Theorem harmonic 15776

Description: The harmonic series 𝐻 diverges. This fact follows from the stronger emcl 26950, which establishes that the harmonic series grows as log𝑛 + γ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
harmonic.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
harmonic.2	⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
harmonic	⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Proof of Theorem harmonic

Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12784	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12490	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → 0 ∈ ℤ)
3		1ex 11118	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
4	3	fvconst2 7147	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
6		1red 11123	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7		harmonic.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
8	7	eleq1i 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9	8	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10		oveq2 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
11		harmonic.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
12		ovex 7388	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (1 / 𝑘))
14		nnrecre 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
17		nnrp 12912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
18	17	rpreccld 12954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
19	18	rpge0d 12948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
20	19, 13	breqtrrd 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
22		nnre 12142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
23	22	lep1d 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
24		nngt0 12166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
25		peano2re 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
27		peano2nn 12147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	27	nngt0d 12184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
29		lerec 12015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
30	22, 24, 26, 28, 29	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
31	23, 30	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
32		oveq2 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
33		ovex 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (𝑘 + 1)) ∈ V
34	32, 11, 33	fvmpt 6938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
35	27, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
36	31, 35, 13	3brtr4d 5127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
37	36	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
38		oveq2 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
39	38	fveq2d 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (𝐹‘(2↑𝑗)))
40	38, 39	oveq12d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
41		fconstmpt 5683	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
42		2nn 12208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
43		nnexpcl 13991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
44	42, 43	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
45		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (2↑𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / (2↑𝑘)))
46		ovex 7388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / (2↑𝑘)) ∈ V
47	45, 11, 46	fvmpt 6938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
48	44, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
49	48	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))))
50		nncn 12143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
51		nnne0 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ≠ 0)
52	50, 51	recidd 11902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℕ → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
53	44, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
54	49, 53	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = 1)
55	54	mpteq2ia 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
56	41, 55	eqtr4i 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))))
57		ovex 7388	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))) ∈ V
58	40, 56, 57	fvmpt 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
59	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
60	16, 21, 37, 59	climcnds 15768	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ ))
61	9, 60	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
62	1, 2, 5, 6, 61	isumrecl 15682	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ)
63		arch 12388	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
65		fzfid 13890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ∈ Fin)
66		ax-1cn 11074	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
67		fsumconst 15707	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
68	65, 66, 67	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
69		nnnn0 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
70	69	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71		hashfz1 14263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
73	72	oveq1d 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝑗)) · 1) = (𝑗 · 1))
74		nncn 12143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
75	74	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
76	75	mulridd 11139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 1) = 𝑗)
77	68, 73, 76	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = 𝑗)
78		0zd 12490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
79		elfznn 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
80		nnnn0 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82	81	ssriv 3935	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑗) ⊆ ℕ0
83	82	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ⊆ ℕ0)
84	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
85		1red 11123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
86		0le1 11650	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 1)
88	61	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
89	1, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88	isumless 15762	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
90	77, 89	eqbrtrrd 5119	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
91		nnre 12142	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
92		lenlt 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
93	91, 62, 92	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
94	90, 93	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
95	94	nrexdv 3129	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
96	64, 95	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  {csn 4577   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8878  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   · cmul 11021   < clt 11156   ≤ cle 11157   / cdiv 11784  ℕcn 12135  2c2 12190  ℕ₀cn0 12391  ...cfz 13417  seqcseq 13918  ↑cexp 13978  ♯chash 14247   ⇝ cli 15401  Σcsu 15603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9406  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-ico 13261  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-clim 15405  df-rlim 15406  df-sum 15604

This theorem is referenced by: (None)