MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonic 15832
Description: The harmonic series 𝐻 diverges. This fact follows from the stronger emcl 26929, which establishes that the harmonic series grows as log𝑛 + γ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
harmonic.2 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
Assertion
Ref Expression
harmonic ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Proof of Theorem harmonic
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12889 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12595 . . . 4 (𝐻 ∈ dom ⇝ → 0 ∈ ℤ)
3 1ex 11235 . . . . . 6 1 ∈ V
43fvconst2 7211 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
54adantl 481 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
6 1red 11240 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7 harmonic.2 . . . . . . 7 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
87eleq1i 2820 . . . . . 6 (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
98biimpi 215 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
11 harmonic.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
12 ovex 7448 . . . . . . . . 9 (1 / 𝑘) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 7000 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (1 / 𝑘))
14 nnrecre 12279 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1513, 14eqeltrd 2829 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
17 nnrp 13012 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1817rpreccld 13053 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
1918rpge0d 13047 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
2019, 13breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
22 nnre 12244 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
2322lep1d 12170 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
24 nngt0 12268 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
25 peano2re 11412 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
27 peano2nn 12249 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2827nngt0d 12286 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
29 lerec 12122 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
3022, 24, 26, 28, 29syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
3123, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
32 oveq2 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
33 ovex 7448 . . . . . . . . . 10 (1 / (𝑘 + 1)) ∈ V
3432, 11, 33fvmpt 7000 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
3631, 35, 133brtr4d 5175 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
3736adantl 481 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
38 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
3938fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (𝐹‘(2↑𝑗)))
4038, 39oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
41 fconstmpt 5735 . . . . . . . . 9 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
42 2nn 12310 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
43 nnexpcl 14066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
4442, 43mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
45 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (2↑𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / (2↑𝑘)))
46 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / (2↑𝑘)) ∈ V
4745, 11, 46fvmpt 7000 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
4948oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))))
50 nncn 12245 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
51 nnne0 12271 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ≠ 0)
5250, 51recidd 12010 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
5344, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
5449, 53eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = 1)
5554mpteq2ia 5246 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
5641, 55eqtr4i 2759 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))))
57 ovex 7448 . . . . . . . 8 ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))) ∈ V
5840, 56, 57fvmpt 7000 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
5958adantl 481 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
6016, 21, 37, 59climcnds 15824 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ ))
619, 60mpbid 231 . . . 4 (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
621, 2, 5, 6, 61isumrecl 15738 . . 3 (𝐻 ∈ dom ⇝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ)
63 arch 12494 . . 3 𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
6462, 63syl 17 . 2 (𝐻 ∈ dom ⇝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
65 fzfid 13965 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ∈ Fin)
66 ax-1cn 11191 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
67 fsumconst 15763 . . . . . . 7 (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
6865, 66, 67sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
69 nnnn0 12504 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71 hashfz1 14332 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
7372oveq1d 7430 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝑗)) · 1) = (𝑗 · 1))
74 nncn 12245 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
7574adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
7675mulridd 11256 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 1) = 𝑗)
7768, 73, 763eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = 𝑗)
78 0zd 12595 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
79 elfznn 13557 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
80 nnnn0 12504 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8281ssriv 3983 . . . . . . 7 (1...𝑗) ⊆ ℕ0
8382a1i 11 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ⊆ ℕ0)
844adantl 481 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
85 1red 11240 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
86 0le1 11762 . . . . . . 7 0 ≤ 1
8786a1i 11 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 1)
8861adantr 480 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
891, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88isumless 15818 . . . . 5 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
9077, 89eqbrtrrd 5167 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
91 nnre 12244 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
92 lenlt 11317 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
9391, 62, 92syl2anr 596 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
9490, 93mpbid 231 . . 3 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
9594nrexdv 3145 . 2 (𝐻 ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
9664, 95pm2.65i 193 1 ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3066  wss 3945  {csn 4625   class class class wbr 5143  cmpt 5226   × cxp 5671  dom cdm 5673  cfv 6543  (class class class)co 7415  Fincfn 8958  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273  cle 11274   / cdiv 11896  cn 12237  2c2 12292  0cn0 12497  ...cfz 13511  seqcseq 13993  cexp 14053  chash 14316  cli 15455  Σcsu 15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8719  df-pm 8842  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator