MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonic 15810
Description: The harmonic series ๐ป diverges. This fact follows from the stronger emcl 26744, which establishes that the harmonic series grows as log๐‘› + ฮณ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
harmonic.2 ๐ป = seq1( + , ๐น)
Assertion
Ref Expression
harmonic ยฌ ๐ป โˆˆ dom โ‡

Proof of Theorem harmonic
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12869 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 0zd 12575 . . . 4 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
3 1ex 11215 . . . . . 6 1 โˆˆ V
43fvconst2 7207 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
54adantl 481 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
6 1red 11220 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7 harmonic.2 . . . . . . 7 ๐ป = seq1( + , ๐น)
87eleq1i 2823 . . . . . 6 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†” seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
98biimpi 215 . . . . 5 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
10 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
11 harmonic.1 . . . . . . . . 9 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))
12 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (1 / ๐‘˜) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6998 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (1 / ๐‘˜))
14 nnrecre 12259 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
1513, 14eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
17 nnrp 12990 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
1817rpreccld 13031 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
1918rpge0d 13025 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘˜))
2019, 13breqtrrd 5176 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
22 nnre 12224 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2322lep1d 12150 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1))
24 nngt0 12248 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
25 peano2re 11392 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
27 peano2nn 12229 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2827nngt0d 12266 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < (๐‘˜ + 1))
29 lerec 12102 . . . . . . . . . 10 (((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜) โˆง ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (1 / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
3022, 24, 26, 28, 29syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (1 / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜)))
3123, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / ๐‘˜))
32 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
33 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 (1 / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ V
3432, 11, 33fvmpt 6998 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (1 / (๐‘˜ + 1)))
3631, 35, 133brtr4d 5180 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
3736adantl 481 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
38 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (2โ†‘๐‘˜) = (2โ†‘๐‘—))
3938fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)) = (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—)))
4038, 39oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))) = ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))))
41 fconstmpt 5738 . . . . . . . . 9 (โ„•0 ร— {1}) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 1)
42 2nn 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•
43 nnexpcl 14045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4442, 43mpan 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
45 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = (2โ†‘๐‘˜) โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
46 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / (2โ†‘๐‘˜)) โˆˆ V
4745, 11, 46fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
4948oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))) = ((2โ†‘๐‘˜) ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
50 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
51 nnne0 12251 . . . . . . . . . . . . 13 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
5250, 51recidd 11990 . . . . . . . . . . . 12 ((2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))) = 1)
5344, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))) = 1)
5449, 53eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))) = 1)
5554mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 1)
5641, 55eqtr4i 2762 . . . . . . . 8 (โ„•0 ร— {1}) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘˜) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘˜))))
57 ovex 7445 . . . . . . . 8 ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))) โˆˆ V
5840, 56, 57fvmpt 6998 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘—) = ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))))
5958adantl 481 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘—) = ((2โ†‘๐‘—) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘—))))
6016, 21, 37, 59climcnds 15802 . . . . 5 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ (seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , (โ„•0 ร— {1})) โˆˆ dom โ‡ ))
619, 60mpbid 231 . . . 4 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ seq0( + , (โ„•0 ร— {1})) โˆˆ dom โ‡ )
621, 2, 5, 6, 61isumrecl 15716 . . 3 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โˆˆ โ„)
63 arch 12474 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
6462, 63syl 17 . 2 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
65 fzfid 13943 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘—) โˆˆ Fin)
66 ax-1cn 11171 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
67 fsumconst 15741 . . . . . . 7 (((1...๐‘—) โˆˆ Fin โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) ยท 1))
6865, 66, 67sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 = ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) ยท 1))
69 nnnn0 12484 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
71 hashfz1 14311 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) = ๐‘—)
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) = ๐‘—)
7372oveq1d 7427 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘—)) ยท 1) = (๐‘— ยท 1))
74 nncn 12225 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
7574adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
7675mulridd 11236 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘— ยท 1) = ๐‘—)
7768, 73, 763eqtrd 2775 . . . . 5 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 = ๐‘—)
78 0zd 12575 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
79 elfznn 13535 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
80 nnnn0 12484 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
8281ssriv 3986 . . . . . . 7 (1...๐‘—) โІ โ„•0
8382a1i 11 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (1...๐‘—) โІ โ„•0)
844adantl 481 . . . . . 6 (((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {1})โ€˜๐‘˜) = 1)
85 1red 11220 . . . . . 6 (((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
86 0le1 11742 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
8786a1i 11 . . . . . 6 (((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค 1)
8861adantr 480 . . . . . 6 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ seq0( + , (โ„•0 ร— {1})) โˆˆ dom โ‡ )
891, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88isumless 15796 . . . . 5 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘—)1 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1)
9077, 89eqbrtrrd 5172 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘— โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1)
91 nnre 12224 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
92 lenlt 11297 . . . . 5 ((๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘— โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โ†” ยฌ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—))
9391, 62, 92syl2anr 596 . . . 4 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘— โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 โ†” ยฌ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—))
9490, 93mpbid 231 . . 3 ((๐ป โˆˆ dom โ‡ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
9594nrexdv 3148 . 2 (๐ป โˆˆ dom โ‡ โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„• ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 1 < ๐‘—)
9664, 95pm2.65i 193 1 ยฌ ๐ป โˆˆ dom โ‡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   โІ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  ...cfz 13489  seqcseq 13971  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295   โ‡ cli 15433  ฮฃcsu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator