MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonic 15809
Description: The harmonic series ๐ป diverges. This fact follows from the stronger emcl 26743, which establishes that the harmonic series grows as log๐‘› + ฮณ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
harmonic.2 ๐ป = seq1( + , ๐น)
Assertion
Ref Expression
harmonic ยฌ ๐ป โˆˆ dom โ‡

Proof of Theorem harmonic
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 12574 . . . 4 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 1ex 11214 . . . . . 6 1 โˆˆ V
43fvconst2 7206 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
54adantl 480 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
6 1red 11219 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7 harmonic.2 . . . . . . 7 ๐ป = seq1( + , ๐น)
87eleq1i 2822 . . . . . 6 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†” seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
98biimpi 215 . . . . 5 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
10 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
11 harmonic.1 . . . . . . . . 9 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
12 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (1 / ๐‘˜) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6997 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
14 nnrecre 12258 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1513, 14eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
1615adantl 480 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
17 nnrp 12989 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
1817rpreccld 13030 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
1918rpge0d 13024 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘˜))
2019, 13breqtrrd 5175 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
22 nnre 12223 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2322lep1d 12149 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
24 nngt0 12247 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
25 peano2re 11391 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
27 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2827nngt0d 12265 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘˜ + 1))
29 lerec 12101 . . . . . . . . . 10 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜) โˆง ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (1 / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
3022, 24, 26, 28, 29syl22anc 835 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (1 / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
3123, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜))
32 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
33 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (1 / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ V
3432, 11, 33fvmpt 6997 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
3631, 35, 133brtr4d 5179 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
3736adantl 480 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
38 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘๐‘—))
3938fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)) = (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—)))
4038, 39oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))) = ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))))
41 fconstmpt 5737 . . . . . . . . 9 (โ„•0 ร— {1}) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 1)
42 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•
43 nnexpcl 14044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4442, 43mpan 686 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
45 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = (2โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
46 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ V
4745, 11, 46fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4948oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))) = ((2โ†‘๐‘˜) ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
50 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
51 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
5250, 51recidd 11989 . . . . . . . . . . . 12 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))) = 1)
5344, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))) = 1)
5449, 53eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))) = 1)
5554mpteq2ia 5250 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 1)
5641, 55eqtr4i 2761 . . . . . . . 8 (โ„•0 ร— {1}) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))))
57 ovex 7444 . . . . . . . 8 ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))) โˆˆ V
5840, 56, 57fvmpt 6997 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘—) = ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))))
5958adantl 480 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘—) = ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))))
6016, 21, 37, 59climcnds 15801 . . . . 5 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ (seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , (โ„•0 ร— {1})) โˆˆ dom โ‡ ))
619, 60mpbid 231 . . . 4 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ seq0( + , (โ„•0 ร— {1})) โˆˆ dom โ‡ )
621, 2, 5, 6, 61isumrecl 15715 . . 3 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โˆˆ โ„)
63 arch 12473 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
6462, 63syl 17 . 2 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
65 fzfid 13942 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘—) โˆˆ Fin)
66 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
67 fsumconst 15740 . . . . . . 7 (((1...๐‘—) โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) ยท 1))
6865, 66, 67sylancl 584 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) ยท 1))
69 nnnn0 12483 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
7069adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
71 hashfz1 14310 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) = ๐‘—)
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) = ๐‘—)
7372oveq1d 7426 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) ยท 1) = (๐‘— ยท 1))
74 nncn 12224 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
7574adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
7675mulridd 11235 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘— ยท 1) = ๐‘—)
7768, 73, 763eqtrd 2774 . . . . 5 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 = ๐‘—)
78 0zd 12574 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
79 elfznn 13534 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
80 nnnn0 12483 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8281ssriv 3985 . . . . . . 7 (1...๐‘—) โŠ† โ„•0
8382a1i 11 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘—) โŠ† โ„•0)
844adantl 480 . . . . . 6 (((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
85 1red 11219 . . . . . 6 (((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
86 0le1 11741 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
8786a1i 11 . . . . . 6 (((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค 1)
8861adantr 479 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ seq0( + , (โ„•0 ร— {1})) โˆˆ dom โ‡ )
891, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88isumless 15795 . . . . 5 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1)
9077, 89eqbrtrrd 5171 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1)
91 nnre 12223 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
92 lenlt 11296 . . . . 5 ((๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘— โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โ†” ยฌ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—))
9391, 62, 92syl2anr 595 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘— โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โ†” ยฌ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—))
9490, 93mpbid 231 . . 3 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
9594nrexdv 3147 . 2 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
9664, 95pm2.65i 193 1 ยฌ ๐ป โˆˆ dom โ‡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068   โŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  dom cdm 5675  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13488  seqcseq 13970  โ†‘cexp 14031  โ™ฏchash 14294   โ‡ cli 15432  ฮฃcsu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator