 10311 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
67 fsumconst 14897 . . . . . . 7 (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
6865, 66, 67sylancl 582 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
69 nnnn0 11627 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
7069adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71 hashfz1 13427 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
7372oveq1d 6921 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝑗)) · 1) = (𝑗 · 1))
74 nncn 11360 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
7574adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
7675mulid1d 10375 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 1) = 𝑗)
7768, 73, 763eqtrd 2866 . . . . 5 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = 𝑗)
78 0zd 11717 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
79 elfznn 12664 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
80 nnnn0 11627 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8281ssriv 3832 . . . . . . 7 (1...𝑗) ⊆ ℕ0
8382a1i 11 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ⊆ ℕ0)
844adantl 475 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
85 1red 10358 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
86 0le1 10876 . . . . . . 7 0 ≤ 1
8786a1i 11 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 1)
8861adantr 474 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
891, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88isumless 14952 . . . . 5 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
9077, 89eqbrtrrd 4898 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
91 nnre 11359 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
92 lenlt 10436 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
9391, 62, 92syl2anr 592 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
9490, 93mpbid 224 . . 3 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
9594nrexdv 3210 . 2 (𝐻 ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
9664, 95pm2.65i 186 1 ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3119  wss 3799  {csn 4398   class class class wbr 4874  cmpt 4953   × cxp 5341  dom cdm 5343  cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258   < clt 10392  cle 10393   / cdiv 11010  cn 11351  2c2 11407  0cn0 11619  ...cfz 12620  seqcseq 13096  cexp 13155  chash 13411  cli 14593  Σcsu 14794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ico 12470  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator